В статье рассматривается критический случай n пар чисто мнимых корней при наличии внутреннего резонанса нечетного порядка.
Известно, что одной из основных проблем теории устойчивости движения является проблема исследования устойчивости в так называемых критических случаях, когда вопрос об устойчивости движения не решается уравнениями первого приближения. В этом направлении опубликовано большое количество работ.
Придавая важное значение исследованию критических случаев, А.М. Ляпунов [1] до конца решил задачу об устойчивости установившихся движений.
Исследованию устойчивости в критическом случае нескольких пар чисто мнимых корней посвящены работы Веретенникова В.Г., Гольцера Я.М., Зубова В.И., Каменкова Г.В., Малкина И.Г., Молчанова А.М., Сальвадори и др.
Во всех отмеченных выше работах, в которых в той или иной форме изучался критический случай n пар чисто мнимых корней, предполагалось отсутствие в системе внутреннего резонанса до достаточно высокого порядка. А именно, если исследуемую систему записать в виде
ì dxS
= il x
+ X (x , y ,..., x , y ),
|
ï dt
S S S 1 1 n n
(S = 1,2, ..., n) , (1)
ï dyS
= -il y
+ Y (x , y ,..., x , y ),
î dt
S S S 1 1 n n
где
xS , yS
- комплексно-сопряженные переменные,
X S , YS –
аналитические функции, разложения которых в ряд начинается с членов не
ниже второго порядка, то предполагалось, что положительные числа l S
удовлетворяют условию:
n
å mS l S ¹ 0
S =1
при
n
å mS £ L , (2)
S =1
mS – целые, L - достаточно большое число.
В последнее время все большее внимание уделяется исследованию системы (1) в тех случаях, когда не выполняются условия (2). Это связано с тем, что для многих реальных систем условие (2) не является естественным.
Определение. Будем говорить, что система (1) обладает внутренним
резонансом m-го порядка, типа (m1 , m2 ,
n
... , mn ), если
n
å mS l S = 0
S =1
при
å mS ¹ L
S =1
(3)
mS - взаимно простые целые числа.
Исследуемая система дифференциальных уравнений (1) преобразуется к специальному виду [2]. Этот переход осуществляется c помощью преобразования, имеющего вид
|
|
2 N +1
xS = US
+ å
j =2
U ( j ) (U
,V1 ,..., Un
,Vn ),
(4)
y = V
2 N +1
- V ( j ) (U
,V ,..., U
,V ),
S S å S 1 1 n n
j =2
где
US ,VS
- комплексно сопряженные переменные
U j ,V J
- формы j-го
|
|
порядка, N–достаточно большое число. В процессе преобразования выясняется структура резонансных членов.
Те члены преобразованной системы
U K1V l1U K2 V l2 ...U Kn V ln
(или системы
1 1 2 2 n n
n
(1)), показатели степеней которых обращают
D = å(K s - ls )ls - ls
s
в нуль,
будем называть резонансными членами, остальные нерезонансными.
Анализ выражения для D показывает, что резонансные члены могут быть разбиты на две группы: члены, соответствующие тождественному резонансу, и члены, соответствующие внутреннему резонансу.
Члены, соответствующие тождественному резонансу, в S-м уравнении могут быть записаны в виде
n
US Õ(U
s=1
|
|
Ps
s s
Ps ³ 0 . (5)
Нетрудно видеть, что показатели степеней этих членов обращают D в
нуль тождественно, независимо от значений в любой система вида (1).
l S , поэтому эти члены имеются
Члены, соответствующие внутреннему резонансу (3) в S-м уравнении
преобразованной системы, могут быть записаны в виде
n
US Õ
s=1
ls +cms ls
|
|
s s
, (6)
где c - целое число, отличное от нуля.
Нумерация переменных
xS yS такова, что
m1 , m2 ,..., mh ³ 0,
mh+11 ,..., mn £ 0
(mh+1 ¹ 0) .
Согласно результатам [2], система (1) в предложении, что правые части
начинают разложения с членов специальному виду:
m -1 -го порядка, приводится к следующему
dUS
= il U
+ c(mj )
m1V m1 ...V mS -1...V mh U mh +1 ...U mn + j
(U ,...U
,V ) ü
dt S S
S V1 1 S h h
n S 1
n n ïï
ý
при
S £ h ,
(7)
dVS
= -il U
+ c-(mj )
m1V m1 ...V mS -1 ...V mh U mh +1 ...U mn + y
(U ,...U
,V )ï
dt S S
S V1 1 S h h
n S 1
n n ïþ
dUS
= il U
+ c(mj )
m1 ...U mh V mh +1 ...V mS -1 ...V mn + j
(U ,...U
,V ) ü
dt S S
S U1
h h+1 S
n S 1
n n ïï
ý
при
S > h,
(7/)
dVS
= -il U
+ c-(mj )
m1 ...U mh V mh +1 ...V mS -1 ...V mn + y
(U ,...U
,V )ï
dt S S
S U1
h h+1 S
n S 1
n n ïþ
где
jS , yS
– голоморфные функции, разлагающейся в ряд начиная с
членов не ниже m –го порядка;
US ,VS
– комплексно сопряженные переменные.
Кроме системы (7) при исследовании используется также система
|
|
|
d (r 2 ) n m
2
( ,..., ,
,..., ),
= PS
dt
q Õrj
i 1
- RS r1
rn q1 qn
dq n
= (8)
|
n
mj
dt = å
1 PS (q)Õrj
+ ф(r1 ,..., rn , q1 ,..., qn ),
где
S =1 S
j =1
P (q)= amj cosq + bmj sin q,
S S S
(m )
( ) ïìb j
при
S £ h,
|
b mj
= í S
|
ïî- b(mj )
при
S > h,
n
a(m j ) + ibm j
= c(m j ),
q = å m q .
S S S
j j
i =1
|
RS , F S – голоморфные функции по
r1 ,..., rn
c периодическими по qS
коэффициентами, причем
R ~ O(rm+1 ),
ф ~ O(rm-1 ).
Система (8) получается (7) путем перехода к переменным формулам
ZS , qS по
Рассмотрим матрицу
US = rS e
iqS ,
VS = rS e
-iqS .
æ a(mj )
a(mj )
...
a(mj ) ö
A = ç 1 2
n ÷ .
ç (m j ) (m j ) (mj ) ÷
èb1
b2 ... bn ø
|
Дальнейшее изучение системы (7), (8) ведется при различных предположениях относительно матрицы А и её ранга.
Случай 1. Ранг матрицы А равен 2 и среди чисел отличны от нуля.
(m j )
S
не менее трех
Используя матрицу А, составим всевозможные матрицы вида
æ a (m j )
a (m j )
a (m j ) ö
A = ç
( ) ( ) ( ) ÷,
(S1 < S2 < S3 ) . (9)
S1S2 S3
S1
çb mj
S2
b mj
S3
b mj ÷
è S1
S2 S3 ø
Обозначим далее через
D определители
|
i j
a (m j )
a (m j )
|
DS =
(m ) (m ) ,
(S < S ). (10)
i S j
S j
|
j
S j
S j
|
j
S j
Доказаны следующие теоремы. Теорема 1. Если среди матрицы
|
A найдется такая, что
1 2 3
соответствующие ей определители
DS S
, DS S , DS S
удовлетворяют одному из
условий
1 2 2 3 1 3
|
signD
1 2
signDS S
, = sign D
|
2 3
, = -sign DS S
= -signD ,
|
1 3
= signDS S ,
(11)
1 2
|
- signD
1 2
2 3
|
, = sign D
2 3
1 3
|
= signD ,
1 3
т.е. в раду чисел
DS S
, DS S , DS S
, имеется смена знака), то система (7)
1 2 2 3 1 3
устойчива в
m -1 -м приближении.
Отметим, что если положить n=3 и результаты, полученные ранее в [3].
m1 = 1,
m2 = m3 = -1 то теорема 1 даёт
Теорема 2. Система (7) в
существование интегралов в виде
m - 1
n
-м приближении всегда допускает
åm SU SVS
S =1
= const
. (12)
Если среди них имеется знакоопределенный интеграл, то система (7)
устойчива в
m - 1
-м приближении, если все интегралы знакопеременны, то
система (7) в
m - 1 -м приближении неустойчива.
Условием существования знакопределенного интеграла является условие (11) из теоремы 1.
|
|
Если все m j ¹ 0
и mS ¹ 0
неустойчивое частное решение имеет вид
где q0
и lS
q = q0 ,
постоянные (lS > 0).
rS = lS z(t), (13)
Здесь q0
является корнем уравнения
n
å mS ctg (q - YS ) = 0 , (14)
S =1
lS - определяются как решения системы уравнений
|
|
|
n
Z(t) решение уравнения
S = PS (q0
)Õ ls
s=1
, (15)
Вспомогательные углы YS
dz = Z m-1 . (16)
dt
определяются из соотношений
sin YS
ams
= - S ,
D S
cosYS
bms
= - S ,
D S
(17)
D = (a (m j )2 )+ (b(m j )2 ),
(S = 1,2,..., n).
S S S
В процессе доказательства теорем 1,2 установлена тесная связь между
свойствами углов YS
и устойчивостью нулевого решения системы
1
свойствами углов YS
и устойчивостью нулевого решения системы (7 ). А
именно, если отождествить углы YS
с точками еденичного тригономического
круга, то в случае неустойчивости все точки YS
находятся на дуге
окружности длиной меньше p. В этом случае уравнение (14) имеет корень q0
который удовлетворяет неравенству
0 < q0 - YS < p . (18)
В случае устойчивости такой дуги круга нет.
|
|
Если среди m j
или
mS есть равные нулю, то неустойчивое частное
решение имеет вид
ZS = lS Z (t ),
Z j = C j .
Доказательство неустойчивости может быть проведено и с помощью построения функции Н.Г. Четаева [4].
Объединяя результаты, полученные в теоремах 1-2, можно сформулировать следующие необходимые и достаточные условия неустойчивости нулевого решения системы (71):
а) Ранг А=2 и для любой матрицы (9), для которой
D ¹ 0 (i < j)
|
i j
в ряду
|
чисел D
i j
(i < j), нет смены знака.
|
|
б) Ранг А=1, причем для любых выполняется условие:
a(mj ) ¹ 0 и
a(mj ) ¹ 0
( (mj ) (mj ) )= 1
(mj ) (mj )
sign ai ak
или
sign(b b
)= 1.
|
|
Если ни одно из приведенных условий не выполняется, то система (7) в
m - 1 -м приближении устойчива.
Если выполняются условия а), то в качестве функции Н. Г. Четаева используется функция
h
|
V = Õ z md
d=1
cos(q - Y1 ),
В случае б) функция Н. Г. Чтаева берется либо в виде
|
h
V2 = Õ zd
d=1
cosq,
|
|
если среди m j
есть отличные от нуля, либо в виде
|
h
V3 = Õ z j
d=1
sin q
|
если среди b(mj ) есть отличные от нуля.
Функции V1 ,V2 ,V3
аналогично использованным в [5].
n = 3
Из полученных результатов видно, что при произвольных из теорем 1-5 следуют результаты работы [5].
m1 , m2 , m3 и
Система (7) при
n = 2
и l1 = 2l 2
исследовалось на устойчивость в [6].
В этой работе при дополнительных ограничениях на правые части системы, получены только достаточные условия неустойчивости. Эти результаты вытекают как частный случай из [7].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Ляпунов А. М. «Общая задача об устойчивости движения», 1950.
2 Гольцер Я.М. «О преобразовании одной системы дифференциальных уравнений при наличии резонанса». Тр. Семин. по теор.уст. дв-я, вып. 2 КазПИ им. Абая, Алма-Ата, 1969.
- Ибрагимова Н. К. «Об устойчивости некоторых систем при наличии резонанса». Ж. вычисл.матем. и матем.физ., т.б. №5,
- Четаев Н. Г. «Устойчивость движения. Работы по аналитической механике». Изд-во Акад. наук СССР,
- Куницын А. Л. «Об устойчивости в критическом случае трех пар чисто мнимых корней при внутреннем резонансе». ПММ, т. 35, вып.I
- Нуржауов Т. «К исследованию устойчивости установившихся движений в критическом случае h пар чисто мнимых корней». Канд.дисс. Алма-Ата,
- Гольцер Я. М., Нурпеисов С. «К исследованию одного критичиского случая при наличии внутренного резонанса». Изв. АН КазССР, серия физмат,
№1, 1972.