Теоретические основы оценки травматизма статистическим методом

Существует попытка создать классификатор видов происшествий, причин и оборудований, приводящего к несчастному случаю или травмам. В списке классификатора видов происшествий 19 наименований, причин 21 и оборудований 60 наименований. Причем в первых двух 19 и 21 наименований приведены «прочие» [1]. Из чего следует, что охватить в классификаторе все возможные виды происшествий причин и оборудований практически сложно.

Можно сделать вывод о том, что тяжесть несчастных случаев также будет многообразным. Исследование и анализ травматизма и несчастного случая в СНГ и Казахстане в основном проводили по отраслям производства, таких как горно-обогатительные комбинаты, металлургические заводы, теплоэнергетика, нефтегазовая отрасль и др.

Исследователи занимающихся проблемой несчастных случаев собирают материалы по отдельным отраслям за определенный период. Обычно это период у них не превышает 5-6 лет. За такой короткий период собрать статистический материал, по которому можно было бы прогнозировать возможность возникновения несчастного случая, а тем более предопределять степень тяжести наносимых травм практически невозможно.

Статистический метод анализа травматизма предусматривает изучение большого количества случаев по отрасли производства. Если изучение несчастных случаев и сбор материалов проводить не по отраслям, а по некоторой территорий страны, области те же 5-6 лет, то можно установить, что число несчастных случаев отнесенный на этот период времени будет стационарной случайной функцией.

Рассмотрим некоторую стационарную случайную функцию X(t) и предположим, что требуется оценить ее характеристики: математическое ожидание тх и корреляционную функцию kx( T ). Обычно известно способы получения этих характеристик из опыта. Для этого нужно располагать известным числом реализаций случайной функции X(t). Обрабатывая эти реализации, можно найти оценки для математического ожидания mx(t) и корреляционной функцииKx(t,t'). В связи с ограниченностью числа наблюдений функция mx (t) не будет строго постоянной; ее придется осреднить и заменить некоторым постоянным mx ; аналогично, осредняя значения Kx(t,t') для разных T = t' — t, получим корреляционную функцию kx(T) .

Этот метод обработки, очевидно, является довольно сложным и громоздким и к тому же состоит из двух этапов: приближенного определения характеристик случайной функции и также приближенного осреднения этих характеристик. Естественно возникает вопрос: нельзя ли для стационарной случайной функции этот сложный, двухступенчатый процесс обработки заменить более простым, который заранее базируется на предположении, что математическое ожидание не зависит от времени, а корреляционная функция - от начала отсчета.

Кроме того, возникает вопрос: при обработке наблюдений над стационарной случайной функцией является ли существенно необходимым располагать несколькими реализациями. Поскольку случайный процесс является стационарным и протекает однородно повремени, естественно предположить, что одна-единственная реализация достаточной продолжительности может служить достаточным опытным материалом для получения характеристик случайной функции.

При более подробном рассмотрении этого вопроса оказывается, что такая возможность существует не для всех случайных процессов: не всегда одна реализация достаточной продолжительности оказывается эквивалентной множеству отдельных реализаций.

Для примера рассмотрим две стационарные случайные функции Х 1(t) и X2(t), представленные совокупностью своих реализаций на рис. 1

Стационарные случайные функции Х1 (t) и X2 (t ), представленные совокупностью своих реализаций

Для случайной функции Xj(t) характерна следующая особенность: каждая из ее реализаций обладает одними и теми же характерными признаками: средним значением, вокруг которого происходят колебания, и средним размахом этих колебаний. Выберем произвольно одну из таких реализаций и продолжим мысленно опыт, в результате которого она получена, на некоторый участок времени Т.

Очевидно, при достаточно большом Т эта одна реализация сможет дать нам достаточно хорошее представление о свойствах случайной функции в целом. В частности, усредняя значения этой реализации вдоль оси абсцисс - по времени, мы должны получить приближенное значение математического ожидания случайной функции; усредняя квадраты отклонений от этого среднего, мы должны получить приближенное значение дисперсии, и т. д.

Стационарные случайные функции Х1 (t ) и X2 (t), представленные совокупностью своих реализаций

Про такую случайную функцию говорят, что она обладает эргодическим свойством. Эргодическое свойство состоит в том, что каждая отдельная реализация случайной функции является как бы «полномочным представителем» всей совокупности возможных реализаций; одна реализация достаточной продолжительности может заменить при обработке множество реализаций той же общей продолжительности [2].

Рассмотрим теперь случайную функцию X2(t). Выберем произвольно одну из ее реализаций, продолжим ее мысленно на достаточно большой участок времени и вычислим ее среднее значение по времени на всем участке наблюдения. Очевидно, это среднее значение для каждой реализации будет свое и может существенно отличаться от математического ожидания случайной функции, построенного как среднее из множества реализаций. Про такую случайную функцию говорят, что она не обладает эргодическим свойством.

Если случайная функция X(t) обладает эргодическим свойством, то для нее среднее по времени (на достаточно большом участке наблюдения) приближенно равно среднему по множеству наблюдений. То же будет верно и для X2(t), X(t) • X(t + t) и т.д. следовательно, все характеристики случайной функции (математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию) можно будет приближенно определять по одной достаточно длинной реализации.

Поясним этот вопрос наглядно, исходя из примера. Рассмотрим случайную функцию Ot (t) изменений метеорологических условий труда Предположим, что человек работает в типичных средних метеорологических условиях. Изменений состояния человека или в частности кровяного давления вызваны случайными возмущениями, связанными с турбулентностью атмосферы. Среднее значение давления, около которого происходят колебания, зависит от метеоусловий. Состояние работника зависит от внешних условий.

Рассмотрим случайную функцию O (t) — колебания настроения работника с изменением высоты Н. Каждая из реализаций этой случайной функции осуществляется в результате воздействия одной и той же группы случайных факторов и обладает одними и теми же вероятностными характеристиками; случайная функция O (t) обладает эргодическим свойством (рис.3).

Представим себе теперь, что рассматривается случайная функция O (t) не для одной высоты Н, а для целого диапазона, внутри которого задан какой-то закон распределения высот (например, закон равномерной плотности). Такая случайная функция, оставаясь стационарной, очевидно, будет обладать эргодическим свойством; ее возможные реализации, осуществляющиеся с какими-то вероятностями, имеют одинаковый характер (рис. 3).

Стационарные случайные функции Х1 (t ) и X2 (t), представленные совокупностью своих реализаций

Для этого случайного процесса характерно то, что он как бы «разложим» на более элементарные случайные процессы; каждый из них осуществляется с некоторой вероятностью и имеет свои индивидуальные характеристики. Таким образом, разложимость, внутренняя неоднородность случайного процесса, протекающего с некоторой вероятностью по тому или другому типу, есть физическая причина неэргодичность этого процесса.

Стационарные случайные функции Х1 (t ) и X2 (t), представленные совокупностью своих реализаций

В частности, неэргодичность случайного процесса может быть связана с наличием в его составе слагаемого в виде обычной случайной величины (т. е. наличие в спектре случайного процесса, помимо непрерывной части, конечной дисперсии при частоте 0).

Действительно, рассмотрим случайную функцию

эргодическая стационарная случайная функция

Из формул (2) и (3) видно, что случайная функция Z(t) является стационарной. Но обладает ли она эргодическим свойством? Очевидно, нет. Каждая ее реализация будет по характеру отличаться от других, будет обладать тем или иным средним по времени значением в зависимости от того, какое значение приняла случайная величина Y (рис.5).

Об     эргодичности или неэргодичности случайного процесса может непосредственно свидетельствовать вид его корреляционной функции. Действительно, рассмотрим корреляционную функцию неэргодической случайной функции (3). Она отличается от корреляционной функции случайной функции X(t) наличием постоянного слагаемого Dy(рис. 5). В то время как корреляционная функция корреляционная функция стремится к нулю при корреляционная функция(корреляционная связь между значениями случайной функции неограниченно убывает по мере увеличения рас­стояния между ними), функция функция корреляции уже не стремится к нулю при функция не стремится к нулю да , а приближается к постоянному значению Dy.

Корреляционная функция неэргодической случайной функции

На практике мы не имеем возможности исследовать случайный процесс и его корреляционную функцию на бесконечном участке времени; участок значений п , с которым мы имеем дело, всегда ограничен. Если при этом корреляционная функция стационарного случайного процесса при увеличении п не убывает, а, начиная с некоторого п , остается приблизительно постоянной, это обычно есть признак того, что в составе случайной функции имеется слагаемое в виде обычной случайной величины и что процесс не является эргодическим.

Стремление корреляционной функции к нулю

Стремление же корреляционной функции к нулю при функция не стремится к нулюt ^ говорит в пользу эргодичности процесса. Во всяком случае, оно достаточно для того, чтобы математическое ожидание функции можно было определять как среднее по времени.

При решении практических задач часто суждение об эргодичности случайного процесса выносится не на основе исследования поведения Корреляционной функции при Корреляционной функции, а на основании физических соображений, связанных с существом процесса.

 

ЛИТЕРАТУРА

  1. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М: Высшая школа. С.479.
  2. Б.В. Гнеденко. Курс теорий вероятностей, М: Физматгиз, С 260.
Фамилия автора: Г.Б. Тыналина, Г.С. Бектурганова
Год: 2010
Город: Алматы
Категория: Экономика
Яндекс.Метрика