Для анализа течения вблизи вогнутой поверхности применяется метод сращиваемых асимптотических разложений. Идеи, лежащие в основе метода, развивались в течение многих лет. Как указано в работе Ван-Дайка /1/, он был систематически развит и приложен к течениям вязкой жидкости, были введены формальные внутренний и внешний переходы для теории пограничного слоя и соответствующие внутренние и внешние разложения. После этого развития метод сращиваемых асимптотических разложений был приложен к множеству проблем механики жидкости и газа. Большая часть ранних приложений относилась к вязким течениям.
Развитие вихрей Гертлера в сжимаемых, в частности гиперзвуковых потоках, привлекает в настоящее время значительный интерес в связи с разработкой новых технологий. Ниже формулируется математическая модель, описывающая нелинейную фазу развития возмущений в сжимаемом пограничном слое в поле центробежных сил при больших, но докритических значениях Рейнольдса и Гертлера. Эта модель предназначена как для описания развития вихрей Гертлера, так и для описания возмущенных течений около локальных или периодических в трансверсальном направлении неровностей или других пространственных течений. При малых амплитудах возмущений нелинейные краевые задачи сводятся к линейным задачам теории устойчивости, которая к настоящему времени разработана лишь фрагментарно. Так в работах /1,2/ на основе метода сращиваемых асимптотических разложений исследованы некоторые линейные режимы развития возмущений в поле центробежных сил. В частности, выявлена роль переходного температурного слоя в развитии возмущений в гиперзвуковых потоках. В то же время имеющиеся экспериментальные исследования свидетельствуют о возникновении других возможных форм возмущенного вихревого движения газа, что требует проведения дальнейших исследований.
Рассмотрим режим, соответствующий длинам волны вихрей Гертлера fi сравнимые с толщиной пограничного слоя ð. В этом случае характерные размеры возмущенной области течения совпадают по порядку величины, следовательно, одинаковые порядки будут иметь и возмущенные величины вертикальной и трансверсальной скоростей P ~ m, что следует из уравнения неразрывности и принципа минимального вырождения. Если предположить, что вихри вызывающи нелинейные изменения основного течения, тогда:
Отличие полученной системы уравнений от обычной системы уравнений Эйлера состоит в наличии члена в уравнении поперечного импульса, учитывающего влияние центробежных сил. Этот член появляется вследствии перехода к криволинейной системе координат, связанной с поверхностью тела. Вторая особенность связана с отсутствием градиента давления в уравнении продольного импульса. Из второго уравнения полученной системы следует тогда сохранение продольной составляющей вектора скорости вдоль линии тока. Аналогичным первым интегралом обладает и уравнение для полной энтальпии. Для возмущенной малой амплитуды решение уравнений можно представить в виде разложений по экспоненте.
Тогда задача сводится к дифференциальному уравнению на собственные значения. Такое уравнение с соответствующими граничными условиями можно решить двумя путями: как поиск собственных значений матрицы, получающейся при разностном представлении уравнения, или как результат решении дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.
Таким образом, с помощью асимптотических методов можно провести нелинейный анализ уравнений для сжимаемой жидкости при больших значениях Рейнольдса и Гертлера и получить краевую задачу на собственные значения и определить параметры подобия.
Литература
- Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике. -Москва, изд-во Мир, 1967 г.
- Бийбосунов А.И. Гидродинамическая неустойчивость течения в поле центробежных сил. Материалы международной конференции «Проблемы механики и технологий», г. Бишкек, 1994г.