Другие статьи

Цель нашей работы - изучение аминокислотного и минерального состава травы чертополоха поникшего
2010

Слово «этика» произошло от греческого «ethos», что в переводе означает обычай, нрав. Нравы и обычаи наших предков и составляли их нравственность, общепринятые нормы поведения.
2010

Артериальная гипертензия (АГ) является важнейшей медико-социальной проблемой. У 30% взрослого населения развитых стран мира определяется повышенный уровень артериального давления (АД) и у 12-15 % - наблюдается стойкая артериальная гипертензия
2010

Целью нашего исследования явилось определение эффективности применения препарата «Гинолакт» для лечения ВД у беременных.
2010

Целью нашего исследования явилось изучение эффективности и безопасности препарата лазолван 30мг у амбулаторных больных с ХОБЛ.
2010

Деформирующий остеоартроз (ДОА) в настоящее время является наиболее распространенным дегенеративно-дистрофическим заболеванием суставов, которым страдают не менее 20% населения земного шара.
2010

Целью работы явилась оценка анальгетической эффективности препарата Кетанов (кеторолак трометамин), у хирургических больных в послеоперационном периоде и возможности уменьшения использования наркотических анальгетиков.
2010

Для более объективного подтверждения мембранно-стабилизирующего влияния карбамезапина и ламиктала нами оценивались перекисная и механическая стойкости эритроцитов у больных эпилепсией
2010

Нами было проведено клинико-нейропсихологическое обследование 250 больных с ХИСФ (работающих в фосфорном производстве Каратау-Жамбылской биогеохимической провинции)
2010


C использованием разработанных алгоритмов и моделей был произведен анализ ситуации в системе здравоохранения биогеохимической провинции. Рассчитаны интегрированные показатели здоровья
2010

Специфические особенности Каратау-Жамбылской биогеохимической провинции связаны с производством фосфорных минеральных удобрений.
2010

O решении нелинейного уравнения теплопроводности

В работе рассматривается приближенное решение нелинейных уравнений. Построен метод для нахождения приближенного решения нелинейных краевых задач. В качестве примера рассмотрено нелинейное уравнение теплопроводности. 

Пусть W  - область в RВ области W  рассматривается краевая задача:

Lu =  f ,

 

x ÎW;

 

u ¶W = 0,

где ∂W - граница области W ;

 

(1)

 

L-нелинейный      дифференциальный     оператор     с      гладкими коэффициентами, f(x)Î L2 ( W ).

 

 

Задачу  (1)  будем  изучать  в

 

L2 (W) .  Граничные  условия  понимаем  в

 

смысле

 

L2 (¶W).

 

Помимо (1) рассмотрим линейную задачу:

 

 

Au =n ;

u ¶W = 0.

 

(1')

 

 

Будем предполагать, что эта задача однозначно разрешима и функция Грина  для  (1')  выписывается  явно.  А  также   пусть  найдется       линейный

 

оператор В, такой, что

 

Mn = B(LA-1n )

 

непрерывен. B уравнении (1) обозначим

 

u = A-1n

 

и подействуем оператором В. Тогда получим:

Mu = Bf .

 

(2)

 

Для построения метода приближенного решения уравнения (2) на оператор наложим некоторые условия:

 

Пусть при e Î (-e 0 ;

 

e 0 )

 

выполнены условия 1) - 4):

 

 

 

1)  D(u,w,e )

 

º (M (u + ev) - M (u)) / e - M (u)v

 

£ eF( u ,

 

v ) v ;

 

2)  M (u)

 

£ C1 ( u );

 

3)  u  £ C2 ( Mu );

 

4)  M *-1

 

(u)

 

£ C3 ( u ),

 

 

где F(·; ·), c(·), (j = 1,2,3) - непрерывные, монотонные, неубывающие функции.

2

 

2

 

Обозначим:

 

J (v) = ò M (v) - f

W

 

dx =

 

M (v) - f    .

 

Заметим, что на решении (2) функционал  J  обращается в ноль и J >   0,

 

если

 

M (n ) ¹ f .

 

Поэтому  будем  искать  решение  уравнения  (2)  как элемент,

 

доставляющий минимум  J .

Для v, ω и малых ε, которые берем положительными, имеем:

 

 

Je  = J (v + ew) =

 

M (n + ew) - M (n ) + (M (n ) - f ) 2  =

 

 

 

= J (v) + e

 

(M (v + ew) - Mv) / e ,

 

.M ¢(v)w,2(Mv -  f ) +

 

 

 

+ e  M (v + ew) - Mv - M (v)w,

e

 

M (v + ew) - Mv

 

+ e  M ¢(v)w,

 

2(Mv -  f ) +

 

 

 

+ e  M ¢(v)w,

 

M (v + ew) - Mv) .

 

 

Отсюда получим:

 

 

Je  = J (v) + e

 

(M (v + ew) - Mv)) / e - .M ¢(v)w,

 

(M (v + ew) + M (v) - f ) +

 

 

+ e w, M ¢*(v)(M (v + ew) - M (v)) / e - M ¢(v)w  +

 

 

+ e w,2M ¢ * (v)(M (v) - f ) +

 

M ¢ *(v)M ¢)(v)w .

 

 

Используя неравенство Гельдера, получаем оценку:

 

 

J (v + ew) £ J (v) + e

 

w2M

 

* (v)(M (u) - f )

 

+ e 3  w [ M

 

* (v)M (v)w


  • M

 

* (v)D(v, w,

 

e ) ]+

 

+ e (

 

Jx  +

 

J ) D(v,  w,

 

e ) ,

 

 

 

где

 

D(n , w,

 

e ) = (M (n + ew) - M (n )) / e - M (n )w.

 

 

 

Выберем:

 

w = -2M * (n )(Mn - f ).

 

 

Тогда последняя оценка дает:

 

2                         é        2                                               ù

 

ê

 

Je  = J (v + ew) £ J (v) + e w

 

+ e 2  w    M (v)

ë

 

w  +  M (v)

 

D(v,  w,

 

e ) úû   + e (

 

Jx  +

 

J ) D(v,  w,

 

e ) .

 

Пусть e Î (-e 0 ;

 

e 0 ), воспользуемся условием 1):

 

2                          é         2                                                          ù

 

Je  = J (v + ew) £ J (v) + e v

 

+ e 2

 

v êë      M (v)

 

+ e

 

M (u) F ( v ,

 

w ) w úû

 

 

 

+ e 2 (

 

Jx  +

 

J ) w

 

F ( v ,

 

w ).

 

 

c

 

3

 

2

 

Теперь воспользуемся условием 2) и определением v:

 

 

2

 

Jx   º J (v + ew) £ J (v) + e w

 

+ 4e 2

 

1  ( v )J (v) + 4c1

 

( v )e

 

3 F ( v ,

 

2c1 ( v )J (v) +

 

 

 

+ 2e

 

2 [(

 

Jx  +

 

J )c1 ( v )

 

JF ( v ,

 

2c1   v )J ).

 

 

2

 

Привлекая условие 3) отсюда получим:

 

 

Je £ J - e  v

 

2  + e

 

c4 (J ,

 

f  )(Je + J ),

 

(3)

 

 

где   c4(·,   ·)   -   непрерывная  функция,  монотонно  неубывающая  по каждому переменному.

Из условий 4) и 3) следует, что:

 

 

Mv - f

 

= 1/ 2 M *-1 (v)M ¢ * (v)(Mv -  f )

 

£ 1/ 2 M *-1 (v)  w  £

 

 

 

 

£ 1/ 2c3 ( v ) w

 

£ 1/ 2c5 (J ,

 

f  ) w ).

 

 

2

 

Здесь с5(·, ·) - монотонно неубывающая по каждому переменному функция. Из этого неравенства и условия 3) вытекает:

 

 

2

 

Je (1 - c4e

 

) £ J (1 - e / c5  + e

 

c4 ).

 

 

Отсюда, так как с4  и с5  монотонны по  J , можно найти число δ 0,

зависящее от   f    и  J , монотонно не возрастающее при возрастании  J    и   f  ,

что имеет место:

 

 

Je £ J (1 - e / c5

 

+ e 2 c

 

) /(1 - c e 2 ) £ J (1 - d ).

 

(4)

 

 

4

 

4

 

n

 

Составим итерационный процесс:

 

 

un+1

 

= un

 

- d 0

 

M '* (u

 

)(M (un

 

) - f ),

 

n = 0, 1,

 

2,...

 

(5)

 

Для этой последовательности в силу (4) имеет место оценка:

 

 

2

 

M (un ) - f

 

£ ( M (u0 ) - f

 

2 (1 - d )n .

 

(6)

 

2

 

Отсюда и из (5), в силу 2) вытекает, что:

 

un+1


  • u0

 

£ c(1- d )n / 2 .

 

(7)

 

Неравенства (6) и (7) дают, что итерационный процесс сходится как геометрическая прогрессия к решению уравнения (2). Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема. Пусть выполнены условия 1) - 4). Тогда решение уравнения

(2)    существует.   Итерационный   процесс   (5)    сходится   со    скоростью геометрической прогрессии, и выполняются оценки (6) и (7).

Рассмотрим задачу:

u t - u xx + u 2  = f(x,t);

u t=0 = 0, u x=0 = u x=1 = 0.

Для решения данной задачи нужно рассмотреть вспомогательную задачу:

 

ut  - uxx

 

= v(x,t);

 

u t=0 = 0, u x=0 = u x=1 = 0.

 

Решение такого уравнения пишется следующим образом:

t        1

u(x, t) = ò dt ò G(x,x , t - t )v(x ,t )dx ,

0        0

 

где

 

 

¥

G(x,x , t - t ) = 2åe

n=1

 

-(pn)2 (t -t )

 

sinpnx sinpxx.

 

Напишем решение этого уравнения в операторной форме исходное уравнение запишется в виде:

2

 

u = An . Тогда

 

v + ( Av)

 

=  f (x, t);

 

( Av) t =0 = 0;

 

( Av) x=0 = ( Av) x=1 = 0.

 

Левую часть уравнения обозначим через оператор М,

Исходное уравнение запишется следующим образом:

 

Mn =n + (An )2 .

 

Mn = f (x,

 

t).

 

Найдем приближенное решение этого уравнения. Строим функционал:

1         1

2

 

J (wn ) = ò dtò Mw - f (x, t)

 

dx.

 

0         0

 

Если   v   является  решением  уравнения

 

Mn  = f

 

и   w =n ,

 

то   тогда

 

подынтегральное      выражение      равняется      нулю.      Поэтому      будем минимизировать функционал  J . Построим итерационный процесс:

1         1

2

 

J (wn ) = ò dtò Mwn  - f (x, t)

 

dx,

 

0         0

 

где М*(ωп) - оператор, сперва получим производную Гато, затем найдем сопряженное полученного уравнения:

 

M ¢*(wn )(Mwn  - f ) = Mwn  - f + 2A*(A(wn )(Mwn  - f ) =

n

 

1           1

 

= wn

 

  • ( Awn

 

)2 - f + 2ò dt òG(x,x ,t -t )(w

 

Awn

 

+ ( Aw)3 - Aw

 

))dx =

 

n

 

t            0

1           1                                                       1             1

2

 

= wn + ( Awn )

 

- f + 2ò dt òG(x,x ,t -t )[(wn ò dt1 òG(x,x ,t -t )wn (x1,t1 )dx1 +

 

t            0                                                        t              0

1              1                                                                                                           1              1

3

 

+ (ò dt1 òG(x,x , t -t )(wn (x1 ,t1 )dx1 )

 

- f ò dt1 òG(x,x , t -t )wn (x1 ,t1 )dx1 ]dx.

 

t              0                                                                                                           t               0

 

C  помощью  полученного  выражения  и  построенного  итерационного

*

 

процесса

J (wn+1 ).

 

wn+1   = wn  - eM

 

(wn )(Mwn  -  f )

 

найдем элемент

 

wn+1

 

и вычислим значение

 

Ниже приведены соответствующие численные расчеты.

Таблица       1     -     Приближенное     решение     нелинейного     уравнения теплопроводности

0.00000000

0.00000000

0.0000000

0.00000000

0.0000000

0.0000000

0.0000000

0.0000000

0.00239675

0.0045846

0.0066611

0.0086366

0.0105180

0.0123114

0.00000000

0.00463887

0.0088856

0.0129160

0.0167499

0.0204014

0.0238819

0.00000000

0.00659638

0.0126634

0.0184210

0.0238975

0.0291130

0.0340841

0.00000000

0.00818344

0.0157578

0.0229453

0.0297810

0.0362905

0.0424945

0.00000000

0.00936870

0.0181063

0.0263969

0.0342807

0.0417874

0.0489414

0.00000000

0.01017435

0.0197430

0.0288212

0.0374525

0.0456702

0.0535013

0.00000000

0.01066439

0.0207772

0.0303709

0.0394908

0.0481728

0.0564457

0.00000000

0.01092478

0.0213587

0.0312562

0.0406637

0.0496186

0.0581512

0.00000000

0.01103997

0.02163553

0.0316856

0.0412373

0.0503290

0.0589916

0.00000000

0.01107096

0.02171475

0.0318104

0.0414051

0.0505375

0.0592388

0.00000000

0.01103997

0.02163553

0.0316856

0.0412373

0.0503290

0.0589916

0.00000000

0.01092478

0.02135879

0.03125623

0.0406637

0.0496186

0.0581512

0.00000000

0.01066439

0.02077728

0.03037090

0.0394908

0.0481728

0.0564457

0.00000000

0.01017435

0.0197430

0.02882123

0.0374525

0.0456702

0.0535013

0.00000000

0.00936870

0.0181063

0.02639696

0.0342807

0.0417874

0.0489414

0.00000000

0.00818344

0.0157578

0.02294530

0.0297810

0.0362905

0.0424945

0.00000000

0.00659638

0.0126634

0.01842103

0.0238975

0.0291130

0.0340841

0.00000000

0.00463887

0.0088856

0.01291602

0.0167499

0.0204014

0.0238819

0.00000000

0.00239675

0.0045846

0.00666118

0.0086366

0.0105180

0.0123114

0.00000000

0.00000000

0.0000000

0.00000000

0.0000000

0.0000000

0.0000000

 

Таблица 2 - Решение нелинейного уравнения теплопроводности

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.002316

0.004520

0.006616

0.008610

0.010506

0.012311

0.000000

0.004389

0.008564

0.012536

0.016314

0.019907

0.023326

0.000000

0.006218

0.012133

0.017759

0.023111

0.028202

0.033045

0.000000

0.007803

0.015226

0.022286

0.029003

0.035391

0.041469

0.000000

0.009144

0.017842

0.026117

0.033987

0.041474

0.048596

0.000000

0.010241

0.019984

0.029251

0.038066

0.046451

0.054428

0.000000

0.011095

0.021649

0.031688

0.041238

0.050322

0.058963

0.000000

0.011704

0.022839

0.033430

0.043504

0.053087

0.062203

0.000000

0.012070

0.023552

0.034474

0.044864

0.054746

0.064147

0.000000

0.012192

0.023790

0.034823

0.045317

0.055299

0.064795

0.000000

0.012070

0.023552

0.034474

0.044864

0.054746

0.064147

0.000000

0.011704

0.022839

0.033430

0.043504

0.053087

0.062203

0.000000

0.011095

0.021649

0.031688

0.041238

0.050322

0.058963

0.000000

0.010241

0.019984

0.029251

0.038066

0.046451

0.054428

0.000000

0.009144

0.017842

0.026117

0.033987

0.041474

0.048596

0.000000

0.007803

0.015226

0.022286

0.029003

0.035391

0.041469

0.000000

0.006218

0.012133

0.017759

0.023111

0.028202

0.033045

0.000000

0.004389

0.008564

0.012536

0.016314

0.019907

0.023326

0.000000

0.002316

0.004520

0.006616

0.008610

0.010506

0.012311

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

 

Таблица 3 - Разность решения и приближенного решения нелинейного уравнения теплопроводности

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000080

0.000064

0.000045

0.000026

0.000011

0.000000

0.000000

0.000250

0.000321

0.000380

0.000436

0.000494

0.000556

0.000000

0.000378

0.000530

0.000661

0.000786

0.000910

0.001038

0.000000

0.000380

0.000532

0.000659

0.000778

0.000899

0.001025

0.000000

0.000224

0.000263

0.000280

0.000293

0.000313

0.000345

0.000000

-0.000067

-0.000241

-0.000430

-0.000614

-0.000782

-0.000927

0.000000

-0.000431

-0.000872

-0.001318

-0.001748

-0.002150

-0.002518

0.000000

-0.000780

-0.001480

-0.002174

-0.002841

-0.003469

-0.004052

0.000000

-0.001031

-0.001917

-0.002789

-0.003627

-0.004418

-0.005156

0.000000

-0.001122

-0.002076

-0.003013

-0.003912

-0.004762

-0.005557

0.000000

-0.001031

-0.001917

-0.002789

-0.003627

-0.004418

-0.005156

0.000000

-0.000780

-0.001480

-0.002174

-0.002841

-0.003469

-0.004052

0.000000

-0.000431

-0.000872

-0.001318

-0.001748

-0.002150

-0.002518

0.000000

-0.000067

-0.000241

-0.000430

-0.000614

-0.000782

-0.000927

0.000000

0.000224

0.000263

0.000280

0.000293

0.000313

0.000345

0.000000

0.000380

0.000532

0.000659

0.000778

0.000899

0.001025

0.000000

0.000378

0.000530

0.000661

0.000786

0.000910

0.001038

0.000000

0.000250

0.000321

0.000380

0.000436

0.000494

0.000556

0.000000

0.000080

0.000064

0.000045

0. 000026

0.000011

0.000000

 

Список литературы 

[1] Мухамбетжанов А.Т., Отелбаев М.О., Смагулов Ш.С. Об одном методе фиктивной области для нелинейных краевых задач. Вычислительные технологии, Новосибирск, 1998 г., т. 3, № 4, с. 41-83.

[2] Аруова А. Б. О приближенном решении одного класса нелинейных задач // Вестник КазГУ, сер. мех., мат. и инф., 2000 г., №18, с. 5-13.

Разделы знаний

Архитектура

Научные статьи по Архитектуре

Биология

Научные статьи по биологии 

Военное дело

Научные статьи по военному делу

Востоковедение

Научные статьи по востоковедению

География

Научные статьи по географии

Журналистика

Научные статьи по журналистике

Инженерное дело

Научные статьи по инженерному делу

Информатика

Научные статьи по информатике

История

Научные статьи по истории, историографии, источниковедению, международным отношениям и пр.

Культурология

Научные статьи по культурологии

Литература

Литература. Литературоведение. Анализ произведений русской, казахской и зарубежной литературы. В данном разделе вы можете найти анализ рассказов Мухтара Ауэзова, описание творческой деятельности Уильяма Шекспира, анализ взглядов исследователей детского фольклора.  

Математика

Научные статьи о математике

Медицина

Научные статьи о медицине Казахстана

Международные отношения

Научные статьи посвященные международным отношениям

Педагогика

Научные статьи по педагогике, воспитанию, образованию

Политика

Научные статьи посвященные политике

Политология

Научные статьи по дисциплине Политология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Психология

В разделе "Психология" вы найдете публикации, статьи и доклады по научной и практической психологии, опубликованные в научных журналах и сборниках статей Казахстана. В своих работах авторы делают обзоры теорий различных психологических направлений и школ, описывают результаты исследований, приводят примеры методик и техник диагностики, а также дают свои рекомендации в различных вопросах психологии человека. Этот раздел подойдет для тех, кто интересуется последними исследованиями в области научной психологии. Здесь вы найдете материалы по психологии личности, психологии разивития, социальной и возрастной психологии и другим отраслям психологии.  

Религиоведение

Научные статьи по дисциплине Религиоведение опубликованные в Казахстанских научных журналах

Сельское хозяйство

Научные статьи по дисциплине Сельское хозяйство опубликованные в Казахстанских научных журналах

Социология

Научные статьи по дисциплине Социология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Технические науки

Научные статьи по техническим наукам опубликованные в Казахстанских научных журналах

Физика

Научные статьи по дисциплине Физика опубликованные в Казахстанских научных журналах

Физическая культура

Научные статьи по дисциплине Физическая культура опубликованные в Казахстанских научных журналах

Филология

Научные статьи по дисциплине Филология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Философия

Научные статьи по дисциплине Философия опубликованные в Казахстанских научных журналах

Химия

Научные статьи по дисциплине Химия опубликованные в Казахстанских научных журналах

Экология

Данный раздел посвящен экологии человека. Здесь вы найдете статьи и доклады об экологических проблемах в Казахстане, охране природы и защите окружающей среды, опубликованные в научных журналах и сборниках статей Казахстана. Авторы рассматривают такие вопросы экологии, как последствия испытаний на Чернобыльском и Семипалатинском полигонах, "зеленая экономика", экологическая безопасность продуктов питания, питьевая вода и природные ресурсы Казахстана. Раздел будет полезен тем, кто интересуется современным состоянием экологии Казахстана, а также последними разработками ученых в данном направлении науки.  

Экономика

Научные статьи по экономике, менеджменту, маркетингу, бухгалтерскому учету, аудиту, оценке недвижимости и пр.

Этнология

Научные статьи по Этнологии опубликованные в Казахстане

Юриспруденция

Раздел посвящен государству и праву, юридической науке, современным проблемам международного права, обзору действующих законов Республики Казахстан Здесь опубликованы статьи из научных журналов и сборников по следующим темам: международное право, государственное право, уголовное право, гражданское право, а также основные тенденции развития национальной правовой системы.