Другие статьи

Цель нашей работы - изучение аминокислотного и минерального состава травы чертополоха поникшего
2010

Слово «этика» произошло от греческого «ethos», что в переводе означает обычай, нрав. Нравы и обычаи наших предков и составляли их нравственность, общепринятые нормы поведения.
2010

Артериальная гипертензия (АГ) является важнейшей медико-социальной проблемой. У 30% взрослого населения развитых стран мира определяется повышенный уровень артериального давления (АД) и у 12-15 % - наблюдается стойкая артериальная гипертензия
2010

Целью нашего исследования явилось определение эффективности применения препарата «Гинолакт» для лечения ВД у беременных.
2010

Целью нашего исследования явилось изучение эффективности и безопасности препарата лазолван 30мг у амбулаторных больных с ХОБЛ.
2010

Деформирующий остеоартроз (ДОА) в настоящее время является наиболее распространенным дегенеративно-дистрофическим заболеванием суставов, которым страдают не менее 20% населения земного шара.
2010

Целью работы явилась оценка анальгетической эффективности препарата Кетанов (кеторолак трометамин), у хирургических больных в послеоперационном периоде и возможности уменьшения использования наркотических анальгетиков.
2010

Для более объективного подтверждения мембранно-стабилизирующего влияния карбамезапина и ламиктала нами оценивались перекисная и механическая стойкости эритроцитов у больных эпилепсией
2010

Нами было проведено клинико-нейропсихологическое обследование 250 больных с ХИСФ (работающих в фосфорном производстве Каратау-Жамбылской биогеохимической провинции)
2010


C использованием разработанных алгоритмов и моделей был произведен анализ ситуации в системе здравоохранения биогеохимической провинции. Рассчитаны интегрированные показатели здоровья
2010

Специфические особенности Каратау-Жамбылской биогеохимической провинции связаны с производством фосфорных минеральных удобрений.
2010

Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения

В статье рассматривается критический случай n пар чисто мнимых корней при наличии внутреннего резонанса нечетного порядка. 

Известно, что одной из основных проблем теории устойчивости движения является проблема исследования устойчивости в так называемых критических случаях, когда вопрос об устойчивости движения не решается уравнениями первого приближения. В этом направлении опубликовано большое количество работ.

Придавая важное значение исследованию критических случаев, А.М. Ляпунов [1] до конца решил задачу об устойчивости установившихся движений.

Исследованию устойчивости в критическом случае  нескольких пар чисто мнимых корней посвящены работы Веретенникова В.Г.,  Гольцера Я.М., Зубова В.И., Каменкова Г.В., Малкина И.Г., Молчанова А.М., Сальвадори и др.

Во всех отмеченных выше работах, в которых в той или иной форме изучался критический случай n пар чисто мнимых корней, предполагалось отсутствие в системе внутреннего резонанса до достаточно высокого порядка. А именно, если исследуемую систему записать в виде

 

ì dxS

 

= il  x

 

+ (x , y ,..., , y  ),

 

í

 

ï  dt

 

S    S                 S        1         1                n          n

 

(S = 1,2, ..., n) ,                         (1)

 

ï dyS

 

= -il  y

 

+ (x , y ,..., , y ),

 

î dt

 

S     S              S         1        1                 n          n

 

где

 

xS ,  yS

 

-     комплексно-сопряженные    переменные,

 

X S , YS            

 

аналитические функции, разложения которых в ряд начинается с членов не

ниже  второго  порядка,  то  предполагалось,  что  положительные  числа  l S

удовлетворяют условию:

 

n

å mS l S   ¹ 0

S =1

 

при

 

n

å mS    £ L ,                                          (2)

S =1

 

mS   целые,  L  - достаточно большое число.

В последнее время все большее внимание уделяется исследованию системы (1) в тех случаях, когда не выполняются условия (2). Это связано с тем, что для многих реальных систем условие (2) не является естественным.

 

Определение. Будем говорить, что система    (1)   обладает внутренним

 

резонансом m-го порядка, типа (m1 , m2 ,

n

 

... , mn ), если

n

 

å mS l S   = 0

S =1

 

при

 

å mS    ¹ L

S =1

 

(3)

 

mS     - взаимно простые целые числа.

Исследуемая система дифференциальных уравнений (1) преобразуется к специальному виду [2]. Этот переход осуществляется c помощью преобразования, имеющего вид

S

 

1

 

2 N +1

 

xS   = US

 

+ å

j =2

 

U ( j ) (U

 

,V1 ,..., Un

 

,Vn ),

 

(4)

 

y   = V

 

2 N +1

  • V ( j ) (U

 

,V ,..., U

 

,V ),

 

S               S           å S              1       1                  n        n

j =2

 

где

 

US ,VS

 

  • комплексно сопряженные переменные

 

U j ,V J

 

  • формы j-го

 

S

 

S

 

порядка,   N–достаточно   большое   число.   В    процессе    преобразования выясняется структура резонансных членов.

 

Те  члены  преобразованной системы

 

U K1V l1U KV l2  ...U Kn V ln

 

(или системы

 

1         1          2         2                n         n

n

 

(1)),  показатели  степеней  которых  обращают

 

D = å(K s  - ls )ls  - ls

s

 

в  нуль,

 

будем называть резонансными членами, остальные нерезонансными.

Анализ выражения для D показывает, что резонансные  члены могут быть разбиты на две группы: члены, соответствующие тождественному резонансу, и члены, соответствующие внутреннему резонансу.

Члены, соответствующие тождественному резонансу, в S-м уравнении могут быть записаны в виде

 

n

US Õ(U

s=1

 

V  )

 

,

 

Ps

s    s

 

Ps     ³ 0 .                                (5)

 

Нетрудно  видеть, что  показатели степеней  этих  членов обращают  D   в

 

нуль тождественно, независимо от значений в любой система вида (1).

 

l S  , поэтому эти члены имеются

 

Члены,  соответствующие  внутреннему  резонансу  (3)  в  S-м уравнении

преобразованной системы, могут быть записаны в виде

n

 

US Õ

s=1

 

ls +cms       ls

U

 

V

 

s                   s

 

,                                                     (6)

 

где c  - целое число, отличное от нуля.

 

Нумерация переменных

 

xS yS такова, что

 

m1 , m2 ,..., mh  ³ 0,

 

mh+11 ,..., mn  £ 0

 

(mh+1  ¹ 0) .

 

Согласно результатам [2], система (1) в предложении, что правые   части

 

начинают разложения с членов специальному виду:

 

m -1 -го порядка, приводится к  следующему

 

dUS

 

= il U

 

+ c(mj )

 

m1V m1 ...V mS -1...V mh U mh +1 ...U mn     + j

 

(U  ,...U

 

,)  ü

 

 

dt           S       S

 

S     V1         1                S                     h            h

 

n                    S          1

 

n        n           ïï

ý

 

при

 

S £ h ,

 

(7)

 

dVS

 

= -il U

 

+ c-(mj )

 

m1V m1 ...V mS -1 ...V mh U mh +1 ...U mn     + y

 

(U  ,...U

 

,V

 

dt             S       S

 

S         V1         1                S                     h            h

 

n                      S         1

 

n        n   ïþ

 

dUS

 

= il U

 

+ c(mj )

 

m1  ...U mh V mh +1 ...mS -1 ...mn     + j

 

(U  ,...U

 

,)  ü

 

dt           S       S

 

S     U1

 

h         h+1                  S

 

n                     S         1

 

n        n           ïï

ý

 

при

 

S > h,

 

(7/)

 

dVS

 

= -il U

 

+ c-(mj )

 

m1  ...U mh V mh +1 ...mS -1  ...mn     + y

 

(U  ,...U

 

,V

 

dt             S       S

 

S         U1

 

h         h+1                  S

 

n                      S          1

 

n        n   ïþ

 

где

 

jS , yS

 

–  голоморфные  функции,  разлагающейся  в  ряд  начиная с

 

членов не ниже m –го порядка;

 

US ,VS

 

– комплексно сопряженные переменные.

 

Кроме системы (7) при исследовании используется также система

 

S

 

(  )

 

j

 

d (r 2 )   n                       m

2

 

( ,...,    ,

 

,...,     ),

 

=   PS

dt

 

q Õrj

i  1


  • RS r1

 

rn     q1             qn

 

dq      n

 

=                                                                                                                                                              (8)

r

 

n

mj

 

dt  = å

 

1   PS (q)Õrj

 

+ ф(r1 ,..., rn , q1 ,..., qn ),

 

где

 

S =1       S

 

j =1

 

P (q)= amj    cosq + bmj   sin q,

S                        S                                  S

(m )

 

(  )     ïìb              j

 

при

 

S £ h,

 

S

 

b mj

 

= í S

 

S

 

ïî- b(mj )

 

при

 

S > h,

n

 

a(m j ) + ibm j

 

= c(m j ),

 

q = å q .

 

S                      S                   S

 

j     j

i =1

 

S

 

RS , F S –   голоморфные   функции по

 

r1 ,..., rn

 

c   периодическими  по   qS

 

коэффициентами, причем

 

R   ~ O(rm+1 ),

 

ф ~ O(rm-1 ).

 

Система (8) получается (7) путем перехода к переменным формулам

 

ZS , qS        по

 

 

Рассмотрим матрицу

 

US  = rS e

 

iqS  ,

 

VS   = rS e

 

-iqS  .

 

æ a(mj )

 

a(mj )

 

...

 

a(mj ) ö

 

A = ç  1                    2

 

n        ÷ .

 

ç   (m j )       (m j )             (mj ) ÷

 

èb1

 

b2               ...    bn        ø

 

a

 

Дальнейшее   изучение   системы    (7),   (8)    ведется    при   различных предположениях относительно матрицы А и её ранга.

 

Случай 1. Ранг матрицы А равен 2 и среди чисел отличны от нуля.

 

(m j )

S

 

не  менее трех

 

Используя матрицу А, составим всевозможные матрицы вида

 

æ a (m j )

 

a (m j )

 

a (m j ) ö

 

A        = ç

 

(   )       (   )       (    ) ÷,

 

(S1  < S2  < S3 ) .                          (9)

 

S1S2 S3

 

S1

çb mj

 

S2

b mj

 

S3

b m ÷

 

è  S1

 

S2                  S3       ø

 

Обозначим далее через

 

D     определители

S  S

 

i    j

 

a (m j )

 

a (m j )

 

i               j

 

DS          =

 

(m )       () ,

 

(< S ).                       (10)

 

 

i S j

 

S j

b

 

j

S j

 

S j

b

 

j

S j

 

Доказаны следующие теоремы. Теорема  1.      Если среди матрицы

 

S S  S

 

A            найдется    такая,    что

1   2   3

 

соответствующие ей определители

 

DS S

 

, DS  S   , DS S

 

удовлетворяют одному из

 

условий

 

1   2              2   3            1   3

 

S S

 

signD

1   2

signDS S

 

, = sign D

S  S

 

2   3

, = -sign DS S

 

= -signD     ,

S S

 

1   3

= signDS  S  ,

 

(11)

 

1   2

S S

 
  • signD

1   2

 

2   3

S  S

 

, = sign D

2   3

 

1   3

S S

 

= signD     ,

1   3

 

т.е.   в   раду чисел

 

DS S

 

, DS  S   , DS S

 

,  имеется   смена  знака),  то   система   (7)

 

1   2              2   3            1   3

 

устойчива в

 

m -1 -м приближении.

 

Отметим, что если положить n=3 и результаты, полученные ранее в [3].

 

m1   = 1,

 

m2  = m3  = -1 то теорема 1 даёт

 

Теорема   2.   Система   (7) в

существование интегралов в виде

 

m - 1

 

n

 

-м   приближении   всегда допускает

 

åm SU SVS

S =1

 

= const

 

.                                       (12)

 

Если  среди  них  имеется  знакоопределенный  интеграл,  то  система (7)

 

устойчива в

 

m - 1

 

-м приближении, если все интегралы знакопеременны,    то

 

система (7) в

 

m - 1 -м приближении неустойчива.

 

Условием    существования    знакопределенного    интеграла    является условие (11) из теоремы 1.

 

a

 

S

 

Если все   m j     ¹ 0

 

и mS   ¹ 0

 

неустойчивое частное решение имеет вид

 

 

где q0

 

и lS

 

q = q0 ,

постоянные (lS   > 0).

 

rS   = lS z(t),                                            (13)

 

Здесь q0

 

является корнем уравнения

n

å mS  ctg (q - YS ) = 0 ,                                    (14)

S =1

 

lS  - определяются как решения системы уравнений

ms

 

l

 

2

 

n

 

 

Z(t) решение уравнения

 

S   = PS (q0

 

)Õ ls

s=1

 

,                                         (15)

 

 

Вспомогательные углы YS

 

dz = Z m-1 .                                          (16)

dt

определяются из соотношений

 

sin YS

 

ams

= -   S     ,

D S

 

cosYS

 

bms

= -   S     ,

D S

 

(17)

 

D   =    (a (m j )2 )+ (b(m j )2 ),

 

(S = 1,2,..., n).

 

S                     S                          S

 

В  процессе доказательства  теорем  1,2  установлена  тесная связь между

 

свойствами   углов   YS

 

и    устойчивостью   нулевого   решения   системы

1

 

свойствами  углов  YS

 

и  устойчивостью  нулевого  решения  системы  (7 ). А

 

именно, если отождествить углы YS

 

с точками еденичного тригономического

 

круга,  то   в   случае  неустойчивости   все   точки   YS

 

находятся  на   дуге

 

окружности длиной меньше  p. В этом случае уравнение (14) имеет корень q0

который удовлетворяет неравенству

0 < q0  - YS  < p .                                            (18)

В случае устойчивости такой дуги круга нет.

 

a

 

S

 

Если  среди    m j

 

или

 

mS      есть  равные  нулю,  то  неустойчивое  частное

 

решение имеет вид

 

ZS = lS Z (t ),

 

Z j  = C j .

 

Доказательство неустойчивости может быть проведено и с помощью построения функции Н.Г. Четаева [4].

Объединяя результаты, полученные в теоремах 1-2, можно сформулировать следующие необходимые и достаточные условия неустойчивости  нулевого решения системы (71):

 

а) Ранг А=2 и для любой матрицы (9), для   которой

 

D      ¹ 0 (i < j)

S S

 

i    j

 

в ряду

 

S S

 

чисел D

i    j

 

(i < j), нет смены знака.

 

i

 

k

 

б) Ранг А=1, причем для любых выполняется условие:

 

a(mj ) ¹ 0  и

 

a(mj ) ¹ 0

 

( (mj )   (mj ) )= 1

 

(mj )  (mj )

 

sign ai         ak

 

или

 

sign(b      b

 

)= 1.

 

i

 

k

 

Если ни одно из приведенных условий не выполняется, то система (7)   в

m - 1 -м приближении устойчива.

Если выполняются условия а), то в качестве функции Н. Г. Четаева используется функция

 

h

1

 

V  = Õ z md

d=1

 

cos(q - Y1 ),

 

В случае б) функция Н. Г. Чтаева берется либо в виде

md

 

h

 

V2  = Õ zd

d=1

 

cosq,

 

a

 

S

 

если среди   m j

 

есть отличные от нуля, либо в виде

md

 

h

 

V3  = Õ z j

d=1

 

sin q

 

S

 

если среди b(mj ) есть отличные от нуля.

 

Функции V1 ,V2 ,V3

 

аналогично использованным в [5].

 

 

n = 3

 

Из полученных результатов видно,  что  при произвольных из теорем 1-5 следуют результаты работы [5].

 

m1 , m2 , m3 и

 

Система (7) при

 

n = 2

 

и l1  = 2l 2

 

исследовалось на устойчивость в [6].

 

В этой работе при дополнительных ограничениях на правые части системы, получены только достаточные условия неустойчивости. Эти результаты вытекают как частный случай из [7].

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Ляпунов А. М. «Общая задача об устойчивости движения», 1950.

2 Гольцер Я.М. «О преобразовании одной системы дифференциальных уравнений при наличии резонанса». Тр. Семин. по теор.уст. дв-я, вып. 2 КазПИ им. Абая, Алма-Ата, 1969.

  • Ибрагимова Н. К. «Об устойчивости некоторых систем при наличии резонанса». Ж. вычисл.матем. и матем.физ., т.б. №5,
  • Четаев Н. Г. «Устойчивость движения. Работы по аналитической механике». Изд-во Акад. наук СССР,
  • Куницын А. Л. «Об устойчивости в критическом случае трех пар чисто мнимых корней при внутреннем резонансе». ПММ, т. 35, вып.I
  • Нуржауов Т. «К исследованию устойчивости установившихся движений в критическом случае h пар чисто мнимых корней». Канд.дисс. Алма-Ата,
  • Гольцер Я. М., Нурпеисов С. «К исследованию одного критичиского случая при наличии внутренного резонанса». Изв. АН КазССР, серия физмат,

№1, 1972.

Разделы знаний

Архитектура

Научные статьи по Архитектуре

Биология

Научные статьи по биологии 

Военное дело

Научные статьи по военному делу

Востоковедение

Научные статьи по востоковедению

География

Научные статьи по географии

Журналистика

Научные статьи по журналистике

Инженерное дело

Научные статьи по инженерному делу

Информатика

Научные статьи по информатике

История

Научные статьи по истории, историографии, источниковедению, международным отношениям и пр.

Культурология

Научные статьи по культурологии

Литература

Литература. Литературоведение. Анализ произведений русской, казахской и зарубежной литературы. В данном разделе вы можете найти анализ рассказов Мухтара Ауэзова, описание творческой деятельности Уильяма Шекспира, анализ взглядов исследователей детского фольклора.  

Математика

Научные статьи о математике

Медицина

Научные статьи о медицине Казахстана

Международные отношения

Научные статьи посвященные международным отношениям

Педагогика

Научные статьи по педагогике, воспитанию, образованию

Политика

Научные статьи посвященные политике

Политология

Научные статьи по дисциплине Политология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Психология

В разделе "Психология" вы найдете публикации, статьи и доклады по научной и практической психологии, опубликованные в научных журналах и сборниках статей Казахстана. В своих работах авторы делают обзоры теорий различных психологических направлений и школ, описывают результаты исследований, приводят примеры методик и техник диагностики, а также дают свои рекомендации в различных вопросах психологии человека. Этот раздел подойдет для тех, кто интересуется последними исследованиями в области научной психологии. Здесь вы найдете материалы по психологии личности, психологии разивития, социальной и возрастной психологии и другим отраслям психологии.  

Религиоведение

Научные статьи по дисциплине Религиоведение опубликованные в Казахстанских научных журналах

Сельское хозяйство

Научные статьи по дисциплине Сельское хозяйство опубликованные в Казахстанских научных журналах

Социология

Научные статьи по дисциплине Социология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Технические науки

Научные статьи по техническим наукам опубликованные в Казахстанских научных журналах

Физика

Научные статьи по дисциплине Физика опубликованные в Казахстанских научных журналах

Физическая культура

Научные статьи по дисциплине Физическая культура опубликованные в Казахстанских научных журналах

Филология

Научные статьи по дисциплине Филология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Философия

Научные статьи по дисциплине Философия опубликованные в Казахстанских научных журналах

Химия

Научные статьи по дисциплине Химия опубликованные в Казахстанских научных журналах

Экология

Данный раздел посвящен экологии человека. Здесь вы найдете статьи и доклады об экологических проблемах в Казахстане, охране природы и защите окружающей среды, опубликованные в научных журналах и сборниках статей Казахстана. Авторы рассматривают такие вопросы экологии, как последствия испытаний на Чернобыльском и Семипалатинском полигонах, "зеленая экономика", экологическая безопасность продуктов питания, питьевая вода и природные ресурсы Казахстана. Раздел будет полезен тем, кто интересуется современным состоянием экологии Казахстана, а также последними разработками ученых в данном направлении науки.  

Экономика

Научные статьи по экономике, менеджменту, маркетингу, бухгалтерскому учету, аудиту, оценке недвижимости и пр.

Этнология

Научные статьи по Этнологии опубликованные в Казахстане

Юриспруденция

Раздел посвящен государству и праву, юридической науке, современным проблемам международного права, обзору действующих законов Республики Казахстан Здесь опубликованы статьи из научных журналов и сборников по следующим темам: международное право, государственное право, уголовное право, гражданское право, а также основные тенденции развития национальной правовой системы.