Дифференциальные уравнения с параметрами как математические модели

В  статье рассмотрены современные подходы в процессе математического моделирования в естествознании. 

Во многих задачах естествознания возникают математические модели в виде автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметров. Такие уравнения описывают зависимость скорости изменений некоторых величин, называемых фазовыми, или динамическими переменными, от значений самих этих величин. Фазовые переменные имеют самый разный смысл, определяемый природой изучаемого явления. Это могут быть: угол отклонения маятника от положения равновесия, концентрации химических веществ в реагирующей смеси, численности  популяций животных и растений, составляющих экологическое сообщество, и так далее. Кроме значений изучаемых величин, в правые части уравнений, как правило, входят коэффициенты или параметры, определяемые внутренними свойствами моделируемой системы или внешними условиями, как-то: длина маятника, ускорение свободного падения, константы скоростей химических реакций, скорость роста популяций и так далее. Величины такого рода, относительно которых предполагается постоянство во времени, мы будем называть параметрами модели.

Рассмотрим несколько примеров математических моделей из разных областей естествознания. Все эти модели нелинейные, содержат небольшое число (2-3) фазовых переменных и зависят от нескольких параметров.

Пример 1. Химия. Один из традиционных объектов исследования  в  кинетике гетерогенного катализа – реакция окисления окиси углерода на платиновом катализаторе. Для описания известных из экспериментов критических явлений в этой реакции, таких как множественность стационарных состояний и автоколебания скорости реакции, был предложен следующий нелинейный кинетический механизм:

 

Пример 2. Экология. Классический объект экспериментальной и теоретической экологии – система двух популяций, взаимодействующих по принципу «хищник – жертва».

Рассмотрим модель динамики численности таких популяций, основанную на следующих предположениях: популяция жертвы при малой численности размножается в  геометрической прогрессии. Увеличение численности популяции приводит к конкуренции, в  результате которой скорость размножения популяции линейно убывает с ростом ее численности. Это предположение дает классическую «логистическую» модель динамики численности изолированной популяции жертвы; количество добываемой и потребляемой хищником в единицу времени пищи зависит от численности жертв. При малой численности популяции жертвы эта зависимость прямо пропорциональная, при больших – наступает насыщение. Потребленная пища с некоторым коэффициентом перерабатывается в биомассу  хищников.   Этот  процесс   включает   в  себя  как  рост,   так   и  размножение     хищников; в отсутствие жертвы популяция хищника вымирает со скоростью, определяемой естественной смертностью и конкуренцией. Сформулированные предпосылки, обоснованность и область применимости которых мы здесь не обсуждаем, приводят к следующей модели:

 

Получаем систему двух дифференциальных уравнений, зависящую от семи параметров: r, К, b, А, с, g, d. Зная значения параметров, мы можем для любых начальных значений фазовых переменных решить (как правило, численно на ЭВМ) систему дифференциальных уравнений и предсказать ход процесса во времени, то есть рассчитать поведение интересующих нас переменных во времени: х(t), у(t) и так далее. Решения системы дифференциальных уравнений удобно представлять в виде траекторий – кривых, вычерчиваемых  изображающей  точкой  (х(t),  у(t),…)  в  пространстве  фазовых  переменных  (х,    у,…) с течением времени t. В случае системы с двумя фазовыми переменными траектория  –  это гладкая кривая на фазовой плоскости.

Подобные математические модели относятся к разряду качественных: они призваны описывать принципиальные, качественные свойства изучаемых процессов, а не их детальные характеристики. При заведомой количественной неточности моделей точное их решение имеет мало смысла. Возникающие при исследовании таких моделей вопросы должны носить качественный характер. Вопросы качественного характера, как правило, оказываются интересными, даже когда имеется точное описание моделируемого процесса. Качественные вопросы естественно разделить на две категории. Вопросы первого типа относятся к поведению системы при фиксированных значениях параметров. Самым существенным  при  этом  является  качественное  понимание  характера  режимов,  устанавливающихся в системе по прошествии достаточно большого времени. Вообще говоря, в системе в зависимости от начальных условий могут устанавливаться различные режимы: в химическом реакторе при различных начальных концентрациях веществ реакция может либо прекратиться, либо может установиться некоторая постоянная скорость реакции; реакция может идти в пульсирующем режиме; наконец, реактор может разрушиться. Сходным образом взаимодействие болезнетворных микроорганизмов и иммунных клеток может привести к переходу болезни в хроническую форму или в режим периодических обострений. Вопросы первого типа как раз и подразумевают предсказание того, какие режимы могут устанавливаться в данной системе при фиксированных значениях параметров. Ответы на вопросы первого типа можно получить из так называемого фазового портрета системы – совокупности всех ее траекторий, изображенных в пространстве фазовых переменных. Среди этих траекторий имеется некоторое число основных, которые и определяют качественные свойства системы. К ним относятся прежде всего точки равновесия, отвечающие режимам периодических колебаний. Будет ли режим устойчив или нет, можно установить по поведению соседних траекторий: устойчивое равновесие или цикл притягивает все близкие траектории, неустойчивое отталкивает хотя бы некоторые из них. Наконец, в свете сформулированных вопросов интерес представляют области притяжения различных устойчивых режимов и границы этих областей.

Вопросы второго типа касаются событий, происходящих в системах при изменении значений параметров. Постепенное изменение параметра, например температуры Т в химической системе, может приводить к тому, что при пересечении некоторого критического значения установившийся в системе режим претерпевает качественное изменение. Например, ранее стационарный ход реакции сменяется пульсирующим режимом. Изменение другого параметра, например парциального давления р одного из газов в реакционной смеси, может приводить к другому качественному изменению  хода установившегося процесса, например к скачкообразному изменению скорости течения процесса. При таких перестройках, очевидно, меняется фазовый портрет изучаемой системы.  Качественные перестройки фазового портрета называется бифуркациями. Вопросы второго типа, следовательно, подразумевают определение бифуркационных (критических) значений параметров и описание явлений, происходящих при переходе через критические значения. Таким образом, возникает задача разбиения пространства параметров системы на области с качественно различными типами динамического поведения – построение  параметрического  портрета  системы.  Построенный параметрический портрет в совокупности с соответствующими фазовыми портретами содержит в концентрированном виде информацию о возможных в системе динамических режимах и их качественных перестройках. Математическое изучение вопросов качественного характера, тип которых указан выше, составляет предмет качественной теории и теории бифуркаций динамических систем. Основы этих математических дисциплин были заложены  в  конце  прошлого  и  первой  половине  нынешнего  столетия  в  трудах А.М. Ляпунова, А. Пуанкаре, А.А. Андронова и других ученых. Вопрос о качественном исследовании системы    дифференциальных    уравнений    при    фиксированных    значениях    параметров    ставится в качественной теории следующим образом. Автономная система дифференциальных уравнений определяет разбиение фазового портрета, то есть такой набор его свойств, которые сохраняются при непрерывной деформации фазового портрета.

Рассмотрим более подробно качественную структуру фазового портрета системы двух дифференциальных уравнений. Эта структура определяется типом и взаимным расположением положений равновесия, предельных циклов и сепаратрис. Положение равновесия – это точка фазовой плоскости, в которой обращаются в нуль правые части системы. Положения равновесия отвечают стационарным режимам. Под типом положения равновесия понимается структура фазового портрета в его малой окрестности. Существует три «основных» типа положений равновесия: устойчивый  узел (или фокус), неустойчивый узел, седло. Устойчивый узел (фокус) притягивает все близкие  траектории (то есть любые малые возмущения затухают). Такое положение равновесия отвечает установившемуся стационарному режиму. Неустойчивой узел, наоборот, отталкивает все близкие траектории. Положение равновесия типа седло принципиально отличается от указанных двух типов равновесий. Имеются ровно две траектории, «выходящие» из седла, – выходящие сепаратрисы. Все остальные траектории могут подходить сколь угодно близко к седлу, но затем с течением времени будут удаляться от него (положение равновесия типа седло неустойчиво). Предельный цикл – это замкнутая траектория на фазовой плоскости. Предельные циклы отвечают режимам периодических колебаний. Тип предельного цикла – это также топологическая структура фазового портрета в его окрестности. Для системы на плоскости различают два основных типа предельных циклов: устойчивый и неустойчивый. В первом случае все близкие траектории стремятся к предельному циклу, «накручиваясь» на него, во втором удаляются от предельного цикла, «скручиваясь» с него. Устойчивый предельный цикл соответствует режиму автоколебаний.

Пример фазового портрета системы на плоскости представлен на рисунке 1.

Фазовый портрет экологической модели

Рисунок 1 – Фазовый портрет экологической модели 

Точки О1, О2, О4 – равновесные точки, О3 - неустойчивый фокус, заштрихованная область – область начальных значений, влияющих на установление режима автоколебания. Это один из фазовых портретов экологической системы. На нем имеются положения равновесия всех основных типов и устойчивый предельный цикл. Фазовый портрет показывает, что при положительных начальных численностях популяций хищника и жертвы в системе может устанавливаться один из двух возможных режимов: либо режим автоколебаний, отвечающий предельному циклу Г, либо стационарный режим, отвечающий положению равновесия О5. Области начальных значений, из которых устанавливается тот или иной режим, разделены линией, образованной входящими сепаратрисами седла О4. Отметим, что границами областей  притяжения  в  системе  на  плоскости,  кроме  входящих  сепаратрис  седел,  могут     служить и неустойчивые предельные циклы. Полученные из исследования фазового портрета качественные выводы могут быть весьма существенны для предсказания поведения и управления экосистемой. Пусть, например, жертвы в модели (1) - это жуки, являющиеся вредителями леса, а хищники – поедающие этих жуков птицы.

Пусть далее автоколебательному режиму, связанному с циклом Г, отвечают относительно низкие численности вредителей, а стационарному состоянию О5 – высокие численности вредителей. Фазовой портрет (рисунок 1) показывает, что полезные на первый взгляд внешние воздействия на экосистему, приводящие к массовой гибели вредителей, могут давать затем неожиданные последствия – вспышку их численности. Действительно, если система исходно находилась в режиме автоколебаний и воздействие было  таково,  что  вывело  изображающую  точку за  пределы  заштрихованной области, то в системе установится стационарный режим О5, отвечающий большей численности вредителей.

 Одним из   основных   понятий   качественной   теории    является    понятие    грубой    системы,    введенное А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным. Это понятие формализует следующее наблюдение: топологическая структура фазового портрета, как правило, не меняется при малом изменении системы. Свойство  сохранения  структуры  фазового  портрета  при  малых  возмущениях  системы  было      взято в качестве определения грубости, и затем было доказано, что почти всякая система на  плоскости является грубой. Если менять параметры грубой системы, то ее фазовый портрет будет также меняться, но топологическая структура в некотором диапазоне значений параметров будет оставаться постоянной. При достижении критических значений параметров происходит бифуркация – меняется топологическая структура фазового портрета. Задача качественного исследования системы, зависящей от параметров, состоит в том, чтобы описать все возможные в ней бифуркации, построить множество бифуркационных значений параметров, разбивающих пространство параметров на области с различными типами фазовых портретов,   и   указать   для   каждой   области   соответствующий   ей   фазовый   портрет.   Полученное в результате такого бифуркационного исследования разбиение пространства параметров и есть параметрический портрет системы.

Фамилия автора: Ж.К. Даниярова,А. Сарсен 
Год: 2011
Город: Павлодар
Категория: Математика
Яндекс.Метрика