Симметрические многочлены от двух переменных

Аннотация. В статье рассмотрен метод решения симметрических многочленов от двух переменных, автором разобраны несколько задач этого типа. Среди задач есть и весьма трудные, которые предлагались на математических олимпиадах. 

Цель данной статьи – познакомить интересующихся читателей с одним довольно общим методом решения систем уравнений высших степеней, который основан на использовании  теории симметрических многочленов. Сама теория очень проста, она позволяет решать не только многие системы алгебраических уравнений, но и различные другие алгебраические задачи (решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители и т.д.). С помощью теории симметрических многочленов решение этих задач заметно упрощается и, что самое главное, проводится стандартным приёмом.

Примеры  симметрических  многочленов.  Многочлены,  в  которые   x  и   y   входят  одинаковым

образом, называют симметрическими. Точнее говоря: многочлен от x и y называют симметрическим, если он не меняется при замене  x на  y  и  y  на  x .

 

Многочлен

 

x 2 y

 

x y 2

 

–   симметрический.   Напротив,   многочлен

 

x3         3y 2

 

не   является

 

симметрическим: при замене x на y , y на x он превращается в многочлен совпадает с первоначальным.

 

y3     3x2 ,  который не

 

Приведем важнейшие примеры симметрических многочленов. Как известно из арифметики, сумма

двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т.е.

x     y     x    y

 

Для   любых   чисел     x    и     y .   Это   равенство   показывает,   что   многочлен     x

симметрическим.

Точно так же из закона коммутативности умножения

 

y   является

 

 

следует, что произведение  xy  является симметрическим многочленом.

 

Симметрические   многочлены     x

 

y    и      x y

 

являются   самыми   простыми.   Их    называют

 

элементарными   симметрическими   многочленами   от    x  и      y .   Для   них   используют  специальные обозначения:

 

1          x     y ,      2

 

xy .

2              2

 

Кроме

 

и        2 ,  нам  часто  будут  встречаться  степенные  суммы,  т.е.  многочлены  x       y  ,

 

x3          y3 , …,  xn

 

yn ,… Принято обозначать многочлен xn

 

yn  через  s  . Таким образом,

 

n

 

s1     x

2

 

s       x2

3

 

s      x3

4

 

s       x4

…….

 

y ,

y 2 ,

y3 ,

y 4 ,

 

Основная  теорема:  Любой  симметрический  многочлен  от   x  и   y   можно  представить  в виде

 

1

 

многочлена от


  • y и 2

 

x y [1].

 

 

Существует простой прием, позволяющий получать симметрические многочлены. Итак, если взять

 

любой  многочлен от            и

 

и  подставить  в  него вместо            и

 

их выражение

1

 

x     y ,

 

2

 

xy , то получится симметрический многочлен от  x  и  y .

Возникает вопрос, является ли этот прием построения симметрических многочленов общим, т.е.

 

можно ли с его помощью получить любой симметрический многочлен?

Рассмотрение примеров делает это  предположение вероятным. Например, степенные   суммы

 

s1 ,

 

s2 ,  s3 ,  s4  без труда выражаются через

 

2

 

и       2 :

s1            x    y      1 ,

2                                2                                      2

 

s 2        x      y

3              3                                       2

 

(x    y)

2


  • x y

 

1          2   2 ,

2                                                     2

 

2

 

2

 

2

 

s3           x      y

 

(x    y) (x

 

x y    y  )

 

(x     y) ((x     y)


3  x y)

 

1  (  1

 

3   2 ) ,

 

4

 

s4     x

 

y 4            (x2

 

y 2 )2

 

2x2 y 2

 

1                      2 )

 

2   2 .

 

(

 

2

 

В качестве следующего примера рассмотрим олимпиадную задачу, где нужно доказать, что при любых значениях  x и  y  справедливо неравенство:

 

x 2         x y    y 2

 

3(x

 

  • 1)

 

1

 

Для начала представим симметрический многочлен от  x  и  y  в виде многочлена от

2           xy . Мы получим:

 

x    y и

 

(x 2

 

2 x y

 

y 2 )    x y

 

3 (x

 

y   1)

 

(x    y) 2         x y

3

 

2

1                2                    1

3

 

3

 

2

1                    1

 

3 (x

3

 

2

 

  1. y) 3

 

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши, где

x    y

xy               ,

2

заметим, что неравенство Коши можно представить в виде многочлена от

 

 

 

 

 

отсюда следует, что

2

 

1

 

 

 

 

 

2

      1     или

4

 

x     y и

 

2

 

2

 

      1  ,

2

 

xy .

 

Из полученных нами неравенств составляем систему от двух переменных:

 

3

 

3

 

4

 

2

1                   1                           2

4

 

2

1                    2

 

2         12

4

 

1

 

2

1

 

1        12    4  2         0

4  2          0

 

 

Чтобы решить систему найдем корни квадратного уравнения:

 

Мы привели нашу систему уравнений от двух переменных к уравнению от одной переменной:

2

 

3  1         12  1

D    (  b)2

 

12

4ac

 

0

(  12)2

 

4  3 12    0

 

Так как дискриминант равен нулю, мы получаем два одинаковых корня:

 12     2 ,

 

 

отсюда 3(  1

 

2)2         0

 

1          2 3


 

 

1 - имеет множество  решений.  А это  означает, что  симметрический многочлен      x

 

y  так же

 

имеет  множество  решений.  Следовательно,  что  для  любых  значений   x   и   y   справедливо   данное

неравенство, что и требовалось доказать.

Разбор дальнейших приемов дает тот же результат: какой бы симметрический многочлен мы бы не взяли,   после   более   или   менее   сложных   выкладок   его   удается   выразить   через      элементарные

 

симметрические многочлены

 

и        2 . Таким  образом, примеры приводят  нас к  предположению    о

 

справедливости, основной теоремы: Любой симметрический многочлен от  x  и  y  можно представить  в

 

виде многочлена от

1

 

x    y и

 

xy .

 

2

 

Переходим к доказательству основной теоремы. Мы проведем его в два приема. Во-первых:

 

 

сумм.

 

  1. Выражение степенных сумм через

 

Теорема: [1]

 

и        2 .  Сначала  мы  докажем  теорему для степенных

 

1

 

В каждую степенную сумму sn

 

xn      yn  можно представить в виде многочлена от

 

 

 

 

С этой целью мы умножим обе части равенства  sk  1

 

xk-1

 

yk  1  на

 

x    y . Получим:

 

1 sk 1

sk

 

(x

2 sk

 

y)(x

 

2

 

k-1

 

y 1 )    xk

 

xy k 1

 

x1 y    y k

 

xk        y k

 

xy(x k 2

 

y k   2 )

 

Таким образом,

 

sk                  1 sk 1

 

2 sk  2

 

(1)

 

 

Из этой формулы вытекает справедливость нашего утверждения. В самом деле, мы уже знаем, что

 

степенные суммы

 

s1 , s2 ,..., sk

 

2 , sk 1

 

выражаются  в  виде  многочленов от       1   и       2 ,  подставляя эти

 

выражения в формулу (1), мы получим выражение степенной суммы  sk

 

через         1  и      2 . Далее методом

 

математической индукции мы можем последовательно находить выражения степенных сумм через         и

 

2 : зная

 

s1   и

 

s2 , находим по формуле (1) s3 ,    затем

 

s4 , s5

 

и т. д. Ясно, что рано или поздно мы

 

получим выражение любой степенной суммы    sn

доказано.

 

через

 

и       2 . Таким образом, наше   утверждение

 

Формула  (1),  составляющая  основу изложенного  доказательства  Теоремы,  позволяет  не только

 

утверждать, что  sn

 

выражается через

 

и       2 , но и позволяет последовательно вычислять выражения

 

степенных сумм  sn через      1  и      2 . Так, с помощью формулы (1) мы последовательно находим:

 

s3                 1 s2

 

2 s1

3

 

1          1                      2 )      2     1

(

 

2

 

2

 

2

 

3

3

 

1                     1      2 ,

4                     2                              2

 

s4                1 s3

 

2 s2

 

1 (  1          3  1      2 )

4                    2                             2

 

2 (  1           2  2  )

3

 

1          4  1         2

5                    3

 

2   2 ,

2

 

s5                1 s4

 

2 s3

 

1 (  1

 

4  1        2

 

2   2 )

 

2 (  1

 

3  1      2 )

 

1          5  1        2

 

5  1     2

 

и т.д. В ниже приведенной таблице сведены выражения степенных   сумм

 

s1 , s2 ,..., s10 через      1  и       2 ,

 

эти выражения будут нам полезны при решении задач. Читателю можно самому построить таблицу с помощью формулы (1).

n

 

Выражения стенных сумм sn          x

 

s1

 

1

s6

6          6   4                   9   2        2          2   3

1                      1         2                     1        2                      2

s2

2

1           2  2

s7

7          7   5                   14   3          7      3

1                      1        2                         1                      1       2

s3

3

1           3  1       2

s8

8          8   6                    20   4        2         16   2        3          2   4

1                     1        2                          1         2                         1        2                      2

s4

4          4   2                    2   2

1                      1         2                     2

s9

9          9   7                    27   5        2          30   3        3          9      4

1                      1        2                          1        2                          1        2                     1       2

s5

5          5   3                    5      2

1                     1        2                     1       2

s10

10         10   8                   35   6          50   4        3          25   2        4          2   5

1                            1        2                          1                          1        2                          1        2                      2

…………………………………….

 

 

  1. Доказательство основной теоремы. Теперь нетрудно завершить доказательство основной теоремы. Любой симметрический многочлен от x и y содержит (после приведения подобных членов)

слагаемые двух видов.

Во-первых, могут встретиться одночлены, в которые  x  и   y  входят в одинаковых степенях,    т.е.

k

 

одночлены вида  axk yk . Ясно, что

 

axk yk

 

a(xy)k

 

a   2  ,

 

т.е. одночлены этого вида непосредственно выражаются через     2 .

Во-вторых,  могут  встретиться  одночлены,  имеющие  разные  степени  относительно   x  и   y т.е.

 

одночлены вида

 

bxk yl , где   k

 

l . Ясно, что вместе с  одночленом

 

bxk yl

 

симметрический многочлен

 

содержит также и одночлен  bxl yk , получаемый из  bxk  yl

 

перестановкой букв  x и  y . Иными словами,

 

в симметрический многочлен входит двучлен  вида

 

b(xk yl

 

xl yk ) . Предполагая для  определенности

 

k     l , мы сможем переписать этот двучлен следующим образом:

 

b(xk yl

 

xl yk )

 

bxk yk ( yl k

 

xl  k )

 

k

s

 

b

 

2     l  k

 

Так  как  по  доказанной теореме  степенная сумма

 

sl-k

 

представляется  в  виде многочлена           и

 

2 , то и рассматриваемый двучлен выражается через

 

и       2 .

 

Итак,  каждый  симметрический  многочлен  представляется  в  виде  суммы  одночленов      вида

 

axk yk

 

и   двучленов  вида

 

b(xk yl

 

xl yk ) ,   каждый   из   которых   выражается через              и           .

 

Следовательно,  любой  симметрический  многочлен,  представляется  в  виде   от             и полностью доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

Теорема

 

 

  1. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. - М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит.
Фамилия автора: Р.С. Ахметов
Год: 2014
Город: Павлодар
Категория: Математика
Получить доступ
Чтобы скачать её, вам необходимо зарегистрироваться.
Яндекс.Метрика