Теоретические и методические основы применения в экономическом анализе математических методов моделирования

Рыночная экономика связана с необходимостью повышения эффективности производства, конкурентоспособности продукции и услуг на основе систематического анализа хозяйственной деятельности предприятия. Анализ деятельности дает возможность вырабатывать необходимую стратегию и тактику развития предприятия, на основе которых формируется производственная программа, выявляются резервы повышения эффективности производства.

В экономическом анализе первостепенное внимание уделяется эффективности использования технических, материальных и финансовых ресурсов, повышению производительности труда, ускорению оборачиваемости оборотных средств, увеличению рентабельности производства. Поэтому экономический анализ как научную дисциплину относят к важнейшему средству руководства и контроля производственно-хозяйственной деятельности предприятий и организаций.

Экономический анализ сопровождается и содержит современные методы исследований на основе системного, комплексного подхода к изучению предмета анализа [1–7].

В настоящее время математизация экономического анализа является непременным условием, позволяющим успешно решать задачи повышения эффективности производства [8–13].

Существующие математические методы анализа экономических явлений можно свести к двум группам: 1) элементарные приемы и 2) математические методы.

К основным элементарным приемам экономического анализа относятся: прием сравнения фактических показателей с базисными; индексный прием расчленения статистических показателей; последовательно цепной метод; прием процентных соотношений; цепной метод установления отклонения с учетом технологической взаимосвязи факторов; прием группировок; прием детализации; элиминирование, балансовый и сальдовый приемы и др.

Все они основываются на учетно-отчетном статистическом материале, который выражает в среднем количественное изменение показателей работы предприятий. Эти приемы относительно просты и позволяют в ряде случаев получить удовлетворительные результаты при исследовании некоторых вопросов производственно-хозяйственной деятельности предприятий. Например, при техникоэкономическом анализе использования проходческого оборудования или другой техники можно применить метод цепных подстановок. Процентные соотношения позволяют определить, на сколько процентов возросли доходы шахты в связи с уменьшением зольности отгруженного потребителю угля на 1 % и т.д.

Однако элементарным приемам статистического анализа свойственны следующие недостатки. Действие факторов, влияющих на исследуемый экономический показатель, рассматривается изолированно. Кроме того, в результате анализа устанавливаются только отклонения исследуемых показателей от плановых (базисных), без вскрытия объективных причин, обусловливающих изменения показателей. Эти недостатки значительно снижают ценность элементарных приемов, ограничивают сферу их применения.

К математическим методам исследования относят дисперсионный анализ, теорию корреляции и теорию вероятности и массового обслуживания, статистическую теорию принятия решений,  теорию игр, сетевое планирование, линейное, нелинейное, параметрическое и динамическое программирование. Эти методы, в отличие от элементарных приемов, ставят перед собой задачу определения степени связи между факторами производства и экономическими показателями работы предприятий. Они позволяют определить не только качественное и количественное изменение показателей, но и установить величину и степень связи между ними.

Исходным положением, обусловливающим применение математических методов в экономическом анализе, является представление о наличии случайных колебаний (случайных явлений) в экономике. Случайные колебания в экономическом процессе возникают не потому, что они  неизбежны, а в силу нецелесообразности или невозможности учета вызывающих их факторов. Ряд таких факторов не поддается предвидению, а другие учесть трудно вследствие обилия связей и их сложности в народном хозяйстве. Действие всех этих факторов приводит к тому, что фактические экономические показатели отличаются от плановых (прогнозных). Эти показатели носят характер распределения вокруг некоторой средней величины, что и служит основой применения вероятностных методов в экономическом анализе.

К числу наиболее распространенных вероятностных методов следует отнести дисперсионный анализ, методы корреляционного и регрессионного анализа и теорию массового обслуживания. Предварительно остановимся на некоторых понятиях теории случайных процессов. Для этого необходимо ввести формализованное описание некоторых основных понятий этой теории.

Случайные величины могут быть прерывными (дискретными) и непрерывными. Соотношение, которое устанавливает зависимость между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения этой случайной величины. Последний может быть задан в различных формах.

Закон распределения дискретной случайной величины Х представлен в виде таблицы, первая   строка

n

которой содержит возможные значения Xi, а вторая — вероятности Рi, где å Pi       = 1.

i =1

 

Х

х1

х2

х3

хп

Р

р1

р2

р3

рп

 

 

Дискретную случайную величину можно задать аналитически в виде формулы

P( X = xi ) = f(xi )

 

(1)

 

и    изобразить   графически,   для     чего   в    прямоугольной  системе   координат   строят   точки

 

M1 (x1 , p1 ,)

 

M 2 (x2 , p2 ),  ...

 

Mn (xn , pn )

 

и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру  на-

 

зывают многоугольником распределения.

m

 

Существует биноминальный закон распределения дискретной случайной величины X, вычисляемый по формуле Бернулли:

 

Pk   (n)

 

= Cn Pnqm-n ,

 

(2)

 

где т — число испытаний; X = п — вероятность возможного значения (число п появления событий); g = 1-P, и распределение по закону Пуассона:

 

Pk   (n) =

 

lmel

,

m!

 

(3)

 

если число испытаний велико, а вероятность появления интересующего нас события Р в каждом испытании очень мала.

Самой общей формой задания закона распределения случайной величины является интегральная функция F (х), которая определяет вероятность того, что случайная величина X принимает значение меньше х, т.е.

 

F (x) = P( X < x).

 

(4)

 

В дальнейшем вместо термина «интегральная функция» будем пользоваться термином «функция распределения».

Основные свойства функции распределения следующие:

  • значения функции распределения принадлежат отрезку (0; 1)

0 £ F (x) £ 1;

 

  • функция распределения — функция неубывающая, т.е.

 

F (x2 ) ³ F (x1 ),

 

x2   > x1.

 

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X принимает значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a < X < b) = F (b) F (a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение Xi, равна нулю:

P( X = xi ) = 0.

Следствие 3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то

 

F (x) = 0;

 

x £ a;

 

F (x) = 1;

 

x ³ b.

 

Следствие 4. Справедливы следующие предельные соотношения:

 

lim F (x) = 0;

x® -~

 

lim F (x) = 0.

x® ~

 

Первая производная функции распределения называется плотностью распределения    вероятно-

 

стей и обозначается

 

f (x) :

 

F ¢(x) = f (x).

 

(5)

 

Часто функцию

 

f (x) называют дифференциальной функцией распределения вероятности.

 

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения. Плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (а, b) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью и прямыми аа' и bb' (рис.).

С каждым случайным процессом обычно связывают неслучайные функции, которые в то же время являются характеристиками распределения. К ним относятся математическое ожидание, дисперсия и моменты.

 

Математическим ожиданием случайного процесса называют неслучайную   функцию

 

M [x] , ко-

 

торая для дискретной случайной величины X является суммой произведений всех ее значений (xi) на их вероятности (Рi):

 

+~

M [x] = mx  = å xi Pi  ;

i =1

 

(6)

 

а для непрерывной случайной величины — интеграл от произведения ее значений xi  на плотность

 

распределения вероятностей

 

f (x) :

 

 

+~

M [x] = ò xi  f (x)dx,

-~

 

 

(7)

 

если значение этого интеграла конечно.

 

a                                           b

 

Рис. Кривая распределения

 

Геометрически математическое ожидание как непрерывной, так и дискретной случайной величины равно абсциссе центра тяжести площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс. Поэтому при симметрии кривой распределения относительно некоторой прямой, параллельной оси ординат, математическое ожидание совпадает с абсциссой точки пересечения этой оси симметрии с осью абсцисс.

Точка оси ОХ, имеющая абсциссу, равную математическому ожиданию случайной величины, называется центром распределения этой случайной величины. Для характеристики степени рассеива-

 

ния случайной величины вокруг ее математического ожидания выбран момент второго порядка  слу-

 

чайной величины Х относительно константы С    при

величины и выражаемый формулами:

 

C = M [x] , называемый дисперсией случайной

 

 

 

для дискретной случайной величины и

 

D[x] = M {[x M (x)]2 }

2

 

+~

 

(8)

 

D[x] = ò ( x M [x]) f (x)dx

-~

для непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ.

 

(9)

 

Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение

 

s[x] =

 

D[x].

 

(10)

 

Кроме среднего квадратического отклонения, для характеристики рассеивания используется коэффициент вариации

 

V =  s[ x] .

M [x]

 

(11)

 

Для более подробного описания распределения случайных величин используются моменты порядка К.

Начальный теоретический момент непрерывной случайной величины X определяется     равенст-

 

вом

 

nk  =

 

 

+~

ò xk  f (x)dx.

-~

 

(12)

 

Центральный теоретический момент порядка К непрерывной случайной величины X определяется равенством:

 

mk  =

 

+~

ò (x M [x])k  f (x)dx.

-~

 

(13)

 

Очевидно, что если

 

k = 1 , то

 

n1  = M [x],

 

m1  = 0; если

 

k = 2 , то  m2  = D[x] . Центральные моменты

 

выражаются через начальные моменты по формулам:

2

m2  = n2 n1 ;

3

 

m3  = n3 3n1 n2  + 2n1 ;

4             4               1     3               1     2               1

 

m   = n  4n n  + 6n2n  3n4 .

 

(14)

 

Так, центральный момент третьего порядка используется для характеристики асимметрии распределения. Коэффициент асимметрии равен:

 

A  = m3  .

k         s3

 

(15)

 

Центральный момент четвертого порядка служит для характеристики степени выпуклости кривой распределения, оцениваемый с помощью эксцесса

 

e   = m4  3.

 

(16)

 

k         s4

Все случайные величины подвержены тому или иному виду (закону) распределения, который характеризуется определенными значениями рассмотренных параметров. В таблице 1 приведена характеристика распределения случайных величин при различных видах распределения. При этом равномерное, нормальное, логарифмически нормальное, экспоненциальное и χ2-распределение характеризуют распределение непрерывных случайных величин, а распределение биноминальное и Пуассона

— дискретных случайных величин.

Значение законов распределения изучаемой информации необходимо для правильного выбора соответствующих математических методов и математического аппарата при исследовании в процессе экономического анализа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные характеристики распределения случайных величин

 

Т а б л и ц а  1

 

 

№ п/п

 

Характеристики распределения

 

Условные обозначения

Вид (закон) распределения

 

Равномерное

 

Нормальное

 

Логарифмически нормальное

 

Распределение

х2

Экспоненциальное

 

Биноминальное

 

Пуассона

1

Область значения случайной величины

 

Х

 

а, b

 

~, + ~

 

0, + ~

 

0, + ~

 

0, + ~

 

1, + ~

 

1, + ~

2

Плотность распреде-

 

   1  

2

    1      -( x a)

-(ln y -ln y ) 2

      1     l      2s 2

2  ps

       1       k -1              x

2          -

l  2

Г k ⎞2 k

⎜    ⎟

⎝ 2 ⎠ 2

 

ll -lx

n!Pm (1/ P)n m

 

(n m)!m!

lm

l -l

m!

 

ления (вероятность)

f (x), Pi

b a

l    2s

2  ps

3

Математическое ожидание

 

M (x)

b + a

 

2

 

a

s 2

a+

M [Y ] = l     2

 

k

 

l

 

nP

 

l

4

Среднеквадратическое отклонение

s x

b a

2  3

s

 

 

 

2

M [Y ls   1

 

2k

1

 

l

 

npq

 

l

5

Коэффициент вариации

 

Vx

    b a    

3(a + b)

s

a

2

l s    1

2

k

 

1

 

-

 

-

6

Коэффициент асимметрии

 

Ak

 

0

 

0

 

V 3  + 3V

y                   y

8

k

 

2

1 2P npq

  1

l

7

Коэффициент эксцесса

 

ek

 

-1,2

 

0

V 8  + 6V 6  + 15V 4 +

y                   y                       y

 

 

+ 16V 2

y

12

k

 

6

1 6 pq npq

1

l

k

 

Примечание. k — число степени свободы; Г

 

⎟ — гамма-функция; a, b, σ — параметры закона распределения; п — число факторов;

 

m — число наблюдений.

 

⎝ 2 ⎠

 

 

Кластерный анализ

Кластерный анализ — один из методов многомерного анализа, предназначенный для группировки (кластеризации) совокупности, элементы которой характеризуются многими признаками. Значения каждого из признаков служат координатами каждой единицы изучаемой совокупности в многомерном пространстве признаков. Каждое наблюдение, характеризующееся значениями нескольких показателей, можно представить как точку в пространстве этих показателей, значения которых рассматривали как координаты в многомерном пространстве [14–16].

Расстояние между точками р и q с k координатами определяется как

k

 

p,q

 

å   ip            iq

 

r    =        (x

i =1

 

x  )2 .

 

(17)

 

Основным критерием кластеризации является то, что различия между кластерами должны быть более существенны, чем между наблюдениями, отнесенными к одному кластеру, т.е. в многомерном пространстве должно соблюдаться неравенство

rp,q   < r1,2 ,

 

где r1,2

 

— расстояние между кластерами 1 и 2.

 

Так же как и процедуры регрессионного анализа, процедура кластеризации достаточно трудоемка, ее целесообразно выполнять на компьютере.

Дисперсионный анализ

При изучении экономического процесса, как правило, перед исследователем возникает проблема выбора наиболее существенных факторов, оказывающих влияние на результаты производственнохозяйственной и финансовой деятельности объекта. Большинство горноэкономических задач отличаются многообразием и сложностью взаимосвязей между горногеологическими, техническими, экономическими и другими факторами. Поэтому при решении задач с помощью экономического анализа в первую очередь необходимо установить роль каждого фактора в изучаемом процессе. Эту проблему успешно можно разрешить с помощью дисперсионного анализа [17–19].

В задачи дисперсионного анализа входят общая оценка действующего переменного фактора, сравнение его с другими факторами и выявление наиболее влияющих факторов, которые могут быть использованы для дальнейших исследований с помощью более сложных методов, например, регрессионного или корреляционного анализов. Следовательно, дисперсионный анализ позволяет определить влияние качественных факторов на изучаемый экономический показатель. Дисперсионный анализ требует, чтобы ошибки наблюдений имели нормальное распределение, а дисперсия наблюдений была постоянной.

Прежде чем рассмотреть сущность и практическое применение дисперсионного анализа, введем несколько дополнительных понятий. Выборочная средняя — это средняя величина случайной выборки из генеральной совокупности

 

Y  = 1

 

m

å yi ,

 

(18)

 

 

где m — количество наблюдений в выборке.

 

m i =1

 

Разность

 

yi  y

 

представляет собой отклонение i-го наблюдения от выборочного среднего.   Ме-

 

рой отклонения всей выборки от своего среднего называется выборочная дисперсия, которая равна сумме квадратов всех отдельных отклонений:

 

m -1

 

   1    m

D2  =             ( y

 

y )2 .                                                        (19)

 

b                         å   i

i =1

Выборочная средняя и выборочная дисперсия являются случайными величинами, поскольку наблюдения уi, на основании которых они установлены, взяты случайно. Эти величины являются главными характеристиками выборки при любом количестве случайных величин в выборке (табл. 1).

Сущность дисперсионного анализа заключается в следующем.

Имеется п серий выборок некоторого фактора по m наблюдений в каждой выборке, т.е.

 

{yij },

 

i = 1, n,

 

j = 1, m,

 

для которых составляется следующая таблица наблюдений, дополняемая выборочными средними и дисперсиями (табл. 2).

 

 

 

 

 

Наблюдения по различным выборкам и их статистическая характеристика

 

Т а б л и ц а  2

 

 

№ выборки

Наблюдения

Среднее

Дисперсия

1 выборка

y11 ,

y12 ,

...

y1m

y1

D2

1

2 выборка

y21 ,

y22 ,

...

y2m

y2

D2

2

3 выборка

y31 ,

y32 ,

...

y3m

y3

D2

3

п-я выборка

yn1 ,

yn 2 ,

...

ynm

yn

D2

n

 

D2

полн

Dˆ    2

ф

 

y

 

D0

ост

 

 

Кроме средней, по всем наблюдениям  y  и общей остаточной дисперсии

 

Sост

 

находится еще

 

факториальная дисперсия для средних значений в выборках относительно общего среднего:

n

 

ф

 

Dˆ          2   =   1        

 

åm( yi

 

y )2

 

(21)

 

n -1 i =1

и полная дисперсия по всем наблюдениям относительно общего среднего:

n     m

 

D2         =      1              ( y

 

y )2 .

 

(22)

 

 

n(m -1)

 

полн

 

åå   ij

i =1  j =1

 

Факториальная дисперсия является мерой разброса между выборками за счет фактора, а полная дисперсия характеризует полное рассеивание.

Механизм дисперсионного анализа раскрывается выражением

n

 

i

 

   1

ˆ 2

 

åm( y

 

y )2

 

F =  Dф

 

=      n -1 =1                                       .

 

(23)

 

i

2                        1       n     m

D                    åå y   y

 

(         )

 

ij

 

ост

 

2

n(m -1) i =1  j =1

 

В выражении (23) числитель учитывает разнородность выборки.

В случае отсутствия разнородности отклонения целых выборок от общего среднего только случайны, поэтому, как случайные ошибки, подчиняются нормальному распределению. Тогда числитель

 

ост

 

распределен по закону х2 с п-1 степенью свободы. Знаменатель  S 2

 

также распределен по закону х2 с

 

 

n(m -1)

 

степенью свободы. Следовательно, выражение

 

S 2

S

 

2

 

F =    ф      распределено по F-закону (Фишера)

ост

 

со степенями свободы

 

K = n -1 и  K = n(m -1) .

 

Если разнородность выборок имеет место, то ошибки выборок не распределены нормально и тогда выражение (23) не распределено по F-закону, числитель его имеет тенденцию к возрастанию. В

 

связи с этим свойством имеем следующий F-критерий: если

 

F £ Fa k1    и k, то материал выборок одно-

 

роден, если F > Fa, k1 и k2, то материал выборки разнороден. Здесь Fa, k1 и k2 — критические значения, установленные по таблице F-распределения для определенного уровня значимости a и соответствующих степеней свободы k1 и k2.

 

Однородность выборок означает, что средние значения генеральных    выборок

 

ni , выборочные

 

аналоги которых являются

 

yi  , равны между собой с близкой к 1 вероятностью (1-α).

 

Другими словами, с помощью F-критерия проверяется справедливость равенства

H : n1  = n2  = n3  = ... = nn ,

где H — гипотеза, учитывающая эффект от влияния v.

Метод корреляционного и регрессионного анализа

 

(24)

 

Метод корреляционного анализа является наиболее распространенным при исследовании взаимосвязи  производственных  факторов с экономическими  показателями. Корреляционный анализ по-

 

зволяет количественно оценить взаимосвязь между величинами в условиях, когда действует большое количество факторов, ряд из них неизвестен.

Корреляционный анализ дает возможность установить, как в среднем изменяется случайная величина с изменением одной или нескольких других случайных или неслучайных величин при фиксированном значении неучтенных факторов. Это особенно важно в изучении экономических явлений, поскольку при экономическом анализе практически невозможно учесть все действующие факторы.

В экономических исследованиях имеют место две формы связи: корреляционная и регрессионная. Две случайные величины являются корреляционно связанными, если математическое ожидание одной из них меняется в зависимости от изменения другой.

Однако не все факторы, влияющие на экономические явления, случайные величины. Поэтому в экономических исследованиях часто приходится рассматривать связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод их изучения — регрессионным анализом.

Регрессионный анализ тесно связан с корреляционным. В то же время, в отличие от корреляционного, он предъявляет менее жесткие требования к исходной информации. Проведение регрессионного анализа, например, возможно даже в случае некоторого отличия распределения случайной величины от нормального, что особенно важно, так как обычно распределения экономических показателей асимметричны.

Корреляционный анализ вместе с регрессионным позволяет решать три различные, но связанные между собой задачи: определять коэффициент корреляции, оценивающей силу связи между изучаемыми явлениями; рассчитать и построить уравнение регрессии, определяющее форму связи, и, наконец, с привлечением оценок достоверности определить реальность существования связи [20–24].

Исследование экономических явлений корреляционными методами анализа включает следующие этапы:

  • постановка задачи, экономический анализ объекта исследования, математическая формулировка задачи;
  • отбор важнейших факторов, определяющих объект и выбор их измерителей;
  • сбор исходной информации;
  • анализ и первичная обработка исходной информации;
  • построение, решение и оценка корреляционного уравнения или уравнения регрессии;
  • экономический анализ и интерпретация полученных результатов. К вопросам экономической постановки задачи относятся:

а) формулировка целей исследования: определяется ли влияние интересующих факторов на функцию или вначале выбираются главные факторы, а потом уже устанавливается их влияние;

б) решение вопроса об измерителях факторов и источниках первичной информации. Основанием для уравнений служат различные данные, в зависимости от того, где будут использованы математические уравнения — при оценке фактического уровня организации производства, в планировании или нормировании.

Решение любой экономико-математической задачи начинается с тщательного экономического анализа моделируемого объекта, где решается вопрос об измерителе функции. Математическая задача формулируется следующим образом: требуется найти аналитическое выражение, показывающее, как связаны между собой экономическое явление и определяющие его факторы, т.е. необходимо раскрыть характер и степень влияния аргументов на функцию:

 

Y = f (x1 , x2 , x3 ,..., xn ).

 

(25)

 

Отбор важнейших факторов, определяющих объект. Экономические явления по своей природе определяются многомерной системой различных факторов. Однако для изучения необходимо обособленное выделение влияющих на функцию факторов. Включать в уравнение большое количество факторов не всегда целесообразно, в ряде случаев невозможно, так как это осложняет расчеты и искажает их результаты. Поэтому необходим отбор основных, главных факторов, оказывающих существенное влияние на изучаемую функцию.

Задача заключается в нахождении такой формулы, которая при ограниченном числе факторов наилучшим образом отражала бы сложившиеся отношения между функцией и аргументами. Ограниченное число используемых факторов обосновывается основными положениями теории корреляции: влияние основных, главных факторов перекрывает и затушевывает слабое влияние на функцию остальных.

 

При отборе факторов решаются два вопроса: какие факторы могут оказать влияние на интересующий нас показатель и какие должны быть включены в исследование. Отбор факторов для включения в модель может быть выполнен логическим методом, дисперсионным анализом, с помощью рядов распределения, статистических группировок, сравнением парных коэффициентов корреляции.

К факторам, отобранным для включения в уравнение регрессии, предъявляются следующие требования: они количественно измеримы; ни один из них не находится в функциональной зависимости от другого; рассчитываются по данным существующей отчетности.

От тщательности сбора исходной информации и ее достоверности зависит конечный результат исследования. Сбор информации является одним из наиболее трудоемких и ответственных этапов.

Исходные данные должны быть:

а)  выражены количественно и однозначно;

б) достаточно однородны, т.е. требуется установить условия, в которых данные были накоплены, и случайные не нужно подвергать анализу. Под однородностью понимают экономическую однородность, когда исходные данные отражают типичные черты изучаемой совокупности;

в) достаточны по количеству, поскольку выводы, основанные на большом числе наблюдений, наиболее надежны.

Информацию необходимо получить такую, чтобы корреляционные формулы отражали закономерности, свойственные предприятиям в обычных (нормальных) условиях работы.

Выбор формы связи начинают с анализа процесса и разработки определенной гипотезы о свойствах подбираемой функции. Последняя должна отражать закономерности, присущие исследуемому экономическому явлению.

До математического расчета параметров следует установить связь между независимым показателем — фактором х и зависимой переменной у. Одной из первых задач корреляционного анализа является установление вида этой функции, т.е. отыскание такого корреляционного уравнения, которое наилучшим образом соответствует характеру изучаемой связи.

Для описания уравнения регрессии при экономическом анализе могут быть приняты линейная и нелинейная формы связи. Нелинейная форма связи наиболее подходит для описания сложных экономических процессов. Однако в ряде случаев может быть принята и линейная форма связи.

Методику выполнения регрессионного анализа рассмотрим на примере построения и оценки многофакторного регрессионного уравнения, имеющего степенную форму связи:

ai      ai          a

 

Y = A0 x1    x2  ...xn   ,

 

(26)

 

где A0 постоянный коэффициент уравнения регрессии; аi — коэффициент регрессии, отражающий степень влияния аргументов на функцию; Y — зависимая переменная (функция); х — независимая переменная (аргумент).

Эта форма связи, по мнению ряда экономистов, является удобной для исследования экономических показателей.

Для нахождения параметров степенной функции (постоянного коэффициента A0 и показателей степени при аргументах аi) используется метод наименьших квадратов. Сущность метода состоит в отыскании таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений зависимых переменных, вычисленных по искомой формуле, от их фактического значения, была бы минимальной, т.е.

 

N

å( y yˆ)2     = min,

i =1

 

(27)

 

где N — число объектов; зависимой переменной.

 

yˆ        — расчетное значение зависимой переменной; у — фактическое значение

 

Чтобы применить метод наименьших квадратов, необходимо уравнение (26) привести к   линей-

ному виду. Для этого надо прологарифмировать левую и правую части уравнения

 

ln Y = ln A0   + a1 ln x1  + a2 ln x2  + ... + an ln xn ,

произвести замену переменных в логарифмическом регрессионном уравнении

 

(28)

 

ln Y = z; ln Ao = ao ; ln x1 = u1 ; ln x2  = u2 ;

...............

ln xn  = un .

Тогда уравнение множественной регрессии (28) примет вид

z = ao  + au1    + au2   + ... + an¢un .

 

 

 

 

(29)

 

 

 

 

 

(30)

 

Логарифмы численных значений всех отобранных показателей подвергаются корреляционному анализу. В процессе анализа вычисляются следующие параметры:

  1. Определяются средние значения функций и факторов-аргументов:

    å z            åu

 

z =        ;

 

ui  =        .

 

(31)

 

N               N

  1. Среднеквадратические отклонения рассчитываются по формуле

s   =    å  i           i       .

 

 

(32)

 

(u )2

ui                             N

  1. Определение парных коэффициентов корреляции между каждой функцией и каждым фактором-аргументом и между самими факторами-аргументами осуществляется по формуле

N

å(ui  u j )(zi  zi )

 

rij   =

 

       i =1                                                             ,

 

(33)

 

 

 

где N — количество объектов, на материале которых строятся модели; i — индекс функции; j — порядковый номер аргумента.

Парные коэффициенты корреляции между функцией и всеми факторами-аргументами служат для выделения наиболее существенных факторов, определяющих функцию.

Парные коэффициенты корреляции между факторами-аргументами исчисляются по аналогичной формуле. Эти коэффициенты учитываются при выделении в формулу наиболее существенных факторов с тем, чтобы избежать включения в одну и ту же формулу родственных факторов с высокой теснотой связи между ними.

Для удобства использования парных коэффициентов корреляции их записывают в форме матрицы, представляющей собой таблицу (см. табл. 3).

 

 

 

 

Матрица парных коэффициентов корреляции

 

Т а б л и ц а  3

 

 

 

z

u1

u2

uj

z

1

rzu

1

rzu

2

rzu

j

u1

ru  z

1

1

ru u

1  2   

ru u

1   j

u2

r z  

2

ru  u

2  1   

1

ru  u

2   j

uj

r z  

j

ru  u

j  1

ru  u

j   2

1

 

Матрица парных коэффициентов является симметричной, т.е. коэффициенты выше и ниже диагонали, клетки ее заполнены единицами, между собой попарно равными:

 

rzu

 

= ru  z ;

 

rzu

 

= ru   z ;

 

ru u

 

= ru  u

 

и т.д.

 

1             1                  2             2                1  2             2  1

 

  1. Расчет среднеквадратической ошибки коэффициента корреляции ( s2 ) и надежности коэффициента парной корреляции ( m ) производится, соответственно, по формулам

2

 

s2  = 1 r ;

 

(34)

 

 

m=       .

1 r 2

При коэффициенте надежности m³ 2, 6 связь между признаками следует считать надежной.

  1. Определение коэффициентов множественной регрессии производится по формуле Крамера:

 

s

 

1

 

a¢ =sz  -

ui

 

Äzu1 ,

Äzz

 

(35)

 

а логарифма свободного члена уравнения регрессии по следующей формуле:

ln Ao   = z a1¢ ln u1  a2¢ ln u2  ... an¢ ln un .

  1. После нахождения всех параметров уравнения регрессии делается переход путем потенцирования его к степенному уравнению — формуле для расчета исследуемого экономического явления.

С целью оценки полноты влияния на функцию отобранных в модель наиболее существенных факторов-аргументов рассчитывается множественный коэффициент корреляции (R) между функцией

  • и отобранными факторами-аргументами:

 

R =                                                                               (37)

 

где Ä — определитель функции.

Близость множественного коэффициента корреляции к единице свидетельствует о том, что в полученную зависимость включены наиболее существенные факторы-аргументы.

Кроме того, для этой цели применяется множественный коэффициент детерминации: D=R2. Он показывает, какая доля колеблемости функции определяется колеблемостью вошедших в формулу показателей. Коэффициент детерминации может выражаться не только в виде коэффициента, но и в процентах.

Путем подстановки в полученную формулу численных значений входящих в них показателей по любому объекту исследуемой совокупности определяют величины расчетных значений и сравнением их с фактически достигнутыми оценивают полученные зависимости.

По приведенной методике все расчеты выполняются на электронно-вычислительной машине по специально разработанной программе.

Полученные многофакторные уравнения регрессии показывают, как в среднем изменяется изучаемый экономический показатель в связи с изменением учтенных факторов при среднем влиянии неучтенных.

Коэффициенты регрессии являются частными коэффициентами эластичности, они показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на один процент при фиксированном положении других аргументов. В случае, когда сумма коэффициентов регрессии больше единицы, зависимая переменная увеличивается в большей степени, чем факторы, влияющие на ее уровень, и наоборот, если сумма коэффициентов меньше единицы, зависимая переменная увеличивается в меньшей степени, чем факторы.

 

 

 

 

Оценка коэффициентов эластичности при нелинейной форме связи

 

Т а б л и ц а  4

 

Вид уравнения регрессии

Формулы для вычисления коэффициентов эластичности

1

2

Y = + a x + a x2 ;

o            1               2

Э = (+ 2a x) х ;

1               2         у

Y = a  xa1 ;

o

Э = a1;

Y =   ao x  ;

x + a1

Э =    aoа1      × х ; (x + a )2     у

1

 

 

1

2

Y = a+ a1  ln x;

Э = 1 ;

1  у

Y = a  -    a1       ;

o         x a

2

Э =      а1                        × х ; (x + a )2       у

2

Y = a  +    a1       ;

в         x a

2

Э = -      а1           × х ; (x a )2       у

2

Y = (x a2 ) ;

в   (x + a )

1

Э = ао (а1 + а2 ) × х ; (а  + a )2        у

o           1

 

Для экономической интерпретации нелинейных связей между функцией и одним из влияющих на нее факторов удобно пользоваться коэффициентом эластичности. Формулы вычисления эластичности для некоторых нелинейных функций сведены в таблице 4.

Матричный метод и его применение в сравнительном многомерном анализе

Матричные методы анализа основаны на линейной и векторно-матричной алгебре и применяются для изучения сложных и многомерных структур. Сферы применения матричного метода как метода экономического анализа многообразны, но наиболее широкое распространение получил метод для сравнительной оценки деятельности различных систем (предприятий, структурных подразделений и т.п.).

В результате сравнительного анализа определяется рейтинг анализируемых систем. Рассмотрим алгоритм применения матричного метода [25; 62–63].

Этап 1. Обоснование системы оценочных показателей и формирование матрицы исходных   дан-

 

ных

 

aij , т.е. таблицы, где по строкам отражаются номера систем (i = 1, 2,..., п), а по столбцам — но-

 

мера показателей (j = 1, 2,..., т).

Этап 2. В каждой графе определяется максимальный элемент, который принимается за единицу. Затем все элементы этой графы aij делятся на максимальный элемент эталонной системы тах аij и создается матрица стандартизованных коэффициентов xij.

Этап 3. Все элементы матрицы возводятся в квадрат. Если значимость показателей, составляющих матрицу, различна, тогда каждому показателю присваивается весовой коэффициент k, который определяется экспертным путем.

Рейтинговая оценка по каждой системе определяется по формуле:

 

Этап 4. Полученные рейтинговые оценки Rj размещаются в порядке убывания или возрастания, что зависит от экономического смысла показателей, составляющих рейтинг.

Результаты описанного сравнительного анализа могут применяться для определения инвестиционной привлекательности партнера, эмитента и для других целей.

 

Список литературы

  1. Прыкина Л.В. Экономический анализ предприятия: Учебник. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. — 360 с.
  2. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 1997. — 416 с.
  3. Анализ экономики. Страна, рынок, фирма: Учебник / Под ред. А.Е.Рыбалкина. — М.: Междунар. отношения, 1999. — 304 с.
  4. Любушкин Н.П. Теория экономического анализа: Курс лекций. — Нижний Новгород: НКИ, 1998. — 81 с.
  5. Зудилин А.П. Анализ хозяйственной деятельности предприятия развитых капиталистических стран. — Екатеринбург: Каменный пояс, 1992. — 224 с.
  6. Бороненкова С.А., Маслова Л.И., Крылов С.И. Финансовый анализ предприятий. — Екатеринбург: Изд-во Уральского гос.ун-та, 1997. — 200 с.
  7. Басовский Л.Е., Басовская Е.Н. Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности: Учеб. пособие. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 366 с.
  8. Соколова Г.Н. Информационные технологии экономического анализа (теория и практика). — М.: Экзамен, 2001. — 163 с.
  9. Френкель А.А. Прогнозирование производительности труда: методы и модели. — М.: Экономика, 1989. — 214 с.
  10. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие. — М.: ЮНИТИ, 1999. — 391 с.
  11. Резниченко С.С., Подольский М.П., Ашихмин А.А. Экономико-математические методы и моделирование в планировании и управлении горным производством: Учебник. — М.: Недра, 1991. — 429 с.
  12. Ричард Томас. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности: Пер. с англ. — М.: Изд-во «Дело и Сервис», 1999. — 432 с.
  13. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. — 407 с.
  14. Каренов Р.С. Моделирование и прогнозирование эффективности горного производства в рыночных условиях. — Караганда: ИПЦ «Профобразование», 2006. — 280 с.
  15. Ковалев В.В., Волкова О.Н. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. — М.: ПБОЮЛ М.А.Захаров, 2001. — 424 с.
  16. Ким Дж.-О, Мьюллер У.У., Клекка У.Р. и др. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ: Пер. с англ. — М.: Финансы и статистика, 1989. — 215 с.
  17. Ветров А.А., Ломовацкий Г.И. Дисперсионный анализ в экономике. — М.: Статистика, 1975. — 120 с.
  18. Барбаумов В.Е., Ермаков В.И., Кривенцова Н.Н. и др. Справочник по математике для экономистов. — М.: Высш. шк., 1987. — 336 с.
  19. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе.  — М.: Статистика, 1974. — 279 с.
  20. Гришин А.Ф., Кочерова Е.В. Статистические модели: построение, оценка, анализ: Учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 416 с.
  21. Сиськов В.И. Корреляционный анализ в экономических исследованиях. — М.: Статистика, 1975. — 168 с.
  22. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании: Учеб. пособие. — М.: Экономика, 1987. — 240 с.
  23. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 344 с.
  24. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — М.: Дело, 2000. — 440 с.
  25. Любушкин Н.П., Лещева В.Б., Дьякова В.Г. Анализ финансово-экономической деятельности предприятия: Учеб. пособие. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1989. — 471 с.
Фамилия автора: Р.Е.Косдаулетова
Год: 2009
Город: Караганда
Категория: Экономика
Получить доступ
Чтобы скачать её, вам необходимо зарегистрироваться.
Яндекс.Метрика