В настоящее время проблемы математического образования и понимания эффективности математики как метода познания представляют собой уже не столько академический интерес, сколько требуют решения для создания экономически развитого общества, активного продвижения научно-технического прогресса.
Математические методы сегодня находят широкое применение в области социальных наук, и в первую очередь в экономике, поскольку все экономические категории и явления имеют количественную определенность, и здесь открывается широкий простор для применения математики.
Математические методы изучения экономических явлений позволяют более глубоко определить их сущность, раскрыть новые соотношения между ними, влиять на ход и результаты теоретических исследований. Взаимоотношения между математикой и экономикой можно рассматривать как взаимоотношения категорий материалистической диалектики – формы и содержания, количества и качества. Форма не только обуславливается содержанием, но и активно влияет на содержание. Изучение количественных соотношений переходит в исследования качественного содержания наблюдаемых явлений и процессов, и наоборот.
Применение математических методов в различных областях исследования (экономике, биологии, медицине и т.д.) принимает форму математического моделирования. При построении математической модели возможны два подхода: индуктивный – от более простой модели к общей модели всего процесса, и дедуктивный – от общей модели к более конкретной.
Неоспоримым образцом научного применения математических методов и построения математических моделей в экономике служит «Капитал» К.Маркса. В I томе он вводит понятие относительной стоимости, сопоставляя стоимости разнородных товаров. Во II томе «Капитала» Маркс строит математические модели простого и расширенного воспроизводства, рассматривая систему уравнений и неравенств. В III томе он приводит математическую модель нормы прибыли, произведя при этом ее математический анализ.
В начале XIX века также были сделаны первые попытки использования математических методов при изучении рыночных отношений, взаимозависимости спроса и предложения, выявления действия основных факторов на объем производства. Первые исследования были направлены на определение зависимости между ценой товара и спросом на него, между ценой товара и предложением. В 1838 г. во Франции была опубликована работа А.Курно «Исследование математических принципов теории богатства», в которой впервые была математически выражена связь между ценой товара и спросом на него. Автор рассматривал спрос представляет собой простейшую формулу, описывающую взаимозависимость цены и спроса. Позднее аналогичное математическое толкование получила и взаимозависимость цены и предложения. В дальнейшем А.Маршалл ввел понятие эластичности спроса, определив ее как отношение между относительным изменением спроса и относительным изменением цены. Эластичность спроса указывает, на сколько процентов уменьшится или увеличится спрос, если цена уменьшится или увеличится на 1%.
Но на величину спроса помимо цены оказывает влияние и размер доходов населения. Поэтому спрос нужно рассматривать как функцию цены и дохода (m) . Тогда уравнение примет вид d = f ( p, m) (здесь мы уже имеем дело с функцией двух переменных). В связи с этим различают не только эластичность спроса относительно цены, но и эластичность спроса относительно дохода.
Немецкий статистик Э.Энгель (1821-1896.), изучавший семейные бюджеты, исследовал зависимость спроса от дохода. Если предположить, что доход постоянен, то спрос выступает лишь как
Графическое изображение функций при постоянных ценах получило название кривых Энгеля. Изучая семейные расходы, Энгель вывел закономерность: с ростом дохода часть его, расходуемая на продовольствие, уменьшается («Закон Энгеля»).
Изучение количественных соотношений спроса и предложения, цены и спроса, цены и предложения, дохода и спроса стало практическим средством прогнозирования рыночной конъюнктуры, возможных спадов и подъемов, изменения цен. И в этом нельзя отрицать огромной роли математических методов исследования рынка.
В экономике постоянно приходится иметь дело с переменными величинами, состоящими в функциональной зависимости. Применение дифференциального исчисления к экономике называется предельным анализом. «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому стало необходимым дифференциальное и интегральное исчисление...» К.Маркс, Ф.Энгельс.
В любой предпринимательской деятельности при планировании развития производства возникает вопрос: как увеличение или уменьшение затрат повлияет на конечный результат. Для решения такого рода задач нужно найти предел отношения приращений рассматриваемых величин, так называемый предельный эффект. Так, для характеристики изменения суммарного дохода при изменении количества реализованного товара на единицу вводится понятие предельного дохода (MC) ; изменения полных издержек при изменении выпуска на единицу – понятие предельных издержек (MR) ; изменения объема выпускаемой продукции при изменении численности персонала на единицу предельная производительность труда (ML) . Все эти понятия объединяет понятие производной функции где y суммарный доход, полные издержки, объем выпускаемой продукции, x – соответственно количество товара, объем продукции, приложенный труд. Используя понятие производной, можно получить следующие результаты: при совершенном рынке предельный и средний доходы совпадают, не всегда увеличение цены влечет увеличение дохода, дальнейшее увеличение численности персонала приводит к падению производительности труда.
Для доказательства этих утверждений используем понятие производной, и в частности, понятие эластичности спроса.
Многие, в том числе и базовые законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем. Например, теорема Ферма утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке наибольшего или наименьшего значения равна нулю. Если обозначить функцию прибыли через C(x) – издержки производства, x – уровень производства. Оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна. Следовательно, по теореме Ферма в этой точке p '(x) = 0. Тогда R'(x) C'(x) = MR MC = 0 . Откуда получаем равенство MR = MC . Соответствующий экономический закон гласит: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода [1].
производства, или минимально эффективный размер предприятия, это когда средние издержки AC(x) по производству товара минимальны. По теореме Ферма минимум достигается в точках, при которых AC'(x) = 0 . Откуда получаем равенство C'(x) = MC(x) = AC(x) . Соответствующий экономический закон – предельно-среднее правило – утверждает: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек [1] .
Понятие выпуклости функции также имеет экономическую интерпретацию. Закон убывающей доходности или отдачи гласит: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса, с некоторого момента убывает [2]. Иными словами, функция доходности, т.е. функция, выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса (трудового, технологического и т.д.), является функцией, выпуклой вверх. Закон убывающей полезности – закон Госсена – утверждает, что с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает [2]. Это означает, что функция полезности является функцией, выпуклой вверх.
Обратимся к одному из важнейших показателей макроэкономики – национальному доходу. Рассмотрим для его подсчета простейшую двухсекторную модель, представив всю национальную экономику как состоящую из двух секторов: потребителей и производителей. Определим национальный доход как сумму всех платежей потребителей производителям за использование ресурсов. Тогда национальный доход Y состоит из потребления C и сбережений S . То есть имеем равенство Y = C + S . В свою очередь потребление и сбережения являются функциями национального дохода: C = C(Y ), S = S (Y ) . Возникает вопрос: каким образом увеличение или уменьшение национального дохода будет влиять на объем потребления и сбережений.
Для анализа этой проблемы вводятся понятия предельной склонности к потреблению и предельной склонности к сбережению, определяя их как производные по национальному доходу Y от потребления C и сбережений S соответственно. Тогда дифференцируя равенство Y = C + S по переменной Y , получим, что между предельной склонностью к потреблению и предельной склонностью к сбережению существует следующая связь C'+S ' = 1. Из этого соотношения можно определить, при каком уровне национального дохода общество склонно больше проедать или накапливать.
Двухсекторную модель национальной экономики можно приблизить к реальности, включив в нее инвестиции I , государственные расходы G и налоги T . Предполагая, что экономика находится в равновесии, что математически характеризуется равенством S = I (то есть все сбережения инвестируются), получаем так называемое основное макроэкономическое тождество Y = C + I + G . Если считать функцию потребления линейной и учесть, что налоги уменьшают реальный доход, то имеем уравнение
C = a(Y tY T0 ) + b , где a предельная склонность к потреблению, b автономное потребление, t ставка налога, To = const автономные налоги, не зависящие от величины национального дохода (например, налоги на недвижимость, наследство и т.д.). Таким образом, имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными Y и С :
С помощью этого тождества можно определить, как изменится национальный доход вследствие одновременного изменения величины государственных расходов и налогов. Как известно, существуют так называемые «мультипликационные эффекты» в экономике.
Как видно из последнего уравнения, суть мультипликатора состоит в увеличении инвестиций I или расходов G , приводящем к увеличению национального дохода, причем, на величину большую, чем первоначальный рост инвестиций или расходов.
Мультипликатор государственных расходов показывает приращение национального дохода в результате приращения государственных расходов и равен K
Налоговый мультипликатор характеризует изменение национального дохода при изменении на-
Так как мультипликатор государственных расходов на единицу больше налогового мультипликатора KG -1 = KT , можно сделать вывод, что мультипликативный эффект от снижения налогов слабее, чем от увеличения государственных расходов. Последнее равенство является определяющим при выборе инструментов фискальной политики.
Суммарное изменение национального дохода Y в результате одновременного изменения величин государственных расходов и налогов определяется равенством
Из этого равенства следует: когда государственные расходы и налоговые отчисления возрастают на одну и ту же величину, равновесное состояние национального дохода возрастает на постоянную величину. При этом мультипликатор сбалансированного бюджета всегда равен 1.
Важное значение для развития народного хозяйства и ее перспективного планирования имеет разработка межотраслевых балансов производства и распределения, личного потребления и доходов населения. Балансовые расчеты и экономическое прогнозирование основываются на решении системы алгебраических, дифференциальных уравнений, когда при заданных условиях, при определенных ограничениях вычисляются многие переменные.
В математической записи баланс спроса и предложения представляется в виде системы:
Каждое из уравнений этой системы представляет собой уравнений множественной регрессии, выражающее зависимость спроса на определенный товар от уровня доходов населения, уровня цены этого товара и уровней цен других товаров. Для установления балансового равенства спроса и предложения по всем товарам, нужно пересчитать цены с целью учета соотношения спроса и предложения. То есть, нужно решить систему балансовых уравнений спроса относительно неизвестных цен.
Решение системы балансовых уравнений дает плановый баланс спроса и предложения. Но это решение не гарантирует равенства сумм доходов и расходов. Для достижения равенства сmумм доходов и расходов систему этих уравнений необходимо дополнить еще одним уравнением – неизвестное.
Экономический смысл этого уравнения заключается в определении плановой величины дохода, равной произведению плановых величин спроса-предложения на плановые величины цен. Таким образом, это уравнение не просто обеспечивает формальное равенство, но в совокупности со всей системой уравнений позволяет решить проблему рационального уровня заработной платы.
Как мы видим, математические методы анализа в изучении экономических явлений приобретают все большее значение. Математика сегодня успешно решает реальные экономические, экологические, биологические, космические, социальные задачи. Выявление законов взаимодействия экологических систем, социально-экономического развития общества требует колоссальных междисциплинарных исследований. В рамках этих исследований вопрос об эффективности математики приобретает особую остроту, поскольку целостности этих исследований можно добиться, используя методологию системного анализа и математического моделирования, современные достижения математики. К числу широкомасштабных комплексных исследований междисциплинарного характера относятся задачи глобального моделирования экологических систем, устойчивого развития общества.
Таким образом, математика призвана выступать в качестве одного из объединяющих начал научно-практической деятельности крупных коллективов ученых, представителей разных дисциплин, в том числе и таких, которые традиционно было принято считать чуждыми математике. И как утверждал Джеймс Джинс великий архитектор Вселенной все более представляется нам чистым математиком.
ЛИТЕРАТУРА
- Экономическая теория; под ред. А.И.Добрынина, Т.Л.Тарасевича. – СПб: Питер, 2001. – 544 с.
- Самуэльсон П. Экономика. – М., 1994, 1 т. – 331 с., 2 т. – 415 с.
- Кудрявцева Л.Д. Современная математика и ее преподавание. – М.: Наука, 1980. – 144 с.