Теоретические основы топологического анализа стационарных режимов сложных электрических сетей 

Предложен способ преобразования известных уравнений состояния электрических цепей с целью получения узловых уравнений баланса напряжения в функции коэффициентов распределения узловых токов. Предлагается новый топологический метод определения коэффициентов токораспределения основанный на топологических свойствах деревьев графа схемы замещения электрических сетей сложной структуры.

Состояние вопроса. Задачи, связанные с получением реальных решений при расчетах рабочих режимов сложных электрических сетей, достаточно сложны и им посвящено много статей и книг [1,2,3]. Трудности получения реальных решений при расчете стационарных режимов могут быть в значительной степени преодолены, если исходить из обращенной формы узловых  уравнений.  Известно,  классический  подход  получения   матрицы Z электрической    сети,    основанный    на    прямом    обращении   матрицы проводимости

Yy ,     оказывается    малопригодным.   Матрица    узловых сопротивлений сложных сетей может быть построена различными методами, разработанными на основе совершенствования прямых, косвенных и итерационных методов обращения матрицы узловых проводимостей. Однако отсутствие быстрых алгоритмов расчета матрицы узловых сопротивлений существенно тормозило развитие данного направления.

Проблемы, связанные с определением матрицы системных функций сопротивления (матрицы Z ), могут быть решены, если исходить из следующего. Токи в ветвях схемы, при известной матрице коэффициентов распределения задающих токов, определяются матричным выражением [2]:Ι= C×J ,                                                  (1)

где J - столбцевая матрица задающих токов;

C = YвMt Z- прямоугольная матрица коэффициентов токораспределения;

Z - матрица узловых сопротивлений.

Значения токов в ветвях схемы останутся неизменными,  если умножить и разделить слева правую часть уравнения (1), на матрицу сопротивлений ветвей, и записать в виде:

Ι = Z-1Z  CJ .                                                  (2)

Тогда, матричное уравнение [2]:

UD = ZJ                                                 (3)

с учетом (2) может быть записано:

-1                         t

UD = ZMI = ZMZв

Ζв CJ = C ZвCJ ,                            (4)

Полученное  уравнение  (3)  совпадает  с  решением  уравнения  узловых

напряжений, что позволяет записать тождество, в виде:

Z = Ct ZвC .                                                  (5)

При известной матрице C , для заданного возмущения всегда можно найти однозначное соответствие реакции схемы исследуемой электрической сети. Следовательно, матрица Z может быть принята в основу математического моделирования стационарных режимов сети.

Таким   образом,   задача   расчета   стационарных   режимов   сводится к

определению матрицы C , которая исследована достаточно хорошо, и не представляет особых трудностей. Однако при исследовании системы большой размерности могут возникать трудности, связанные с чрезмерно большим объемом выполняемых расчетов. Ниже предлагается методика определения матрицы C на основе свойств деревьев графа.

С целью обеспечения наглядности и простоты изложения, элементы матрицы коэффициентов токораспределения, выражаются в аналитической форме.

Матрица C разомкнутых схем не зависит от параметров сети и может быть найдена непосредственно по схеме или в виде:

С = М-1

где М - первая матрица инциденции.

(6)

При наличии замкнутых контуров матриц C не может быть найдена непосредственно по схеме или по формуле (6). В общем случае, матрица C может быть определена путем распределения единичного тока в схеме, любыми известными методами теории электрических цепей.

Аналитические   выражения  для  элементов  матрицы   C   могут   быть

получены на основе контурных уравнений путем распределения единичного тока, поочередно приложенного к независимым узлам схемы. Например, первый столбец матрицы (7) коэффициентов токораспределения

C = 1

Zk

-(Z 2 + Z 3 + Z 4 )

Z1 Z1

-(Z 3 + Z 4 )

-(Z 3 + Z 4 ) (Z1 + Z 2 )

-Z 4

-Z 4

-Z 4

,        (7)

Z1                           (Z1 + Z 2 )      (Z1 + Z 2 + Z 3 )

расчетной схемы замещения замкнутой сети, изображенной на рисунке 1а.

3

а) исходная схема;                      б) расчетная схема.

Рисунок 1 - Схема замкнутой цепи

определяется решением контурного уравнения, составленного по схеме рисунка 1б.

I к (Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 ) = Z1 ,                                   (8)

где

Zк = Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4

• контурное сопротивление.

Действительное распределение единичного тока в схеме представляет первый столбец матрицы C .

Топологические формулы элементов матрицы могут быть определены путем преобразования вышеполученных выражений путем замены сопротивления на соответствующие проводимости ветвей.

Для рассмотренной выше схемы матрица C , организованная на основе топологического метода, имеет вид:

C =                           1                           ´

Y1Y 2Y 3 + Y1Y 2Y 4 + Y1Y 3Y 4 + Y 2Y 3Y 4

-Y1 (Y 2Y 3 + Y 2Y 4 + Y 3Y 4 )

Y 2 (Y 3Y 4 )

´

Y 3 (Y 2Y 4 )

Y 4 (Y 2Y 3 )

-Y1 (Y 2Y 3 + Y 2Y 4 )

-Y 2 (Y1Y 3 + Y1Y 4 ) Y 3 (Y1Y 4 + Y 2Y 4 ) Y 4 (Y1Y 3 + Y 2Y 3 )

-Y1 (Y 2Y 3 )

-Y 2 (Y1Y 3 )

-Y 3 (Y1Y 2 )

Y 4 (Y 2Y 3 + Y 3Y1 + Y1Y 2 )

(9)

.

Полученные выражения для элементов матрицы коэффициентов токораспределения представляют собой сумму величин деревьев графа в функций проводимостей ветвей схемы электрической сети. У всех коэффициентов токораспределения, входящих в состав исследуемой матрицы, знаменатель один и тот же, который определяется суммой произведении проводимостей возможных деревьев графа схемы замкнутой сети.

Необходимо отметить, что сумма произведений проводимостей возможных деревьев графа схемы равна определителю матрицы узловых проводимостей.

Возможные деревья графа рассматриваемой замкнутой цепи, которые соответствуют знаменателю (9) изображены на рисунке 2.

Рисунок 2 - Деревья графа замкнутой цепи 

Числители коэффициентов токораспределения зависят от узла приложения возмущения, в виде единичного тока, и геометрического образа цепи.

В общем случае, числитель коэффициента токораспределения Сij формируется сложением произведений проводимостей ветвей деревьев графа, содержащих путь от узла (j) к базисному узлу, через ветвь (i). При этом числитель имеет знак плюс, если направление тока в дереве совпадают с принятым положительным направлением тока в ветви i, и наоборот, знак минус, если эти направления не совпадают.

Числитель коэффициента токораспределения С11, как видно из выражения (9), формируется суммой произведений ветвей трех деревьев, содержащих путь от первого узла к базисному узлу, через ветвь 1, изображены на рисунке 3.

Рисунок 3 - Деревья графа числителя С

Числители коэффициентов С21, С31, С41 определяются произведением проводимостей ветвей только одного дерева (рисунок 4), так как другие деревья с заданными свойствами, не существуют.

На рисунках 3,4 указаны направления тока дерева и положительное направление тока в ветви, по которым определяются знаки коэффициентов токораспределения.

Рисунок 4 - Дерево графа числителей С21, С31, С41 

Таким образом, нетрудно определить возможные деревья исходного графа, формирующие числители остальных коэффициентов токораспределения, соответствующие аналитическим выражениям матрицы (9).

Как видно из вышеизложенного подхода, что для  определения элементов матрицы коэффициентов распределения узловых токов на основе топологии схемы электрической сети, достаточно знание ее схемы с параметрами ее ветвей.

Анализируя изложенный материал, можно описать методику построения матриц С   следующим образом:

соответствующими проводимостями ветвей.

3. Каждый столбец    матрицы    С     формируется   самостоятельно, поочередным приложением единичного возмущения к вершинам графа.

4. Общий знаменатель числителей коэффициентов распределения узловых токов определяется суммой произведений проводимостей всех деревьев графа.
5. Для определения доли единично тока приложенного к-у узлу в i–ой ветви, выбирается такие деревья среди возможных, которые содержали бы в себе направленный граф i–ой ветви в пути от к–ой вершины к базисной. Если направленный граф ветви совпадает с направлением единичного тока в этой ветви, то произведение берется со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.
6. Числители коэффициентов токораспределения формируются алгебраической суммой произведений проводимостей деревьев, определенных в соответствии с пунктом

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Жуков Л.А., Стратан И.П. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем.- М.: Энергия, 1979, 416 с.
2. Мельников Н.А. Матричный метод анализа электрических цепей.- М.: Энергия, 1972,232 с.
3. Манусов Б.З., Лыкин А.В., Сидоркин Ю.М. Алгоритмы метода Ньютона-Рафсона для решения узловых уравнений в обращенной форме.- Известия вузов СССР. Энергетика, 1974, №9,с.3-7.
4. Ахметбаев Д.С. Топологический метод расчета матриц коэффициента токораспределения. Вестник НИА РК.- Алматы, 2009, №4. с.97-100.
5. Ахметбаев Д.С. Математическое моделирование анализа и синтеза электрических цепей. Материалы МНТК «Электромеханические преобразователи энергии», Россия, Томск, 2009, с.110-114.