В статье рассмотрено условие существования и единственности голоморфного решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения с малым параметром.
Рассматривается нелинейное уравнение вида
1
ey¢ = j(x, y, y¢, y¢ )+ l ò K (x, t ) f (t, y, y¢)d ,
0
(1)
где φ и f предполагаются непрерывными по первому аргументу и аналитическими по остальным аргументам функции, а ядро K(x,t) также достаточно гладкая функия, λ и ε > 0 - некоторые параметры.
При ε = 0 из (1) получается так называемое вырожденное уравнение
1
j (x,u,u' ,u'' )+ λò K (x,t ) f (t, y, y' )dt = 0 . (2)
0
Вопросы существования решения уравнения (2) в зависимости от параметра λ и его нахождение изучены нами в работе [1]. В данной работе исследуется решение уравнения (1) и связь между решениями этих двух уравнений. Обозначим через u(x) решение уравнения (2). Тогда с помощью замены
y(x) = u(x)+ ue (x),
(3)
из уравнения (1), получим
1
e (u¢ + ue ) = j(x, u + ue , u¢ + ue , u¢ + ue¢ )+ l ò K (x, t )f (t, u + ue , u¢ + ue¢ )d
. (4)
/ / /
0
Раскладывая теперь функции φ и f в ряд Тейлора в окрестности точек (x, u, u¢, u¢ ), (t, u, u¢)
и учитывая (2) отсюда имеем:
¥ æ ¶ ¶
¶ ö 1
¥ æ ¶
¶ ö
e |
e |
e |
e [u¢ (x)+ u / (x)]/ = å 1 ç
ue +
u / +
u¢ ÷j * + l ò K (x, t )å 1 ç
ue +
uå¢ ÷
f * d ,
n |
n=1 n!è ¶u
¶u¢
¶u¢ ø 0
n=1 n!è ¶u
¶u¢ ø
j * = j(x, u, u¢, u¢ ),
f * = f (t,u,u¢). (5)
Решение уравнения (5) ищем в виде формального ряда по степеням параметра ε:
2 |
ue (x) = eu1 (x)+ e
u2 (x)+ .
. (6)
Подставляя ряд (6) в уравнение (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получим систему линейных интегро-дифференциальных уравнений вида
(n=1,2,…),
(7)
где использованы следующие обозначения:
f1 (x) = u¢(x),
f n (x) =
f n (x) ,
A0 0 (1x)
(n=1,2,…) ,
1 é n
1 æ m-1 æ ¶
¶ öö ù
k |
' |
fn (x)= λò K (x,t )êå
çåç
uk +
u' ÷÷
f * údt +
m |
0 êëm=2 m! è k=1 è ¶u
¶u øø úû
é n æ n-1 ¶ ¶
¢
¶ ö m ù
æ |
ç |
+ êå 1 çåç u +
u¢ +
ö
ø |
ø |
u¢ ÷÷
j * ú
- u¢
(x) . (8)
êëm=2
m! |
k |
è k =1 è ¶u
û |
¶u¢ k
¶u¢ k ÷ ú
n-1
A (x)
A (x)
P (x) = 0 1 0 ,
P (x) = 1 0 0 ,
1 A x
2 A (x)
0 0 (1 )
K (x, t )B
(t)
0 0 1
K (x, t )B
(t)
K (x, t) = 1 0 ,
K (x, t) = 0 1 .
1 A x
2 A (x)
0 0( 1)
0 0 1
i+ j+k *
Aijk
(x)= ¶ j ,
¶ui ¶u¢ ju¢ k
(i + j + k ³ 1),
0 0 0
i+ j *
Bij
(x)= ¶ f ,
¶ui ¶u¢ j
(i + j ³ 1). (9)
0 0
В этих формулах штрих у квадратной скобки означает, что в
fn (x) входят только те члены двойной
n |
суммы, для которых сумма всевозможных произведений индексов k, m равна верхнему числу внешнего знака Σ.
Решим теперь линейное интегро-дифференциальное уравнение (7). Пусть некоторая фундаментальная система решений уравнения
un (x),
u~ (x)
есть
un¢
(x)+ P1 (x)un¢ (x)+ P2 (x)un (x) = 0
. (10)
Тогда решение уравнения (7), удовлетворяющее нулевым начальным условиям, можно представить в виде
x ~ ~
n |
u (x)
u (s )u (x ) - u (s )u (x )(F (s)
f (s))d
n = ò
0
n n n
D(s)
+ n , (n=1,2,…), (11)
где D(x)
u (x) u~ (x)
u / n (x) u~' (x) |
= n' n
n
- определитель Вронского,
M (t )
t H (s t )
f
(s)d
H s(s t ) = u
(s)u (r ) (t )- u
(s)u (r ) (t )
r = ò
0
r , ,
D(s) n
r , n ~
~
n n , (12)
1 |
n |
F (x) = -l ò ( , , ) ,
(r = 0, 1, 2).
0 |
D1 x t l d t D(l )
D(λ), D1 (x,t, λ) - известные функции относительно λ и определяются по формулам Фредгольма
[2]. Если теперь требовать
D(λ) ¹ 0 , то формула (11) является однозначным решением уравнения (7).
Продифференцировав два раза по х уравнение (11), получим
x ~ ~
n |
un¢
(x) = ò
0
un (s)un¢ (x)- un (s)un¢ (x)(F (s)+
D(s)
f (s))d ,
x ~ ~
n |
un¢
(x) = ò
0
un (s)un¢ (x)- un (s)un¢ (x)(F (s)+
D(s)
f (s))d
, (13)
D1 (x, t, l ) D(l ) |
Имеют место следующие оценки
£ D = c
,o (0n£ x, t s£ 1)
[ ] |
r = 0, 1, 2
0 £ x,t £ 1
. (14)
1 1
ì 1
þ |
ò ò
' 1 ü
ij |
maxí
0 |
î m!
|K (x,t )||B (t )|dt,
0
|K (x,t )| | f (t,u,u )|dt, (i + j + k )! |Aijk (x)|ý £ B = const,
1 A0 0(x1) |
£ C = c o .
Тогда из (11) с учетом (14) при всех n получаем
|un (x)| £ M 0
(|λ|D + | f
(x)|)
n |
|u' (x)|£ M (|λ|D + | f
(x)|)(n = 1, 2, 3, ...)
(15)
n |
n 1
un¢ (x) £ M
n
2 |
(l D +
f (x)).
Далее, так как
1
' |
f1 (x)= ò K (x,t ) f (t,u,u
)dt,
то имеем:
0
1i |
| f1 (x)| £ B
½ ç ÷ ( )½£
(| |
u (i ) (x) £ M
1 |
i |
| ( )|)£
(l D + B
) @ a C
(i = 0,1, 2)
i |
æ ö
u è ø x
½ 2 ½
Mi λ D + C fn x
ý |
ì é æ 2 2
öùü
í |
M ï|λ|D + BC ê|λ|ç½u 2½+ 2|u ½|u'½+½u'½
+ |u |+½u'½+½u 2½+½u'½
+½u' '½+ 2½u' '½u'½+ 2|u ½|u' '½+ 2½u'½u' '½÷úï £
ø |
ê |
i ïî
ç½ 1½
ë è
1½ 1½
½ 1½
1 ½ 1½
½ 1½
½ 1½
½ 1½
½ 1½ 1½
1½ 1½
½ 1½ 1½÷úûþï
M {|λ|D + BC[|λ| (a 2 + 2a a
+ a 2 + a
+ a + a 2 + a 2 + a 2 + 2a a
+ 2a a
+ 2a a
)]}º a .
i 10
10 11
11 10
11 10
11 12
10 11
10 12
12 11 2i
Итак, ½uè i ø (x)½£ a
(i = 0, 1, 2 )
½ çæ ÷ö ½
½ 2 ½ 2i
Продолжая этот процесс, получаем
n |
u (i ) (x) £ M
ì
(l D + f
2 |
n |
é æ n
(x))£
æ n-1
¢
ö m ö æ n-1 æ n-1
¢
ö m ö æ n -1 æ n-1
m ¢ ùü
ö ö
£ M ï l D + B
ê l ç åCç å(u
+ u¢ )÷
÷ + çåçå(u
+ u¢ )÷
÷ + çåçå(u
- u¢
+ u¢ )÷
÷ úï £
ç |
i í ê
î |
ï ë
ì é
k
è m=1 è k =1
k k
ç |
÷ |
ø ø è m=1 è k =1
m |
ç |
¢
k k
ç |
÷ |
ø ø è m=1 è k =1
m |
ç |
¢
k
m |
÷ |
¢ ùü
k ÷ úý
þ |
ø ø ûï
ç |
ï ê æ n æ n-1
ö ö æ n æ n-1
ö ö æ n æ n-1
ö ö úï
÷ |
÷ |
£ M i í l D + B
ê l çåç åC(ak 0 + ak1 )÷
÷ + çåçå(ak 0 + ak1 )÷
÷ + ç åçå(ak 0 + ak1 + ak 2 )÷
÷ úý º an
, (16)
þ |
î |
ï ë
è m=1 è k =1
ø ø è m=1 è k =1
ø ø è m=2 è k =1
ø ø ûï
То есть
½ çæ i ÷ö
un |
è ø |
½
(x)½ a (n= 1, 2, ....; i = 0, 1, 2 ).
£ ni |
½
Докажем теперь сходимость рядов
¥
åe n
n |
n |
=1
un (x),
¥
åe
n=1
un¢ (x) ,
¥
åe
n=1
un¢ (x). (17)
n
Для этого рассмотрим систему уравнений:
F |
F |
F ε, |
1(ε,u,v,w)= 0 2 ( u,v,w)= 0 3 (ε,u,v,w)= 0
(18)
ì é ¥ k ¥
k ùü
где
F1 (ε,u,v,w)= -u+ εa10 + M 0 í|λ0 |D+ BC ê|λ|å(u+ w)
+ εu + å(u+ v+ w)
úý,
î ë k=2
k=2 ûþ
ì é ¥ k ¥
k ùü
F2 (ε,u,v,w)= -v + εa11 + M 1 í|λ|D + BC ê|λ|å (v + w)
+ å(u + v + w)
+ εuúý ,
î ë k=2
k=2 ûþ
|
F3 (ε,u,v,w)= -w+ εa12 + M
. (19)
Якобиан
D(F1 , F2 , F3 ) =
D(u, v, w)
¶F2 ¶u ¶F3 ¶u |
¶F2
¶v
¶F3
¶v
¶F2 ¶w ¶F3 ¶w |
= -1 ¹ 0 . (20)
Следовательно, по теореме существования неявной функции система (18) имеет единственное голоморфное решение относительно параметра ε:
¥
n0 |
u = åe n a ,
n=1
¥
n1 |
v = åe n a ,
n=1
¥
n 2 |
w = åe n a
n=1
. (21)
Коэффициенты
anr (n = 1, 2, ....; r = 0, 1, 2 ) определяются путем подстановки (21) в (18):
ì æ é n
æ n-1
m |
′
ö ù é n
æ n-1
′ öü
m |
ù |
ö
a = M
ï|λ|D + BCç ê|λ|
ç (a
+ a )÷
ú + ê ç
(a + a
+ a )÷
ú + a ÷ï
nr r í
ïî
ç ê
ë |
è
å
m=2
å k0
è k=1
k1
ø úû
å å k0
êëm=2 è k=1
k1 k2
ø úû
n-1,2 ÷
ï |
øþ
(n ³ 2, ....; r = 0, 1, 2 ).
Причем аналогичным путем, как в [1], нетрудно убедиться в том, что
|un (x)| £ an0 ,
|u' (x)|£ a ,
|u'' (x)|£ a
(n= 1,2,...).
n n1 |
n |
n2 |
Следовательно, ряды (21) сходятся равномерно и абсолютно, согласно теореме Вейерштрасса.
Тем самым получена теорема.
Теорема:
Пусть:
- функции φ и f непрерывны по х и аналитические по остальным аргументам;
- A001(x) ¹ 0, D(λ) ¹ 0 ;
- Справедливы неравенства (14).
Тогда уравнение (1) имеет единственное решение, представимое в виде
¥
n |
y(x)= u(x)+ å ε un (x), где
u(x) - решение уравнения (2),
un (x) определяется по формулам
n=1
(11). Причем при ε ® 0
решение уравнения (1) стремится к решению уравнения (2).
Литература
- Аяшинов М.М., Даниярова Ж.К. К вопросу существования решений нелинейных интегро- дифференциальных уравнений // Вестник Инновационного Евразийского университета. - 2011. -
№ 1. – С. 202-206.
- Краснов М.П. Интегральные уравнения. - М.,:Наука,