В работе рассматривается приближенное решение нелинейных уравнений. Построен метод для нахождения приближенного решения нелинейных краевых задач. В качестве примера рассмотрено нелинейное уравнение теплопроводности.
Пусть W - область в R1 В области W рассматривается краевая задача:
Lu = f ,
x ÎW;
u ¶W = 0,
где ∂W - граница области W ;
(1)
L-нелинейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, f(x)Î L2 ( W ).
Задачу (1) будем изучать в
L2 (W) . Граничные условия понимаем в
смысле
L2 (¶W).
Помимо (1) рассмотрим линейную задачу:
Au =n ;
u ¶W = 0.
(1')
Будем предполагать, что эта задача однозначно разрешима и функция Грина для (1') выписывается явно. А также пусть найдется линейный
оператор В, такой, что
Mn = B(LA-1n )
непрерывен. B уравнении (1) обозначим
u = A-1n
и подействуем оператором В. Тогда получим:
Mu = Bf .
(2)
Для построения метода приближенного решения уравнения (2) на оператор наложим некоторые условия:
Пусть при e Î (-e 0 ;
e 0 )
выполнены условия 1) - 4):
1) D(u,w,e )
º (M (u + ev) - M (u)) / e - M (u)v
£ eF( u ,
v ) v ;
2) M (u)
£ C1 ( u );
3) u £ C2 ( Mu );
4) M *-1
(u)
£ C3 ( u ),
где F(·; ·), c(·), (j = 1,2,3) - непрерывные, монотонные, неубывающие функции.
|
|
Обозначим:
J (v) = ò M (v) - f
W
dx =
M (v) - f .
Заметим, что на решении (2) функционал J обращается в ноль и J > 0,
если
M (n ) ¹ f .
Поэтому будем искать решение уравнения (2) как элемент,
доставляющий минимум J .
Для v, ω и малых ε, которые берем положительными, имеем:
Je = J (v + ew) =
M (n + ew) - M (n ) + (M (n ) - f ) 2 =
= J (v) + e
(M (v + ew) - Mv) / e ,
.M ¢(v)w,2(Mv - f ) +
+ e M (v + ew) - Mv - M (v)w,
e
M (v + ew) - Mv
+ e M ¢(v)w,
2(Mv - f ) +
+ e M ¢(v)w,
M (v + ew) - Mv) .
Отсюда получим:
Je = J (v) + e
(M (v + ew) - Mv)) / e - .M ¢(v)w,
(M (v + ew) + M (v) - f ) +
+ e w, M ¢*(v)(M (v + ew) - M (v)) / e - M ¢(v)w +
+ e w,2M ¢ * (v)(M (v) - f ) +
M ¢ *(v)M ¢)(v)w .
Используя неравенство Гельдера, получаем оценку:
J (v + ew) £ J (v) + e
w2M
* (v)(M (u) - f )
+ e 3 w [ M
* (v)M (v)w
- M
* (v)D(v, w,
e ) ]+
+ e (
Jx +
J ) D(v, w,
e ) ,
где
D(n , w,
e ) = (M (n + ew) - M (n )) / e - M (n )w.
Выберем:
w = -2M * (n )(Mn - f ).
Тогда последняя оценка дает:
2 é 2 ù
|
Je = J (v + ew) £ J (v) + e w
+ e 2 w M (v)
ë
w + M (v)
D(v, w,
e ) úû + e (
Jx +
J ) D(v, w,
e ) .
Пусть e Î (-e 0 ;
e 0 ), воспользуемся условием 1):
2 é 2 ù
Je = J (v + ew) £ J (v) + e v
+ e 2
v êë M (v)
v + e
M (u) F ( v ,
w ) w úû
+ e 2 (
Jx +
J ) w
F ( v ,
w ).
|
|
|
Теперь воспользуемся условием 2) и определением v:
|
Jx º J (v + ew) £ J (v) + e w
+ 4e 2
1 ( v )J (v) + 4c1
( v )e
3 F ( v ,
2c1 ( v )J (v) +
+ 2e
2 [(
Jx +
J )c1 ( v )
JF ( v ,
2c1 v )J ).
|
Привлекая условие 3) отсюда получим:
Je £ J - e v
2 + e
c4 (J ,
f )(Je + J ),
(3)
где c4(·, ·) - непрерывная функция, монотонно неубывающая по каждому переменному.
Из условий 4) и 3) следует, что:
Mv - f
= 1/ 2 M *-1 (v)M ¢ * (v)(Mv - f )
£ 1/ 2 M *-1 (v) w £
£ 1/ 2c3 ( v ) w
£ 1/ 2c5 (J ,
f ) w ).
|
Здесь с5(·, ·) - монотонно неубывающая по каждому переменному функция. Из этого неравенства и условия 3) вытекает:
|
Je (1 - c4e
) £ J (1 - e / c5 + e
c4 ).
Отсюда, так как с4 и с5 монотонны по J , можно найти число δ ≥ 0,
зависящее от f и J , монотонно не возрастающее при возрастании J и f ,
что имеет место:
Je £ J (1 - e / c5
+ e 2 c
) /(1 - c e 2 ) £ J (1 - d ).
(4)
|
|
|
Составим итерационный процесс:
un+1
= un
- d 0
M '* (u
)(M (un
) - f ),
n = 0, 1,
2,...
(5)
Для этой последовательности в силу (4) имеет место оценка:
|
M (un ) - f
£ ( M (u0 ) - f
2 (1 - d )n .
(6)
|
Отсюда и из (5), в силу 2) вытекает, что:
un+1
- u0
£ c(1- d )n / 2 .
(7)
Неравенства (6) и (7) дают, что итерационный процесс сходится как геометрическая прогрессия к решению уравнения (2). Таким образом, доказана следующая теорема:
Теорема. Пусть выполнены условия 1) - 4). Тогда решение уравнения
(2) существует. Итерационный процесс (5) сходится со скоростью геометрической прогрессии, и выполняются оценки (6) и (7).
Рассмотрим задачу:
u t - u xx + u 2 = f(x,t);
u t=0 = 0, u x=0 = u x=1 = 0.
Для решения данной задачи нужно рассмотреть вспомогательную задачу:
ut - uxx
= v(x,t);
u t=0 = 0, u x=0 = u x=1 = 0.
Решение такого уравнения пишется следующим образом:
t 1
u(x, t) = ò dt ò G(x,x , t - t )v(x ,t )dx ,
0 0
где
¥
G(x,x , t - t ) = 2åe
n=1
-(pn)2 (t -t )
sinpnx sinpxx.
Напишем решение этого уравнения в операторной форме исходное уравнение запишется в виде:
2
u = An . Тогда
v + ( Av)
= f (x, t);
( Av) t =0 = 0;
( Av) x=0 = ( Av) x=1 = 0.
Левую часть уравнения обозначим через оператор М,
Исходное уравнение запишется следующим образом:
Mn =n + (An )2 .
Mn = f (x,
t).
Найдем приближенное решение этого уравнения. Строим функционал:
1 1
2
J (wn ) = ò dtò Mw - f (x, t)
dx.
0 0
Если v является решением уравнения
Mn = f
и w =n ,
то тогда
подынтегральное выражение равняется нулю. Поэтому будем минимизировать функционал J . Построим итерационный процесс:
1 1
2
J (wn ) = ò dtò Mwn - f (x, t)
dx,
0 0
где М*(ωп) - оператор, сперва получим производную Гато, затем найдем сопряженное полученного уравнения:
M ¢*(wn )(Mwn - f ) = Mwn - f + 2A*(A(wn )(Mwn - f ) =
|
1 1
= wn
- ( Awn
)2 - f + 2ò dt òG(x,x ,t -t )(w
Awn
+ ( Aw)3 - Aw
))dx =
|
t 0
1 1 1 1
2
= wn + ( Awn )
- f + 2ò dt òG(x,x ,t -t )[(wn ò dt1 òG(x,x ,t -t )wn (x1,t1 )dx1 +
t 0 t 0
1 1 1 1
3
+ (ò dt1 òG(x,x , t -t )(wn (x1 ,t1 )dx1 )
- f ò dt1 òG(x,x , t -t )wn (x1 ,t1 )dx1 ]dx.
t 0 t 0
C помощью полученного выражения и построенного итерационного
*
процесса
J (wn+1 ).
wn+1 = wn - eM
(wn )(Mwn - f )
найдем элемент
wn+1
и вычислим значение
Ниже приведены соответствующие численные расчеты.
Таблица 1 - Приближенное решение нелинейного уравнения теплопроводности
0.00000000 |
0.00000000 |
0.0000000 |
0.00000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
0.00239675 |
0.0045846 |
0.0066611 |
0.0086366 |
0.0105180 |
0.0123114 |
0.00000000 |
0.00463887 |
0.0088856 |
0.0129160 |
0.0167499 |
0.0204014 |
0.0238819 |
0.00000000 |
0.00659638 |
0.0126634 |
0.0184210 |
0.0238975 |
0.0291130 |
0.0340841 |
0.00000000 |
0.00818344 |
0.0157578 |
0.0229453 |
0.0297810 |
0.0362905 |
0.0424945 |
0.00000000 |
0.00936870 |
0.0181063 |
0.0263969 |
0.0342807 |
0.0417874 |
0.0489414 |
0.00000000 |
0.01017435 |
0.0197430 |
0.0288212 |
0.0374525 |
0.0456702 |
0.0535013 |
0.00000000 |
0.01066439 |
0.0207772 |
0.0303709 |
0.0394908 |
0.0481728 |
0.0564457 |
0.00000000 |
0.01092478 |
0.0213587 |
0.0312562 |
0.0406637 |
0.0496186 |
0.0581512 |
0.00000000 |
0.01103997 |
0.02163553 |
0.0316856 |
0.0412373 |
0.0503290 |
0.0589916 |
0.00000000 |
0.01107096 |
0.02171475 |
0.0318104 |
0.0414051 |
0.0505375 |
0.0592388 |
0.00000000 |
0.01103997 |
0.02163553 |
0.0316856 |
0.0412373 |
0.0503290 |
0.0589916 |
0.00000000 |
0.01092478 |
0.02135879 |
0.03125623 |
0.0406637 |
0.0496186 |
0.0581512 |
0.00000000 |
0.01066439 |
0.02077728 |
0.03037090 |
0.0394908 |
0.0481728 |
0.0564457 |
0.00000000 |
0.01017435 |
0.0197430 |
0.02882123 |
0.0374525 |
0.0456702 |
0.0535013 |
0.00000000 |
0.00936870 |
0.0181063 |
0.02639696 |
0.0342807 |
0.0417874 |
0.0489414 |
0.00000000 |
0.00818344 |
0.0157578 |
0.02294530 |
0.0297810 |
0.0362905 |
0.0424945 |
0.00000000 |
0.00659638 |
0.0126634 |
0.01842103 |
0.0238975 |
0.0291130 |
0.0340841 |
0.00000000 |
0.00463887 |
0.0088856 |
0.01291602 |
0.0167499 |
0.0204014 |
0.0238819 |
0.00000000 |
0.00239675 |
0.0045846 |
0.00666118 |
0.0086366 |
0.0105180 |
0.0123114 |
0.00000000 |
0.00000000 |
0.0000000 |
0.00000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
Таблица 2 - Решение нелинейного уравнения теплопроводности
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.002316 |
0.004520 |
0.006616 |
0.008610 |
0.010506 |
0.012311 |
0.000000 |
0.004389 |
0.008564 |
0.012536 |
0.016314 |
0.019907 |
0.023326 |
0.000000 |
0.006218 |
0.012133 |
0.017759 |
0.023111 |
0.028202 |
0.033045 |
0.000000 |
0.007803 |
0.015226 |
0.022286 |
0.029003 |
0.035391 |
0.041469 |
0.000000 |
0.009144 |
0.017842 |
0.026117 |
0.033987 |
0.041474 |
0.048596 |
0.000000 |
0.010241 |
0.019984 |
0.029251 |
0.038066 |
0.046451 |
0.054428 |
0.000000 |
0.011095 |
0.021649 |
0.031688 |
0.041238 |
0.050322 |
0.058963 |
0.000000 |
0.011704 |
0.022839 |
0.033430 |
0.043504 |
0.053087 |
0.062203 |
0.000000 |
0.012070 |
0.023552 |
0.034474 |
0.044864 |
0.054746 |
0.064147 |
0.000000 |
0.012192 |
0.023790 |
0.034823 |
0.045317 |
0.055299 |
0.064795 |
0.000000 |
0.012070 |
0.023552 |
0.034474 |
0.044864 |
0.054746 |
0.064147 |
0.000000 |
0.011704 |
0.022839 |
0.033430 |
0.043504 |
0.053087 |
0.062203 |
0.000000 |
0.011095 |
0.021649 |
0.031688 |
0.041238 |
0.050322 |
0.058963 |
0.000000 |
0.010241 |
0.019984 |
0.029251 |
0.038066 |
0.046451 |
0.054428 |
0.000000 |
0.009144 |
0.017842 |
0.026117 |
0.033987 |
0.041474 |
0.048596 |
0.000000 |
0.007803 |
0.015226 |
0.022286 |
0.029003 |
0.035391 |
0.041469 |
0.000000 |
0.006218 |
0.012133 |
0.017759 |
0.023111 |
0.028202 |
0.033045 |
0.000000 |
0.004389 |
0.008564 |
0.012536 |
0.016314 |
0.019907 |
0.023326 |
0.000000 |
0.002316 |
0.004520 |
0.006616 |
0.008610 |
0.010506 |
0.012311 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
Таблица 3 - Разность решения и приближенного решения нелинейного уравнения теплопроводности
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000080 |
0.000064 |
0.000045 |
0.000026 |
0.000011 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000250 |
0.000321 |
0.000380 |
0.000436 |
0.000494 |
0.000556 |
0.000000 |
0.000378 |
0.000530 |
0.000661 |
0.000786 |
0.000910 |
0.001038 |
0.000000 |
0.000380 |
0.000532 |
0.000659 |
0.000778 |
0.000899 |
0.001025 |
0.000000 |
0.000224 |
0.000263 |
0.000280 |
0.000293 |
0.000313 |
0.000345 |
0.000000 |
-0.000067 |
-0.000241 |
-0.000430 |
-0.000614 |
-0.000782 |
-0.000927 |
0.000000 |
-0.000431 |
-0.000872 |
-0.001318 |
-0.001748 |
-0.002150 |
-0.002518 |
0.000000 |
-0.000780 |
-0.001480 |
-0.002174 |
-0.002841 |
-0.003469 |
-0.004052 |
0.000000 |
-0.001031 |
-0.001917 |
-0.002789 |
-0.003627 |
-0.004418 |
-0.005156 |
0.000000 |
-0.001122 |
-0.002076 |
-0.003013 |
-0.003912 |
-0.004762 |
-0.005557 |
0.000000 |
-0.001031 |
-0.001917 |
-0.002789 |
-0.003627 |
-0.004418 |
-0.005156 |
0.000000 |
-0.000780 |
-0.001480 |
-0.002174 |
-0.002841 |
-0.003469 |
-0.004052 |
0.000000 |
-0.000431 |
-0.000872 |
-0.001318 |
-0.001748 |
-0.002150 |
-0.002518 |
0.000000 |
-0.000067 |
-0.000241 |
-0.000430 |
-0.000614 |
-0.000782 |
-0.000927 |
0.000000 |
0.000224 |
0.000263 |
0.000280 |
0.000293 |
0.000313 |
0.000345 |
0.000000 |
0.000380 |
0.000532 |
0.000659 |
0.000778 |
0.000899 |
0.001025 |
0.000000 |
0.000378 |
0.000530 |
0.000661 |
0.000786 |
0.000910 |
0.001038 |
0.000000 |
0.000250 |
0.000321 |
0.000380 |
0.000436 |
0.000494 |
0.000556 |
0.000000 |
0.000080 |
0.000064 |
0.000045 |
0. 000026 |
0.000011 |
0.000000 |
Список литературы
[1] Мухамбетжанов А.Т., Отелбаев М.О., Смагулов Ш.С. Об одном методе фиктивной области для нелинейных краевых задач. Вычислительные технологии, Новосибирск, 1998 г., т. 3, № 4, с. 41-83.
[2] Аруова А. Б. О приближенном решении одного класса нелинейных задач // Вестник КазГУ, сер. мех., мат. и инф., 2000 г., №18, с. 5-13.