Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения

В статье рассматривается критический случай n пар чисто мнимых корней при наличии внутреннего резонанса нечетного порядка. 

Известно, что одной из основных проблем теории устойчивости движения является проблема исследования устойчивости в так называемых критических случаях, когда вопрос об устойчивости движения не решается уравнениями первого приближения. В этом направлении опубликовано большое количество работ.

Придавая важное значение исследованию критических случаев, А.М. Ляпунов [1] до конца решил задачу об устойчивости установившихся движений.

Исследованию устойчивости в критическом случае  нескольких пар чисто мнимых корней посвящены работы Веретенникова В.Г.,  Гольцера Я.М., Зубова В.И., Каменкова Г.В., Малкина И.Г., Молчанова А.М., Сальвадори и др.

Во всех отмеченных выше работах, в которых в той или иной форме изучался критический случай n пар чисто мнимых корней, предполагалось отсутствие в системе внутреннего резонанса до достаточно высокого порядка. А именно, если исследуемую систему записать в виде

 

ì dxS

 

= il  x

 

+ (x , y ,..., , y  ),

 

í

 

ï  dt

 

S    S                 S        1         1                n          n

 

(S = 1,2, ..., n) ,                         (1)

 

ï dyS

 

= -il  y

 

+ (x , y ,..., , y ),

 

î dt

 

S     S              S         1        1                 n          n

 

где

 

xS ,  yS

 

-     комплексно-сопряженные    переменные,

 

X S , YS            

 

аналитические функции, разложения которых в ряд начинается с членов не

ниже  второго  порядка,  то  предполагалось,  что  положительные  числа  l S

удовлетворяют условию:

 

n

å mS l S   ¹ 0

S =1

 

при

 

n

å mS    £ L ,                                          (2)

S =1

 

mS   целые,  L  - достаточно большое число.

В последнее время все большее внимание уделяется исследованию системы (1) в тех случаях, когда не выполняются условия (2). Это связано с тем, что для многих реальных систем условие (2) не является естественным.

 

Определение. Будем говорить, что система    (1)   обладает внутренним

 

резонансом m-го порядка, типа (m1 , m2 ,

n

 

... , mn ), если

n

 

å mS l S   = 0

S =1

 

при

 

å mS    ¹ L

S =1

 

(3)

 

mS     - взаимно простые целые числа.

Исследуемая система дифференциальных уравнений (1) преобразуется к специальному виду [2]. Этот переход осуществляется c помощью преобразования, имеющего вид

S

 

1

 

2 N +1

 

xS   = US

 

+ å

j =2

 

U ( j ) (U

 

,V1 ,..., Un

 

,Vn ),

 

(4)

 

y   = V

 

2 N +1

  • V ( j ) (U

 

,V ,..., U

 

,V ),

 

S               S           å S              1       1                  n        n

j =2

 

где

 

US ,VS

 

  • комплексно сопряженные переменные

 

U j ,V J

 

  • формы j-го

 

S

 

S

 

порядка,   N–достаточно   большое   число.   В    процессе    преобразования выясняется структура резонансных членов.

 

Те  члены  преобразованной системы

 

U K1V l1U KV l2  ...U Kn V ln

 

(или системы

 

1         1          2         2                n         n

n

 

(1)),  показатели  степеней  которых  обращают

 

D = å(K s  - ls )ls  - ls

s

 

в  нуль,

 

будем называть резонансными членами, остальные нерезонансными.

Анализ выражения для D показывает, что резонансные  члены могут быть разбиты на две группы: члены, соответствующие тождественному резонансу, и члены, соответствующие внутреннему резонансу.

Члены, соответствующие тождественному резонансу, в S-м уравнении могут быть записаны в виде

 

n

US Õ(U

s=1

 

V  )

 

,

 

Ps

s    s

 

Ps     ³ 0 .                                (5)

 

Нетрудно  видеть, что  показатели степеней  этих  членов обращают  D   в

 

нуль тождественно, независимо от значений в любой система вида (1).

 

l S  , поэтому эти члены имеются

 

Члены,  соответствующие  внутреннему  резонансу  (3)  в  S-м уравнении

преобразованной системы, могут быть записаны в виде

n

 

US Õ

s=1

 

ls +cms       ls

U

 

V

 

s                   s

 

,                                                     (6)

 

где c  - целое число, отличное от нуля.

 

Нумерация переменных

 

xS yS такова, что

 

m1 , m2 ,..., mh  ³ 0,

 

mh+11 ,..., mn  £ 0

 

(mh+1  ¹ 0) .

 

Согласно результатам [2], система (1) в предложении, что правые   части

 

начинают разложения с членов специальному виду:

 

m -1 -го порядка, приводится к  следующему

 

dUS

 

= il U

 

+ c(mj )

 

m1V m1 ...V mS -1...V mh U mh +1 ...U mn     + j

 

(U  ,...U

 

,)  ü

 

 

dt           S       S

 

S     V1         1                S                     h            h

 

n                    S          1

 

n        n           ïï

ý

 

при

 

S £ h ,

 

(7)

 

dVS

 

= -il U

 

+ c-(mj )

 

m1V m1 ...V mS -1 ...V mh U mh +1 ...U mn     + y

 

(U  ,...U

 

,V

 

dt             S       S

 

S         V1         1                S                     h            h

 

n                      S         1

 

n        n   ïþ

 

dUS

 

= il U

 

+ c(mj )

 

m1  ...U mh V mh +1 ...mS -1 ...mn     + j

 

(U  ,...U

 

,)  ü

 

dt           S       S

 

S     U1

 

h         h+1                  S

 

n                     S         1

 

n        n           ïï

ý

 

при

 

S > h,

 

(7/)

 

dVS

 

= -il U

 

+ c-(mj )

 

m1  ...U mh V mh +1 ...mS -1  ...mn     + y

 

(U  ,...U

 

,V

 

dt             S       S

 

S         U1

 

h         h+1                  S

 

n                      S          1

 

n        n   ïþ

 

где

 

jS , yS

 

–  голоморфные  функции,  разлагающейся  в  ряд  начиная с

 

членов не ниже m –го порядка;

 

US ,VS

 

– комплексно сопряженные переменные.

 

Кроме системы (7) при исследовании используется также система

 

S

 

(  )

 

j

 

d (r 2 )   n                       m

2

 

( ,...,    ,

 

,...,     ),

 

=   PS

dt

 

q Õrj

i  1


  • RS r1

 

rn     q1             qn

 

dq      n

 

=                                                                                                                                                              (8)

r

 

n

mj

 

dt  = å

 

1   PS (q)Õrj

 

+ ф(r1 ,..., rn , q1 ,..., qn ),

 

где

 

S =1       S

 

j =1

 

P (q)= amj    cosq + bmj   sin q,

S                        S                                  S

(m )

 

(  )     ïìb              j

 

при

 

S £ h,

 

S

 

b mj

 

= í S

 

S

 

ïî- b(mj )

 

при

 

S > h,

n

 

a(m j ) + ibm j

 

= c(m j ),

 

q = å q .

 

S                      S                   S

 

j     j

i =1

 

S

 

RS , F S –   голоморфные   функции по

 

r1 ,..., rn

 

c   периодическими  по   qS

 

коэффициентами, причем

 

R   ~ O(rm+1 ),

 

ф ~ O(rm-1 ).

 

Система (8) получается (7) путем перехода к переменным формулам

 

ZS , qS        по

 

 

Рассмотрим матрицу

 

US  = rS e

 

iqS  ,

 

VS   = rS e

 

-iqS  .

 

æ a(mj )

 

a(mj )

 

...

 

a(mj ) ö

 

A = ç  1                    2

 

n        ÷ .

 

ç   (m j )       (m j )             (mj ) ÷

 

èb1

 

b2               ...    bn        ø

 

a

 

Дальнейшее   изучение   системы    (7),   (8)    ведется    при   различных предположениях относительно матрицы А и её ранга.

 

Случай 1. Ранг матрицы А равен 2 и среди чисел отличны от нуля.

 

(m j )

S

 

не  менее трех

 

Используя матрицу А, составим всевозможные матрицы вида

 

æ a (m j )

 

a (m j )

 

a (m j ) ö

 

A        = ç

 

(   )       (   )       (    ) ÷,

 

(S1  < S2  < S3 ) .                          (9)

 

S1S2 S3

 

S1

çb mj

 

S2

b mj

 

S3

b m ÷

 

è  S1

 

S2                  S3       ø

 

Обозначим далее через

 

D     определители

S  S

 

i    j

 

a (m j )

 

a (m j )

 

i               j

 

DS          =

 

(m )       () ,

 

(< S ).                       (10)

 

 

i S j

 

S j

b

 

j

S j

 

S j

b

 

j

S j

 

Доказаны следующие теоремы. Теорема  1.      Если среди матрицы

 

S S  S

 

A            найдется    такая,    что

1   2   3

 

соответствующие ей определители

 

DS S

 

, DS  S   , DS S

 

удовлетворяют одному из

 

условий

 

1   2              2   3            1   3

 

S S

 

signD

1   2

signDS S

 

, = sign D

S  S

 

2   3

, = -sign DS S

 

= -signD     ,

S S

 

1   3

= signDS  S  ,

 

(11)

 

1   2

S S

 
  • signD

1   2

 

2   3

S  S

 

, = sign D

2   3

 

1   3

S S

 

= signD     ,

1   3

 

т.е.   в   раду чисел

 

DS S

 

, DS  S   , DS S

 

,  имеется   смена  знака),  то   система   (7)

 

1   2              2   3            1   3

 

устойчива в

 

m -1 -м приближении.

 

Отметим, что если положить n=3 и результаты, полученные ранее в [3].

 

m1   = 1,

 

m2  = m3  = -1 то теорема 1 даёт

 

Теорема   2.   Система   (7) в

существование интегралов в виде

 

m - 1

 

n

 

-м   приближении   всегда допускает

 

åm SU SVS

S =1

 

= const

 

.                                       (12)

 

Если  среди  них  имеется  знакоопределенный  интеграл,  то  система (7)

 

устойчива в

 

m - 1

 

-м приближении, если все интегралы знакопеременны,    то

 

система (7) в

 

m - 1 -м приближении неустойчива.

 

Условием    существования    знакопределенного    интеграла    является условие (11) из теоремы 1.

 

a

 

S

 

Если все   m j     ¹ 0

 

и mS   ¹ 0

 

неустойчивое частное решение имеет вид

 

 

где q0

 

и lS

 

q = q0 ,

постоянные (lS   > 0).

 

rS   = lS z(t),                                            (13)

 

Здесь q0

 

является корнем уравнения

n

å mS  ctg (q - YS ) = 0 ,                                    (14)

S =1

 

lS  - определяются как решения системы уравнений

ms

 

l

 

2

 

n

 

 

Z(t) решение уравнения

 

S   = PS (q0

 

)Õ ls

s=1

 

,                                         (15)

 

 

Вспомогательные углы YS

 

dz = Z m-1 .                                          (16)

dt

определяются из соотношений

 

sin YS

 

ams

= -   S     ,

D S

 

cosYS

 

bms

= -   S     ,

D S

 

(17)

 

D   =    (a (m j )2 )+ (b(m j )2 ),

 

(S = 1,2,..., n).

 

S                     S                          S

 

В  процессе доказательства  теорем  1,2  установлена  тесная связь между

 

свойствами   углов   YS

 

и    устойчивостью   нулевого   решения   системы

1

 

свойствами  углов  YS

 

и  устойчивостью  нулевого  решения  системы  (7 ). А

 

именно, если отождествить углы YS

 

с точками еденичного тригономического

 

круга,  то   в   случае  неустойчивости   все   точки   YS

 

находятся  на   дуге

 

окружности длиной меньше  p. В этом случае уравнение (14) имеет корень q0

который удовлетворяет неравенству

0 < q0  - YS  < p .                                            (18)

В случае устойчивости такой дуги круга нет.

 

a

 

S

 

Если  среди    m j

 

или

 

mS      есть  равные  нулю,  то  неустойчивое  частное

 

решение имеет вид

 

ZS = lS Z (t ),

 

Z j  = C j .

 

Доказательство неустойчивости может быть проведено и с помощью построения функции Н.Г. Четаева [4].

Объединяя результаты, полученные в теоремах 1-2, можно сформулировать следующие необходимые и достаточные условия неустойчивости  нулевого решения системы (71):

 

а) Ранг А=2 и для любой матрицы (9), для   которой

 

D      ¹ 0 (i < j)

S S

 

i    j

 

в ряду

 

S S

 

чисел D

i    j

 

(i < j), нет смены знака.

 

i

 

k

 

б) Ранг А=1, причем для любых выполняется условие:

 

a(mj ) ¹ 0  и

 

a(mj ) ¹ 0

 

( (mj )   (mj ) )= 1

 

(mj )  (mj )

 

sign ai         ak

 

или

 

sign(b      b

 

)= 1.

 

i

 

k

 

Если ни одно из приведенных условий не выполняется, то система (7)   в

m - 1 -м приближении устойчива.

Если выполняются условия а), то в качестве функции Н. Г. Четаева используется функция

 

h

1

 

V  = Õ z md

d=1

 

cos(q - Y1 ),

 

В случае б) функция Н. Г. Чтаева берется либо в виде

md

 

h

 

V2  = Õ zd

d=1

 

cosq,

 

a

 

S

 

если среди   m j

 

есть отличные от нуля, либо в виде

md

 

h

 

V3  = Õ z j

d=1

 

sin q

 

S

 

если среди b(mj ) есть отличные от нуля.

 

Функции V1 ,V2 ,V3

 

аналогично использованным в [5].

 

 

n = 3

 

Из полученных результатов видно,  что  при произвольных из теорем 1-5 следуют результаты работы [5].

 

m1 , m2 , m3 и

 

Система (7) при

 

n = 2

 

и l1  = 2l 2

 

исследовалось на устойчивость в [6].

 

В этой работе при дополнительных ограничениях на правые части системы, получены только достаточные условия неустойчивости. Эти результаты вытекают как частный случай из [7].

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Ляпунов А. М. «Общая задача об устойчивости движения», 1950.

2 Гольцер Я.М. «О преобразовании одной системы дифференциальных уравнений при наличии резонанса». Тр. Семин. по теор.уст. дв-я, вып. 2 КазПИ им. Абая, Алма-Ата, 1969.

  • Ибрагимова Н. К. «Об устойчивости некоторых систем при наличии резонанса». Ж. вычисл.матем. и матем.физ., т.б. №5,
  • Четаев Н. Г. «Устойчивость движения. Работы по аналитической механике». Изд-во Акад. наук СССР,
  • Куницын А. Л. «Об устойчивости в критическом случае трех пар чисто мнимых корней при внутреннем резонансе». ПММ, т. 35, вып.I
  • Нуржауов Т. «К исследованию устойчивости установившихся движений в критическом случае h пар чисто мнимых корней». Канд.дисс. Алма-Ата,
  • Гольцер Я. М., Нурпеисов С. «К исследованию одного критичиского случая при наличии внутренного резонанса». Изв. АН КазССР, серия физмат,

№1, 1972.

Фамилия автора: С.А. Нурпеисов
Год: 2015
Город: Алматы
Получить доступ
Чтобы скачать её, вам необходимо зарегистрироваться.
Яндекс.Метрика