В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях — отстаивание интересов своего государства и т.п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности. Для указанных ситуаций (будем называть их конфликтными) характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой стороны, стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.
Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр. Таким образом, теория игр — это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д. [1, 2].
Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.
Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта. Отсюда игра — это упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам. Поэтому можно сказать, что игра — это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры. Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход. Исход игры — это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо аналитическим выражением, либо таблично (матрицей).
Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком. Стратегия — это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры. Всякая игра состоит из отдельных партий. Партией называют каждый вариант реализации игры определенным образом. В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы. Ход — это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения. Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует ту или иную чистую стратегию. Например, в шахматах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием какого- либо механизма случайного выбора, например, с применением таблицы случайных чисел.
Конфликтные ситуации, встречающиеся в практике, порождают различные виды игр. Классифицировать игры можно по разным признакам. Различают, например, игры по количеству игроков. В игре может участвовать любое конечное число игроков. Если при этом игроки объединяются, например, в две группы, преследующие противоположные цели, то имеет место игра двух «лиц» (парная игра). В зависимости от количества стратегий в игре они делятся на конечные или бесконечные. В зависимости от взаимоотношений участников различают игры бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения), или некооперативные, и коалиционные, или кооперативные. По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой и ненулевой суммами. В первых — общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи с чем сумма выигрышей равна нулю (проигрыш принимается как отрицательный выигрыш). В играх с ненулевой суммой сумма выигрышей отлична от нуля. Например, при проведении лотереи часть взноса участников идет организатору лотереи. По виду функции выигрыша игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и др. В матричных играх (при двух участниках) выигрыши первого игрока задаются матрицей, в биматричных — выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей. Другие типы таких игр различаются видом аналитического выражения платежной функции. По количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов). Многоходовые игры в свою очередь делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др. В зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной и неполной информацией.
Выше отмечалось, что в реальных конфликтных ситуациях каждый из игроков сознательно стремится найти наилучшее для себя поведение, имея общее представление о множестве допустимых для партнера ответных действий, но не ведая о том, какое же конкретное решение будет выбрано им в данный момент. В этом проявляется в равной мере неопределенность ситуации для каждого из партнеров. Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего результата, сознательно выбирая допустимые правилами игры способы действий, называют иногда стратегическими. Однако в экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином «природа» всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют иногда «статистиком», а соответствующую игру — статистической) приходится принимать решение. Например, выбор агрономической службой сельскохозяйственного предприятия участков для посева той или иной культуры в надежде получить в предстоящем году наилучший урожай; определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса; формирование пакета ценных бу
маг в расчете на высокие дивиденды и т.п. Здесь в качестве второго игрока выступает: в первом примере — в буквальном смысле природа; во втором — уровень спроса; в третьем — размеры ожидаемой прибыли.
В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает: если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то в статистических играх «природа», будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать и такие ответные действия (будем говорить: реализовать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).
Теория статистических игр, известная также под названием теории статистических функций принятия решений, была в основном создана А.Уолдом в пятидесятых годах ХХ в. Впоследствии выявились различные области приложения этой теории. Первостепенное значение среди них имеют две часто связанные друг с другом области. Это теория статистического оценивания и теория принятия чисто экономических решений.
Нами разработаны методические основы применения теории статистических игр к выбору участков земли под сельскохозяйственные культуры.
Работники сельского хозяйства часто сталкиваются с проблемой выбора в данном году наилучших участков земли под ту или иную культуру. Эту проблему также можно интерпретировать и решить в терминах теории статистических игр. Рассмотрим на примере проблему выбора оптимальных с учетом влажности участков для посадки картофеля. Известно, что для хорошего урожая картофеля требуется определенное количество влаги в почве в период вегетации. Серьезными последствиями чревата излишняя влажность, создающая возможность гниения посаженного картофеля и значительно сокращающая урожай. В период посадки картофеля, как правило, в апреле, трудно предсказать, будет ли лето сухим или влажным. Поэтому ежегодное решение о посадке картофеля на участках, которые являются сами по себе влажными или сухими, можно трактовать в терминах игры с природой.
Рассмотрим статистическую игру со следующей структурой. Обозначим множество состояний природы через Q = {Ө1, Ө2}, где Ө1 соответствует влажному лету с осадками выше нормы, а А — сухому лету с осадками не выше нормы. Обозначим множество решений статистика, представляющего сельскохозяйственное предприятие, через А = {а1, а2}, где а1 — решение о посадке картофеля на участках А1, характеризующихся большой влажностью почвы, а а2 — решение о посадке картофеля на сухих участках А2. Функцию потерь можно вычислить с учетом средних урожаев картофеля, которые можно получить на участках А1 и А2, в зависимости от летней погоды, т.е. состояния Ө1 и Ө2. В среднем наибольшие урожаи получаются при решении а2 и состоянии природы Ө1 (влажное лето), а наименьшие — при решении а1 и состоянии природы Ө1. Пусть прибыль на 1 га, зависящая от урожайности при различных состояниях природы и различных решениях, имеет следующие значения:
Решая проблему выбора участков земли, статистик имеет возможность получить дополнительную информацию о состоянии природы в результате наблюдения в апреле, когда производится посадка картофеля, погоды, которая будет стоять весной. Обозначим множество этих наблюдений через X = {х1, х2}, где х1 соответствует наблюдению большого количества осадков, а х2 означает, что весна характеризовалась малым количеством осадков. Многолетние наблюдения позволяют получить условные распределения:
Список литературы
- Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. — 407 с.
- Холод Н.И., Кузнецов А.В., Жихар Я.Н. и др. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие. — Минск: БГЭУ, 1999. — 413 с.