Рассматривается задача о распространении плоской свободной ламинарной струи несжимаемой жидкости, вытекающей из насадка конечного размера. Исследовано влияние формы начальных профилей на переход к автомодельному течению.
При сжигании жидких топлив различных технологических агрегатов (печи, котлы и др.) практическое значение имеет исследование влияния начальных профилей на развитие струи.
В теоретическом анализе струйных течений вязкой жидкости и газа, как правило, используется представление о струе-источнике, которое является идеализацией реального процесса. Такой подход позволяет исследовать течение, абстрагируясь от детального знания начальных условий (формы и размеров сопла, профиля скорости на срезе сопла), а в математическом плане перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Однако полученные таким образом автомодельные решения соответствуют течению на значительном удалении от среза сопла. Вблизи насадка характер течения остается невыясненным. Решения для этой области можно получить численно или используя приближенные методы (малых возмущений, последовательного приближения и др.). В теории струй приближенные методы не нашли заметного распространения, так как расчет даже второго приближения весьма громоздок и часто практически не выполним.
Метод конечных разностей позволяет получить поля скоростей, температур и концентраций во всей области течения, проследить развитие любого начального профиля.
Исходное дифференциальное уравнение, начальные и граничные условия разложением в ряд Тейлора приводятся к конечно-разностной форме с необходимой степенью точности. Решение полученной алгебраической системы уравнений принимается за приближенное решение исходной задачи. Так как замену частных дифференциалов конечными разностями можно осуществить многочисленными способами, то методов конечных разностей насчитывается столько, сколько существует этих замен.
Рассмотрим плоскую свободную затопленную ламинарную струю несжимаемой жидкости, вытекающую из насадка конечного размера 2l. Распределение скорости ламинарного пограничного слоя описывается уравнениями Прандтля:
Расчет проводился по алгоритму, предложенному в работе [1]. Уравнение движения аппроксимировалось с помощью двухслойной неявной шеститочечной схемы. Полученная система решалась методом прогонки, для отыскания прогоночных коэффициентов используются граничные условия для струи (3,4). Поскольку с ростом x толщина пограничного слоя растет, необходимо на каждом слое во всех точках сетки проверять условие гладкого сопряжения:
В случае невыполнения этого условия на n слое добавляется точка с шагом.
Зная величину скорости u на (n+1) слое, из уравнения неразрывности можно найти поперечную скорость v. В результате решения получено поле скорости плоской свободной струи при различных начальных профилях во всей области течения. Проводя классическое разделение струи на три области, видим, что потенциального ядра в центральной части струи в случае параболического начального профиля нет, сразу происходит постепенное падение осевой скорости. Для прямоугольного начального профиля характерны все три области течения.
На рисунке 1 приведено изменение осевой скорости струи при параболическом и прямоугольном начальных профилях.
Если в начальном участке струи заметно сказывается влияние формы профилей на выходе сопла, то на значительном удалении от насадка закономерности течения приобретают универсальный характер. Однако, выход на автомодельный режим в случае параболического профиля устанавливается раньше, чем для прямоугольного.
Рисунок 1 - Изменение безразмерной осевой скорости в плоской струе при начальных профилях
Литература
- Арутюнов В.А., Бухмиров В.В., Крупенников С.А. Математическое моделирование тепловой работы промышленных печей. - М.: Металлургия, 1990.