Задачи планирования на основе модели Леонтьева и построение экономико-математической модели МОБ

Планирование развития предприятия и планирование действующего производства

Одной из основных функций управления фирмами является планирование. Планирование — деятельность по подготовке управленческих решений.

На уровне предприятия методы планирования классифицируют по ряду признаков, к числу ос­новных из которых относятся:

а) временной признак;

б) направление хозяйственной деятельности;

в)  технологический этап производственной деятельности.

Сочетания значений перечисленных признаков на рисунке 1 указывают на необходимость нали­чия, как минимум, 72 алгоритмов, обеспечивающих процесс планирования в фирме [1; 60].

Совокупность этих алгоритмов (правил планирования) часто представляют в форме двух тесно взаимоувязанных подсистем:

• планирование развития предприятия (бизнеса);
• планирование действующего производства.

Планирование развития предприятия состоит из разработки стратегической концепции развития предприятия и разработки стратегического плана его развития.

При долгосрочном планировании используется иерархия целей и задач, приоритет которых мо­жет существенно отличаться для различных предприятий. В таблице 1 приведен пример приоритетов различных, наиболее часто встречающихся целей долгосрочных планов, используемых фирмами США, Японии и Великобритании.

Анализ таблицы 1 показывает, что во всех приведенных случаях наиболее важными целями дол­госрочного плана являются объем продаж, рост, прибыль и доля на рынке. Наибольшее распростра­нение в качестве показателей роста имеет объем продаж, в силу того, что он отражает объем ресур­сов, перерабатываемых фирмой, и является признанным показателем ее престижа на рынке.

Используемые (разрабатываемые) стратегические цели можно разделить [2; 268]:

• во-первых, на базовые и оперативные. Базовые цели определяют содержание долгосрочных планов, а оперативные — содержание среднесрочных и краткосрочных планов;
• во-вторых, на цели системы и цели участников. Целями системы применительно к таблице 1 являются рост продаж, прибыли и устойчивость. Целями участников могут быть: поддержание на определенном уровне занятости, уровень дивидендов и другие.

Составление двух планов стратегического развития компании (долгосрочного и среднесрочного) получило большую популярность в Японии. Однако сегодня такой подход воспринимается и исполь­зуется ведущими фирмами практически во всех рыночно ориентированных странах.

Процесс планирования развития предприятия обеспечивается утвержденной генеральным ди­ректором фирмы системой правил (методик), действие которых не должно пересматриваться на про­тяжении достаточно долгого периода времени (два-три года) и которые регламентируют решение во­просов:

• прогнозирования перспективных условий функционирования фирмы как бизнеса;
• оценки и целесообразности изменения правовой формы фирмы;
• оценки стоимости и эффективности фирмы как бизнеса;
• определения условий диверсификации (изменения направления) деятельности фирмы;
• определения стратегической концепции (целеполагания) развития предприятия, важнейшей составной частью которой должна являться стратегическая доктрина развития действующего производства;
• оценки и выбора наиболее эффективных бизнес-проектов развития действующего производст­ва.

Планирование действующего производства, в свою очередь, делится на [1; 65]:

а) календарное планирование, которое состоит из разработки годовых, сезонных, квартальных и месячных планов производства;

б) оперативное планирование, которое обеспечивает разработку плановых заданий производственным подразделениям на неделю, день, смену.

Исходя из сказанного систему планирования фирмы можно рассматривать так, как это представ­лено на рисунке 2, где выделены перечисленные выше уровни планирования: уровень 1 — планирование развития предприятия как бизнеса; уровень 2 — календарное планирование производства; уровень 3 — оперативное планирование производства.

Темными прямоугольниками на рисунке обозначены основные выходные документы, результи­рующие комплекс работ соответствующего уровня планирования, светлыми прямоугольниками ком­плексы работ, стрелками — логика и последовательность взаимосвязи работ.

В основе классификации видов планирования по уровням на рисунке 2 лежит временной при­знак. Уровень первый — это долгосрочное планирование (от 2-3 лет и свыше), уровень второй - ка­лендарное планирование (год, сезон, квартал, месяц), уровень третий — оперативное планирование (смена, день, неделя).

Использование линейной модели баланса в многоотраслевой экономике при планировании

На всех этапах планирования широко применяются экономико-математические модели.

Так, в многоотраслевой экономике при планировании используется линейная модель баланса (input — output model intersectoral balance), в которой учитывается двойственность отраслей как про­изводителей и одновременно потребителей своей продукции и продукции, вырабатываемой другими отраслями.

На основе такой линейной модели, называемой моделью Леонтьева (так называемая балансовая модель), можно делать расчеты различных вариантов планового баланса, исходя из заданного коли­чества конечного продукта общественного производства. Выбор наиболее подходящего варианта из возможных модификаций развития на плановый (прогнозный) период позволяет оптимизировать план [3; 120].

Необходимо отметить, что в основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод, т.е. взаимное сопоставление имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребно­стей в них. Если описывать экономическую систему в целом, то под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдель­ными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой про­дукции. При таком подходе рассматриваемая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт, одна часть которого потребляется другими объектами систе­мы, а другая выводится за пределы системы в качестве ее конечного продукта. Если вместо понятия «продукт» ввести более общее понятие «ресурс», то под балансовой моделью следует понимать сис­тему уравнений, которые удовлетворяют требованию соответствия наличия ресурса и его использо­вания.

Кроме приведенного ранее требования соответствия производства каждого продукта и потреб­ности в нем, можно указать такие примеры балансового соответствия, как соответствие наличия ра­бочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т. д. При этом соответствие понимается либо как равенство, либо — менее жестко — как достаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличие некоторого резерва. Важнейшими видами балансовых моделей являются, во-первых, частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей, во-вторых, межотраслевые ба­лансы [4; 52].

Таким образом, в основе плановых расчетов показателей развития отраслей народного хозяйства лежит система сводных народнохозяйственных и частных материальных и стоимостных балансов. Их разработка дает возможность составлять внутренние непротиворечивые планы производства и рас­пределения продукции.

Аналогичное положение и с рабочей силой, денежными средствами, услугами.

Одной из важнейших задач планирования является предупреждение возникновения диспропор­ций в развитии отраслей народного хозяйства. А это основано на выявлении определенных правиль­ных и сбалансированных пропорций их развития.

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции является результатом развития балансового метода анализа и планирования народного хозяйства. Межотраслевой баланс позволяет проверить сбалансированность народнохозяйственного плана, соблюдение установленных пропор­ций развития различных отраслей народного хозяйства, а также межотраслевых и внутриотраслевых пропорций [5; 39].

Кстати, с переходом к рыночной экономике в странах, в том числе нашей, остаются задачи регу­лирования экономики на основе общехозяйственных программ, в частности общенациональных про­ектов, которые вписываются в линейную модель межотраслевого баланса. Общегосударственное планирование отражает предпочтительные варианты развития общественного производства и страте­гические концепции социально-экономической политики страны. Такое планирование носит индика­тивный, т.е. рекомендательный характер, при котором показатели программ и баланса представляют собой, скорее, общие ориентиры, чем плановые задания, даже для государственных органов, не гово­ря уже о частных фирмах и концернах.

Впервые в бывшем Советском Союзе стали исследоваться отраслевые связи и с 1926 г. публико­ваться таблицы межотраслевого баланса (МОБ).

Математическая теория межотраслевого баланса была разработана позднее (1936 г.) Нобелев­ским лауреатом Василием Леонтьевым (американским экономистом русского происхождения). В це­лом эта работа В.В. Леонтьева высоко оценена во всем мире. Только перечень его титулов и наград составляет несколько страниц. Он почетный доктор более десятка университетов, в том числе Па­рижского (Сорбонны), Пенсильванского, Брюссельского, Ланкастерского, Йоркского, Тулузского, Будапештского им. Карла Маркса. В числе его наград орден Херувима (Италия), орден Почетного легиона (Франция), орден Восходящего солнца (Япония), Французский орден искусства и литерату­ры. В активе выдающегося экономиста десятки различных премий. Вершиной оценки его заслуг яв­ляется Нобелевская премия по экономике, которая присуждена ему в 1973 г. за разработку метода «затраты — выпуск» и за его применение при решении важных экономических проблем [6; 6].

На сегодняшний день в различных экономических районах Республики Казахстан практикуется составление модификаций межотраслевого баланса, в том числе балансов материальных, стоимост­ных и трудовых ресурсов. Кстати макромодели, разработанные в странах бывшего СССР, в совре­менных условиях могут найти лишь ограниченное использование, в силу того, что они отражают ус­ловия централизованной экономики. Что касается зарубежных разработок по макроэкономическому моделированию, то они, как правило, базируются на регрессионных методах и находят активное применение в условиях развитой рыночной экономики, отличающейся стабильностью экономических процессов и наличием длительных рядов сопоставимых статистических данных. Особые условия пе­реходной экономики, характеризующиеся отсутствием устойчивой динамики, а также наличием весьма узкой информационной базы в силу перехода национальной статистики на принятую в меж­дународной практике систему национальных счетов, предопределили рост актуальности группы де­терминированных моделей: модели межотраслевого баланса в системе национальных счетов, имита­ционные балансовые модели. В условиях нестабильной экономики значительно возрастает роль ме­тодов, позволяющих прогнозировать поворотные точки цикла — метод экономических индикаторов и индексов, а также экспертных методов прогнозирования.

Таблица 2

Таблица межотраслевого баланса описывает потоки товаров и услуг между всеми секторами на­родного хозяйства в течение фиксированного периода времени, скажем года. Упрощенный пример такой таблицы, описывающей трехсекторную экономику, представляет таблица 2.

Как видим, этими тремя секторами являются сельское хозяйство, совокупный годовой продукт которого составляет 100 бушелей пшеницы; промышленность, производящая 50 ярдов ткани, и сектор домашних хозяйств, который предлагает 300 человеко-лет труда. Девять (3x3) чисел, составляющих основное содержание таблицы, характеризуют межсекторные потоки. Из 100 бушелей продуктов, про­изводимых сельскохозяйственным сектором, 25 бушелей используются внутри него самого, 20 постав­ляются промышленности и поглощаются ею в качестве одного из ресурсов и 55 бушелей потребляются в секторе домашних хозяйств. Вторая и третья строки таблицы аналогичным образом описывают рас­пределение продукции двух других секторов.

Числа в каждом столбце таблицы описывают структуру затрат соответствующего сектора. Чтобы произвести 100 бушелей своего совокупного продукта, сельское хозяйство потребляет 25 бушелей своего собственного продукта, 14 ярдов продукции промышленности и 80 человеко-лет труда из сектора домашних хозяйств. Чтобы произвести 50 ярдов своего совокупного продукта, сектор промышленности должен получить и использовать 20 бушелей сельскохозяйственной и 6 ярдов своей собственной (т.е. промышленной) продукции, а также 180 человеко-лет труда из сектора домашних хозяйств. В свою очередь, сектор домашних хозяйств расходует доход, полученный за предложение 300 человеко-лет труда для оплаты потребления 55 бушелей сельскохозяйственных и 30 ярдов промышленных товаров, а также 40 человеко-лет непосредственных затрат труда.

Таблицы межотраслевого баланса и счета национального дохода

Хотя межсекторные потоки, представленные в таблице межотраслевого баланса, в принципе можно считать измеренными в физических единицах, на практике большинство таблиц составляется в стоимостных показателях. Таблица 3 представляет собой перевод таблицы 2 в стоимостные показа­тели, т.е. в обсуждаемом нами примере единицей измерения объемов товаров и услуг является их стоимость, показывая следующее потребление продукции:

• сельского хозяйства (200 денежных единиц) для своих нужд (50 ед.), в промышленности (40 ед.) и в домашних хозяйствах (110 ед.);
• промышленности (250 ед.) внутри этого сектора (30 ед.), в сельском хозяйстве (70 ед.) и в до­машних хозяйствах (150 ед.);
• домашних хозяйств (300 ед.) внутри самого этого сектора (40 ед.), в промышленности (180 ед.) и в сельском хозяйстве (80 ед.).

Эти данные сводятся в таблицу межотраслевого баланса (табл. 3).

Числа в строках таблицы показывают распределение продукции, произведенной в каждом сек­торе. В последних клетках строк (в крайнем правом столбце) — объем произведенной в секторах продукции, т. е. общий выпуск.

Данные в столбцах показывают продукцию, потребляемую в процессе производства секторами, в нижней строке — суммарные затраты секторов.

Здесь все секторы производящие, и они же потребляют всю продукцию. Это замкнутая модель межотраслевых связей. В ней затраты секторов (суммы столбцов) равны объемам произведенной продукции — суммам строк.

Таблица межотраслевого баланса описывает потоки товаров и услуг между секторами экономи­ки в течение промежутка времени, например года. Таблицу МОБ, выраженную в стоимостных пока­зателях, можно интерпретировать как систему национальных счетов (СНС).

В настоящее время таблицы МОБ на национальном уровне составляются примерно в 80 странах мира. В последнее время было составлено много межотраслевых балансов на уровне регионов и крупных городов. Число секторов, которые описывают экономическую систему, в последние годы существенно увеличилось. Некоторые из наиболее детализированных таблиц описывают националь­ную экономику в разрезе 500-600 отдельных секторов.

Матричное представление межотраслевого баланса

Балансовые модели строятся в виде числовых матриц — прямоугольных таблиц чисел. В связи с этим балансовые модели относятся к тому типу экономико-математических моделей, которые назы­ваются матричными. В матричных моделях балансовый метод получает строгое математическое вы­ражение [8; 15-17]:

1. Матричные модели представляют собой модели, представленные в виде таблиц (матриц). Эти модели находят широкое применение при решении плановых и экономических задач, обработке больших массивов информации.
2. Операции над матрицами изучаются в матричной алгебре, или алгебре матриц. Методы мат­ричной алгебры применяются в нормативных экономико-математических моделях, во многих разде­лах математической статистики, линейном программировании. Операции с матрицами не слишком громоздки. Матричную алгебру во многих случаях ценят именно за краткость, простоту и ясность.
3. Числа или другие величины, необходимые для решения задач с помощью матричного модели­рования, представляются в виде специальных таблиц или массивов чисел.

Матрица — это прямоугольная таблица чисел или других величин. Чаще других в матрицах ис­пользуются действительные числа (положительные, отрицательные или нули).

Пусть три инструментальных завода страны выпустили в 2013 г. продукцию трех наименований в определенном количестве, штук:

Содержательное значение каждой величины этого массива определяется ее местом в общем мас­сиве. Например, число 600 говорит о том, что завод № 3 выпустил в 2013 г. 600 фрез.

Записанный в круглых скобках массив чисел представляет собой матрицу. Такая форма записи чисел является весьма удобной для математической обработки.

4. Коэффициенты при неизвестных системы линейных уравнений также могут быть выделены в отдельную матрицу. Например, для системы уравнений

5. Матрицы коэффициентов — инструмент решения задач линейного программирования. Любое число такого массива называется элементом матрицы. Ряд чисел, расположенных в матрице горизон­тально, называется строкой матрицы, вертикально — столбцом.

Количество строк в матрице обозначается обычно m, количество столбцов — n. Когда в матри­це число строк равно числу столбцов, т.е. m = n, то такая матрица называется квадратной. Общие размеры матрицы определяются количеством строк и столбцов. Размерность матрицы определяется произведением m х n. Это произведение определяет общее число элементов в матрице. Размеры квадратной матрицы определяются величиной m, которая называется ее порядком.

Массив чисел как единое целое, т.е. матрицу, обычно обозначают прописной (большой) буквой, чаще других — А.

6. Для обозначения элементов матрицы необходима гибкая система. Число букв любого алфави­та может оказаться недостаточным, потому что матрица может включать сотни и даже тысячи эле­ментов. Наиболее приемлемой системой является буквенное обозначение чисел с использованием индексов. Если матрица обозначается прописной буквой, например А, то ее элемент — той же строч­ной (маленькой) буквой с индексами, например Ct_ij, где a — число, i — индекс строки, j — индекс столбца.

Индексы определяют место элемента матрицы в общем массиве чисел. Индекс строки всегда проставляется первым. Так как количество строк в матрице равно m, а количество столбцов — n, то, следовательно, индексы строк принимают целые значения от 1 до m, а индексы столбцов — от 1 до n. Если, например, количество строк в матрице 5, то их индекс (i) будет иметь значения: 1, 2,3, 4, 5. Если количество столбцов равно 3, то индекс j будет иметь значения: 1, 2, 3.

Матричную структуру имеют межотраслевой и межрайонный балансы производства и распреде­ления продукции в народном хозяйстве, модели развития отраслей, межотраслевые балансы произ­водства и распределения продукции отдельных регионов. Несмотря на специфику этих моделей, их объединяет не только общий формальный (матричный) принцип построения и единство системы рас­четов, но и аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структу­ру, содержание и основные зависимости матричных моделей на примере одной из них, а именно на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве. Данный баланс отражает производство и распределение общественного продукта в отраслевом разре­зе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, соз­дание и распределение национального дохода.

Рассмотренные нами выше табличные данные можно описать и проанализировать методами матричной алгебры.

Строки таблицы (матрицы) с производящими секторами имеют номера от i = 1 до i = n, где n— количество производящих секторов. Столбцы таблицы (матрицы) с потребляющими секторами нуме­руются от j = 1 до j = n, где n — количество потребляющих секторов, т.е. матрица является квад­ратной.

Адрес каждой клетки таблицы (матрицы) межотраслевого баланса состоит из номера строки и столбца.

Стоимость товара и услуг, производимых в секторе i и потребляемых в секторе j, обозначается b_ij. Стоимости продукции: сельского хозяйства, потребляемой в самом сельском хозяйстве, b₁₁ = 50, промышленности, потребляемой в сельском хозяйстве, b₂₁ = 70 и т.д. Вся матрица (табл.) межотрас­левого баланса обозначается 

 Баланс между совокупным выпуском и затратами в каждом секторе удовлетворяет системе уравнений 

Матрица межотраслевого баланса такого типа называется матрицей замкнутой модели «затраты — выпуск» Леонтьева, впервые описавшего ее в 1936 г.

Построение математической модели межотраслевого баланса

В открытой системе вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части:

а)  одна (промежуточный продукт) расходуется в производящих секторах;

б) другая (конечный продукт или конечный спрос) потребляется вне сферы материального производства — в секторе конечного спроса.

В качестве упрощенного примера в таблице 4 приведен стоимостный межотраслевой баланс для открытой экономической системы с четырьмя секторами — производственными (промышленность, сельское хозяйство, транспорт) и конечного спроса (домашние хозяйства).

В модели, описывающей экономику страны, сумма платежей производственных секторов в сек­тор конечного спроса образует национальный доход.

Для построения математической модели межотраслевого баланса вводятся следующие обозна­чения: x_i — объем выпуска в i -м секторе (стоимость товаров и услуг, произведенных в одном из n производящих секторов), i = 1,2,..., n; b_ij — стоимость продукта, производимого в секторе i и по­требляемого в секторе j; y_t — конечный продукт i -го сектора, т.е. объем продукции i -го сектора, расходуемый в секторе конечного спроса; a_tj = b_ij- / X_j — количество продукции i -го сектора, идущее на производство единицы продукции j -го сектора (это коэффициенты прямых затрат, именуемые еще технологическими коэффициентами).

В открытой системе межотраслевой баланс сводится к равенству объема выпуска каждого про­изводящего сектора суммарному объему его продукции, потребляемой производственными сектора­ми и сектором конечного спроса:

Уравнения (1) интерпретируются как поступления в сектор конечного спроса от каждого произ­водственного сектора части произведенной продукции, остающейся после удовлетворения потребно­стей производящих секторов.

Уравнения баланса в матричной форме

Для матричного представления уравнения баланса вводятся обозначения: X — вектор выпускаемой продукции с компонентами x₁, x₂,x_n;

Y — вектор спроса (конечного продукта) с компонентами y₁, y₂,y_n;

A — структурная матрица экономики (матрица прямых затрат, или технологическая матрица) с элементами (коэффициентами прямых затрат) a_y;

E — единичная матрица с основным свойством EX = XE = X, которая имеет вид

Уравнение баланса в матричной форме выражается как

(E - A ) X = Y.

Одна из задач состоит в том, чтобы для структурной матрицы в условиях баланса определить со­вокупный выпуск, удовлетворяющий заданный спрос. Предполагается, что:

при изменении спроса коэффициенты прямых затрат постоянны; имеется линейная связь между выпуском и затратами;

происходит пропорциональное изменение затрат всех производящих секторов при изменении выпуска хотя бы в одном секторе. Коэффициентами пропорциональности этой связи являются элементы структурной матрицы. Следовательно, линейная модель «затраты — выпуск» отражает связь выпуска со спросом и опреде­ляет совокупный выпуск в каждом секторе для удовлетворения изменившихся потребностей общест­ва посредством матричного уравнения (2). Если матрица Е - А обратима, то

X = (E - A)'¹ Y .

В обращенной матрице

  (3)

элементы d связаны с компонентами векторов X и Y:

Элемент d матрицы (3) показывает, на сколько возрастает выпуск в i -м секторе x при увели­чении на единицу конечного спроса у_i на продукцию j -го сектора. Матрица D называется матрицей полных затрат.

Условия удовлетворения вектора спроса

В экономической системе со структурной матрицей А спрос удовлетворяется, если для вектора спроса Y существует вектор выпуска

X = (E - A)^- Y,

все компоненты которого неотрицательны. Для этого необходимо выполнение условий Хаукинса-Саймона, состоящее в неотрицательности определителей:

Если все определители положительны, то система может удовлетворить вектор спроса Y.

Динамическая межотраслевая балансовая модель

Рассмотренные нами выше межотраслевые балансовые модели являются статическими, т.е. та­кими, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени. Эти модели могут разрабаты­ваться лишь для отдельно взятых периодов, причем в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отобра­жается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что, очевидно, вносит определен­ные упрощения и сужает возможности анализа.

К числу таких упрощений прежде всего следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях не анализируются распределение, использование и производственная эффективность капи­тальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного исполь­зования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в ко­нечный продукт.

В отличие от статических динамические модели призваны отразить не состояние, а процесс раз­вития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы [9; 254, 255].

Обычно в рассматриваемой динамической модели, являющейся развитием статической межот­раслевой модели, производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной про­дукции, исследуются их структура и влияние на рост объема производства. В основе построения мо­дели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции. Решение системы, как и в случае статической моде­ли, приводит к определению уровней производства, но в динамическом варианте, в отличие от стати­ческого, эти искомые уровни зависят от объемов производства в предшествующих периодах.

 Список литературы

1. МонаховА.В. Математические методы анализа экономики. — СПб.: Питер, 2002. — -76 с.
2. Гончаров В.И. Менеджмент: Учеб. пособие. — Минск: Мисанта, 2003. — 624 с.
3. Каплан А.В., Каплан В.Е., Мащенко М.В., Овечкина Е.В. Решение оптимизационных задач в экономике: Учеб. посо­бие. — Ростов-н/Д.: Феникс, 2007. — 54- с.
4. Федосеев В.В., Эриашвили Н.Д. Экономико-математические методы и модели в маркетинге: Учеб. пособие. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 200L — -59 с.
5. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании: Учеб. пособие. — М.: Экономика, -987. — 240 с.
6. Леонтьев В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты и политика: Пер. с англ. — М.: Политика, -990. —4-5 с.
7. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ. — М.: Экономика, -997. — 479 с.
8. Ларионов А.И., Юрченко Т.И. Экономико-математические методы в планировании: Учебник. — М.: Высш. шк., -984. — 224 с.
9. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие. — М.: ЮНИТИ, -999. — 39- с.