Синтез программных траекторий манипуляционного робота с применением интерполяционного полинома лагранжа

В настоящее время в мире интенсивно расширяются области исследований и использования мобильных роботов - мехатронных систем, базирующихся на последних достижениях механики, микропроцессорной техники, контрольно-измерительных систем, информатики и теории управления. Таким образом, создание совершенных система управления манипуляционных роботов является одним из приоритетных направлений робототехники и в Казахстане. Целью работы является разработка моделей и алгоритмов управления манипуляционным роботом. В работе была поставлена задача, провести синтез программных траекторий манипуляционного робота.

Исходя из выше изложенного, нами была создана модель манипуляционного робота (МР), имеющий три степени подвижности, первая (1) вращение вокруг оси OZ, вторая (2) и третья (3), вращение вокруг прямой линии параллельной плоскости OXY (рисунок 1). Обобщенные координаты,

в данном случае углы вращения, обозначим j1 , j2 , j3 .

Z                   3

l2                                         l

j2

-j3

3                  P

l            2

1                                                              Y

O

j1

1                      X

Рисунок 1

Для синтеза программной траектории определим условные размеры звеньев МР,  которые

равны

l1  = 3,

l2  = 6 ,

l3  = 4

дециметрам  соответственно.  Пределы  изменения  обобщенных

координат пусть будут следующими - 90

Š j1 Š 90

, 0 Š j2 Š 180

, 0 Š j3 Š 90 .

Пусть  требуется  выполнить  МР  движение  вдоль  окружности  радиуса

R = 2

дециметра,

расположенного на высоте l1  = 3 дециметра, перпендикулярно плоскости OXY. Центр окружности

расположен в точке с координатами

xO  = 7 ,

yO   = 0 ,

zO  = 3

дециметра соответственно.

Данную окружность зададим шестнадцатью точками окружности, которые представлены   на

рисунке 2.

Рисунок 2 – Заданная окружность, вдоль которой должен двигаться схват МР. Координаты шестнадцати точек задающих окружность (Рисунок 2) сведены в таблицу  1.

Таблица 1. Координаты точек заданной  окружности

Для определения закона изменения обобщенных координат по степеням подвижности МР, необходимо вначале решить обратную задачу кинематики. Для МР имеющего три степени подвижности обратная задача кинематики решается в аналитическом виде, при помощи следующих уравнений:

j1  = arctg( yp / xp );

ü

ï

ï

2          2           2            2                              2   ï

j   = arctg

z p  - l1

l2   - l3   + xp  + yp  + (z p  - l1 ) ï

± arccos                                        ;

2                                2            2

1|2

2            2                              2   1|2      ý

(1)

(xp  + yp )

2l2 [xp + yp + (z p  - l1 ) ]      ï

l 2  + l 2  - x2 - y 2  - (z

- l )2                                            ï

j   = ±[p - arccos 2          3

p            p

2l2l3

p         1       ].                                       ï

þï

В результате решения обратной задачи, получим значения обобщенных координат по степеням подвижности МР, которые сведены в таблицу  2.

Таблица 2. Значения обобщенных координат для позиционирования схвата в заданных точках окружности

Для проверки правильности результатов обратной задачи, решается прямая задача кинематики и сравниваются полученные точки позиционирования схвата МР с заданными точками окружности. В данном случае прямая задача кинематики решается при помощи следующих уравнений:

xp  = l2 cosj1 cosj2  + l3 cosj1 cos(j2  - j3 ); ü

ï

yp = l2 sin j1 cosj2 + l3 sin j1 cos(j2 - j3 );

z p  = l1 + l2 sin j2 + l3 sin(j2 - j3 ).

ý .                                   (2)

ï

þ

Далее  произведем  интерполяцию  значений  обобщенных   координат

j1,j2 ,j3

полиномами

Лагранжа. Рассмотрим подробно эту процедуру для первой обобщенной координаты

j1 . Зная

значения  обощенной  координаты  в  узловых  точках  составим  полином  Лагранжа  и определим

значения Li (t) в следующем виде: Координаты с1 по 9 точки:

é ( x - 2) × ( x - 3) × ( x - 4) × ( x - 5) × ( x - 6) × ( x - 7) × ( x - 8) × ( x - 9) ù×0 +

ë (1 - 2)×(1 - 3)×(1 - 4)×(1 - 5)×(1 - 6)×(1 - 7)×(1 - 8)×(1 - 9) û

+ é ( x - 1) × ( x - 3) × ( x - 4) × ( x - 5) × ( x - 6) × ( x - 7) × ( x - 8) × ( x - 9) ù×8.750 +

ë (2 - 1)×(2 - 3)×(2 - 4)×(2 - 5)×(2 - 6)×(2 - 7)×(2 - 8)×(2 - 9) û

é ( x - 1) × ( x - 2) × ( x - 4) × ( x - 5) × ( x - 6) × ( x - 7) × ( x - 8) × ( x - 9) ù

+

ë (3 - 1)×(3 - 2)×(3 - 4)×(3 - 5)×(3 - 6)×(3 - 7)×(3 - 8)×(3 - 9) û

é ( x - 1) × ( x - 2) × ( x - 3) × ( x - 5) × ( x - 6) × ( x - 7) × ( x - 8) × ( x - 9) ù

×14.0433  +

+

ë (4 - 1)×(4 - 2)×(4 - 3)×(4 - 5)×(4 - 6)×(4 - 7)×(4 - 8)×(4 - 9) û

×16.1974 +

+ é ( x - 1) × ( x - 2) × ( x - 3) × ( x - 4) × ( x - 6) × ( x - 7) × ( x - 8) × ( x - 9) ù

ë (5 - 1)×(5 - 2)×(5 - 3)×(5 - 4)×(5 - 6)×(5 - 7)×(5 - 8)×(5 - 9) û

é ( x - 1) × ( x - 2) × ( x - 3) × ( x - 4) × ( x - 5) × ( x - 7) × ( x - 8) × ( x - 9)  ù

×15.9534  +

+

ë (6 - 1)×(6 - 2)×(6 - 3)×(6 - 4)×(6 - 5)×(6 - 7)×(6 - 8)×(6 - 9) û

×13.0012  +

+ é ( x - 1) × ( x - 2) × ( x - 3) × ( x - 4) × ( x - 5) × ( x - 6) × ( x - 8) × ( x - 9)  ù×9.46712 +

ë (7 - 1)×(7 - 2)×(7 - 3)×(7 - 4)×(7 - 5)×(7 - 6)×(7 - 8)×(7 - 9) û

+ é ( x - 1) × ( x - 2) × ( x - 3) × ( x - 4) × ( x - 5) × ( x - 6) × ( x - 7) × ( x - 9)  ù×5.19706 +

ë (8 - 1)×(8 - 2)×(8 - 3)×(8 - 4)×(8 - 5)×(8 - 6)×(8 - 7)×(8 - 9) û

+ é ( x - 1) × ( x - 2) × ( x - 3) × ( x - 4) × ( x - 5) × ( x - 6) × ( x - 7) × ( x - 8)  ù×0

ë (9 - 1)×(9 - 2)×(9 - 3)×(9 - 4)×(9 - 5)×(9 - 6)×(9 - 7)×(9 - 8)  û

L (x) = 0 1

2(x) = 0,00173· x8 - 0,0746· x7 +1,3612·x6 -13,6849· x5 + 82,4865· x4 -

- 302,637· x3 + 651,2007· x2 - 733,675· x + 315,0215;

L  ( x) = -0,0097 · x 8 + 0,4096 · x 7 - 7,25,57 · x 6 + 70,392 · x5 - 405,882 · x 4 +

3

+ 1408,9 · x 3 - 2830 ,868 · x 2 + 2943,956 · x - 1179,642;

L  (x ) = 0,02249 · x 8 - 0,922 · x7 + 15,882 · x 6 - 149,061· x 5 + 827,1707 · x 4 -

4

- 2750,164 · x 3 + 5279 ,549 · x 2 - 5263,3516 · x + 2040 ,874;

5(x) = -0,0276· x8 +1,1078· x7 - 18,5569· x6 +168,951· x5 - 907,714· x4 +

+ 2920,027· x3 - 5439,139· x2 + 5284,5902· x - 2010,1384;

6(x) = 0,018· x8 - 0,704· x7 +11,484· x6 - 111,734· x5 + 532,128· x 4 -

-1670,4929· x3 + 3044,7028· x2 - 2907,5039· x + 1092,1016;

7 (x) = -0,0065· x8 + 0,2497· x7 - 3,9709 · x6 + 34,3314 · x5 - 175,661· x 4 +

+ 541,0197· x3 - 970,6166· x 2 + 915,4707· x - 340,8163;

8(x) = 0,001· x8 - 0,038· x7 + 0,592·x6 - 5,009· x5 + 25,017· x4 -

- 76,3607· x3 +135,3464· x2 -126,474· x + 46,773;

L (x) = 0;

Подобным образом определяем значение с 9 по 16 точки.

Тогда получим интерполяционный полином в следующем виде: Координаты с 1 по 9 точки

8

$1(x) := 0.0007·x

7

- 0.028·x

6

+ 0.463·x

5

- 4.185·x

4

+ 22.302 ·x

3

- 71.191·x

2

+  129.825· x

- 113.012 · x + 35.825

Координаты  с 9 по 16 точки

$1(x) := -0.0007·  8

+  0.028· 7

- 0.463· 6

+ 4.185·x5

- 22.302 · 4

+  71.191· 3

- 129.825·  2

+ 113.012 ·x - 35.825

Подобным образом можно получить интерполяционные полиномы и по другим обобщенным координатам:

Координаты с 1 по 9 точки

6                  5                  4                    3                    2

$2( x)  := - 0.00005 ·x8 +  0.002 ·x7 -  0.051 ·x

+  0.536 ·x

- 3.249 ·x

+  11.459 ·x

- 23.167 · x

+  23.856 · x + 32.044

Координаты с 9 по 16 точки

$2(x)  :=  0.003· 8

- 0.13·  7

+  2.310· 6

- 22.928·  5

+  138.667· 4

- 521.899·  3

+  1190.812 · 2

- 1500.616·x + 755.212

Координаты с 1 по 9 точки

7                  6                  5                    4                    3                     2

$3(x) := -0.000310 ·x8 + 0.0142·x

Координаты с 9 по 16 точки

- 0.259· x

+  2.569· x

- 14.917·x

+  51.452·x

- 103.554 ·x

+  105.444 ·x + 83.452

$3(x)  := 0.009·  8

- 0.379·  7

+  6.777· 6

- 67.571·  5

+  410.354· 4

- 1550.125·  3

+  3548.574· 2

- 4481.128·x + 2257.691

Полученные интерполяционные полиномы представляют собой программные траектории по степеням подвижности 3–степенного манипуляционного робота обеспечивающие движение схвата вдоль заданной окружности.

Выводы

Известными методами была решена обратная задача кинематики при позиционировании схвата робота в точках аппроксимирующих данную траекторию движения. Полученные результаты с учетом перемещении скоростей и ускорении аппроксимированы точками во временной оси. Далее полученные точки аппроксимированы интерполяционным полиномом Лагранжа по каждой степени подвижности.

1. Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А., Тимофеев А.Н. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. - М.: Высшая школа, –264 с.
2. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами. -М.: Наука, МГТУ, –400с.
3. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. -М.: Мир, 1989. –624с.