Задача о действи стационарной подвижной нагрузки на многослойную тонкостенную оболочку в упругом полупространстве

В настоящей работе решена задача о действии стационарной подвижной нагрузки произвольного профиля на подкреплѐнную тонкой многослойной круговой цилиндрической оболочкой полость, расположенную в упругом полупространстве. Движение слоев оболочки описывается классическими уравнениями теории тонких оболочек, а полупространства – динамическими уравнениями теории упругости в подвижной системе координат. Получено аналитическое решение задачи определения компонента напряженно-деформированного состояния массива при дозвуковых скоростях нагрузки. 

Рассмотрим бесконечно длинную круговую цилиндрическую многослойную тонкостенную оболочку, состоящую из N концентрических слоѐв с разными физико-механическими и геометрическими характеристиками, расположенную в линейно-упругом, однородном и изотропном полупространстве, отнесѐнному к подвижной декартовой x,y = z-ct или цилиндрической системе координат r= z-ct (рисунок 1). В силу малости толщины слоѐв оболочки полагаем, что они контактируют вдоль срединных поверхностей. Контакт между слоями оболочки и оболочки с окружающей еѐ упругой средой (массивом) полагаем жѐстким.

На внутреннюю поверхность оболочки действует движущаяся с постоянной скоростью с в направлении оси z нагрузка интенсивностью Р(θ ). Будем считать, что скорость движения нагрузки меньше скорости распространения волн сдвига в окружающей оболочку среде (дозвуковой случай), а граница полупространства свободна от нагрузок, то есть при x = h 

,

 

sxx=sxy=sxh=0

 

где σхj – компоненты тензора напряжений в среде, j = x, y, η.

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                          

 

Рисунок 1 – Многослойная оболочка в упругом полупространстве

 

Последовательно пронумеруем слои оболочки, присвоив контактирующему с массивом слою порядковый номер 1. Для описания движения k-го слоя воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек в подвижной системе координат [1], переписанными в виде

 

é(1-n)rcùuhk1-nu1+n0kuknkur

22                                                                             2                                2

 

ê1-0k

 

ú+0k0hk+ 0q+00

 

0k                                0

 

2             2 2

ë2m0kû¶h2Rk¶q2Rk¶h¶qRk

=

 

hk

 

1-n0k (q-q ),

 

2m0kh0k

 

hk-1

 

1+nu0hk(1-n0k)ær0kcö¶u0qkuqkur

2                                                   22                                                 2

0k                             +ç1-÷+0+0

2R¶h¶q2çm÷¶h2R2¶q2R

k                                           è0kø                                                           k                       k

=

 

qk

 

1-n0k (q-q ),

 

2m0kh0k

 

qk-1

 

(2)

 

nu0h1u0qh022 (1-n0)r0cu0u0

2                                                           22

 

0k k                          k k

 

kk                              rkr

 

++Ñu+                                                                                                                                                       +

R¶hR2¶q102rk2m¶h2 2

k                    k                                                                            0k                                                                          k

-

 

=1-n0k (q-q ),

 

2m0kh0k

 

rk r-k1

 

 

где k = 1, 2,…N; v0k, μ 0k, p 0k и h0k – коэффициент Пуассона, модуль сдвига, плотность и толщина k-го слоя;

u0jk и qjk, qjk-1 – соответственно перемещения точек срединной поверхности k-го слоя и составляющие

r=R

 

qj0 =srj

 

реакции смежных слоѐв (j = η, θ, r), при k = 1;                                                                                       1

 

– составляющие реакции окружающей

 

оболочку среды, при k = N qjN = Pj(θ, η); Pj(θ, η) – составляющие интенсивности подвижной нагрузки P(θ, η); 2– оператор Лапласа.

Для описания движения массива используем динамические уравнения теории упругости

(M-2-M-2)gdru+aiM-2vÑd2u=¶2u

 

p s                                    s

 

.                                              (3)

 

 

Здесь Mp = c/cp, Ms = c/cs – числа Маха, cp = [(λ + 2 μ)/p]1/2, cs = (μ / p)1/2 – скорости распространения волн расширения – сжатия и сдвига в массиве, λ = 2 μ v/(1–2 v); v, μ, p – коэффициент Пуассона, модуль сдвига, плотность среды; u – вектор смещения среды.

Вектор u можно выразить через потенциалы Ламе [2]

u=gjr+ra(jode)+trro(joet

 

1              2h

 

3h,                                                   (4)

 

 

которые, как следует из (3) и (4), удовлетворяют уравнениям

 

Ñ2j=M2¶2j¶h2,j=1,2,

 

j            j          j

 

,                                                             (5)

 

 

где М1 = Мp, М2 = М3 = Мs.

Применив к (5) преобразование Фурье по η, получим

 

Ñ2j*-m2x2j*=0,j=1,2,

 

2j           j          j

 

,                                                             (6)

 

¥

j*(r,q,x)=òj(r,q,h)e-ixdh

 

Ñ

 

j                                   j

где                        -¥

 

, mj = (1 – M 2)1/2,

 

2

j

 

2 – двумерный оператор Лапласа.

 

Выразив компоненты напряжѐнно-деформированного состояния (НДС) среды через потенциалы

Ламе и применив преобразование Фурье по η, можно получить выражения для трансформант

 

i

 

перемещений u*

 

и напряжений σ*

 

в декартовой (l = x,y,η, m = x,y,η) и цилиндрической (l = r,θ,η,

 

ij

 

j

 

m = r,θ,η) системах координат как функции от φ* .

В дозвуковом случае Ms < 1, и решения (6) можно представить в виде

 

 

*            (1)

 

(2)

 

jj =Fj

 

+Fj

 

.                                                                        (7)

 

F(1)=åaK(kr)eiqn F(2)=òg(xz)(iz+yx-hz2+k2)

 

¥

 

j                       njn j

 

¥

j                 j ,ex(p)                            j

 

Здесь

 

n=-¥

 

,               -¥                                                                                                                                                                                 ,

 

 

Kn(kjr) – функции Макдональда, kj=mjξ; gj,ζ), anj – неизвестные функции и коэффициенты, подлежащие определению, j = 1,2,3.

Как показано в [3], представление потенциалов в форме (7) приводит к следующим выражениям для трансформант потенциалов в декартовой системе координат:

 

¥é-xj f¥                                                       ù

*        e                                    (x-h)f iy

j=òê åaF+g(x,z)ejúez

 

2f

 

j                                      nnj jj

-¥êëjn=-¥

 

ûú ,                                                      (8)

 

n

æz+fö

 

f=z2+k2,F=ç

 

j÷, j=1,2,

 

k

 

j

где

 

j             njç       ÷

èj ø

 

 

Воспользуемся переписанными для трансформант граничными условиями (1), с учѐтом (8). Выделяя коэффициенты при eiyζ и приравнивая, в силу произвольности y, их нулю, получим систему трѐх уравнений, из которой выражаем gj(ξ,ζ) через коэффициенты anj:

 

13                                           ¥

g(x,z)=åD*e-hkåf aF

 

D

 

j                        *          jk k=1

 

nkn

n=-¥ .                                                                      (9)

 

 

 

jk

 

Вид определителя D* и алгебраических дополнений D*

 

совпадает с аналогичными определителями

 

для неподкрепленной полости в упругом полупространстве и определѐн в [3]. В частности, здесь D* – это определитель Рэлея, который в данном случае имеет вид

 

D*(x,z)=(2r2-M2x2)2-4r2r2-M2x2r2-M2x2,r2=x2

*2                      **1 *2 *                                                ,

 

и не обращается в ноль при любых ζ, если скорость бегущей нагрузки меньше скорости рэлеевской волны

z=±z*=±xM2-1,M=c/c

 

в полупространстве (cR). В противном случае в точках

в ноль, и интегралы в формуле (8) становятся расходящимися.

 

R               R               , он обращается

 

Пусть C < CR. В этом случае все подынтегральные функции в (7) непрерывны и экспоненциально стремятся к нулю на бесконечности. С учетом (9), формулы (8) имеют вид

 

 

¥ée-xj ¥f

 

3D*                  ¥ ù

 

j*=òêåaF+e(-hxjå)jfek-hkåfaei

 

j                                       nnj j

 

*                   nnkk

 

-¥êë2fjn=-¥

 

k=1Dn=-¥úû .                                                        (10)

 

 

Для определения неизвестных коэффициентов anj найдем представление (7) в цилиндрической системе координат.

¥

n

 

exikcpqro)=(åsinJ(k)eirq

 

Воспользовавшись известным разложением

 

n=-¥

 

[4], получим

 

 

 

(            )¥

 

                      n

æz+z2+k2ö 2

 

n

 

eiz+xy(x-h)pz2+k2=åI(k)einr

 

÷e-hz+

 

n=-¥ç k÷

 

 

Тогда

 

è             ø       .

 

¥æ                                                 ¥                                       ö

j*=åçaK(kr)+I(krg(x,z)Fe-hjdfi

 

j              çnnjj                                         nj                            j

 

nj ÷

 

n=-襠                                          -¥                                        ø.

 

Подставляя в последнее выражение из (9) gj(ξ, ζ), имеем

 

¥

 

j*=å(aK(kr)+bI(kr))ei

 

 

3 ¥                                           ¥D*

 

j                    nnj j

n=-¥

 

nnj j

 

,                                                 (11)

 

mk jk

 

-h(f+f)

 

bnj

 

amAknj

 

nj òD*

 

mnk j

 

где

 

=åå

k=1m=-¥

 

m A=

,              -¥

 

FFek jd

.

 

i,

 

σ

 

в

 

ij

 

Подставляя (10) и (11) соответственно в выражения для трансформант НДС среды u*                               *

декартовых и цилиндрических координатах, получим для них новые выражения, где неизвестными будут только коэффициенты anj.

Определим эти коэффициенты из граничных условий на поверхности полости, допуская, что, в силу

малости толщины оболочки, Rk = R, где R – радиус поверхности полости, k = 1, 2,…N. По этой же причине и исходя из условия жѐсткого сцепления слоѐв оболочки и последней с массивом, принимаем

 

 

u0jk=u0j,k=1,2,.N.,j.=h

 

,q,

 

(12)

 

 

Тогда граничные условия на поверхности полости будут иметь такой же, как в [1] вид

 

 

 

 

Или

 

uj r=R =u0j ,

*                     *

 

j =h,q,r .

 

 

 

 

¥

u*(q,x)=òu(q,h)e-ixdh

 

uj r=R =u0j ,

 

j =h,q,r ,                                                             (13)

 

0j                                                    0j

где                    -¥                                                                    .

Применяя к (2) преобразование Фурье по η и разлагая функции перемещений точек срединной поверхности оболочки и нагрузок в ряды Фурье по θ, для n-го члена разложения получим

e2u+nnxu-2inxu=G(q-q

 

1k0nh0k200nq

 

0k00nr0knhk nhk-1

 

2

 

n0knx20u0nh+e2ku0nq-2i0nn=Gr0ku(qnqk-qnqk-1

2

 

2in0kx0u0nh+2i0nnq+e3ku0n=Gr0k(qn-rqnk-

 

(14)

 

,

 

e2=a2-e2,e2=b2-e2,e2=g2-e2,x=

где k = 1, 2,…, N; 1k 0k0k2k 0k0k3k 0k0k                                                                                                                 0

 

 

222 2,2

 

222,22(22)2,2                                                                                  2

 

2

 

a0k=x0+n0knb10k=n0kx0+1ng0k=ckx0+n+e0k=n0kx0s

mh2                                                                                                       n

n=1-n,n=1+n,M=c/c,c=0k,c2=0k,G=-0k

 

0k10k0k20ks0k s0ks0k

 

k20k

 

r0k

*

 

6Rm0k

¥

qm(qk,x)=òq(q,h)ed

 

u0nm ,

 

qnmk -

 

соответственно коэффициенты разложения

 

*

u0m (q,x) и

 

-ixh

mk

 

в ряды Фурье по угловой координате θ (m=η, θ, r).

Если разделить обе части уравнений (14) на G0k и произвести суммирование систем этих уравнений по k от 1 до N, то можно получить вместо k систем уравнений – одну, подобного [1] вида

eu+nnxu-2inxu=P-q

 

2

10nh0200nq             000nrnhnh0

2                        -1

 

n0nx20u0nh+e2u0nq-2i0nu0n=GrPnq-qnq0

 

(15)

 

-1                       2

2in0x0u0nh+2in0u0nq+Ge3u0n=rPn-qrn,

N                                              N                                               N                                               N

k         2  å2              0                     å            å

2                  2                        2                   2                         2                   2

 

e1 =åe1k G0 , e =

 

ek Gk, e3 =

 

e3k G0k, n0=

 

n0k G0k,

 

где

 

k=1

 

k=1

 

k=1

 

k=1

 

N

n02=ån0k2 G0k,

 

N

å1 0k.

 

 

 

k=1

 

G-1=              G

0

 

k=1

 

 

Разрешая (15) относительно u0, u0, u0nr, находим

 

13

 

u0nh= ådhj(Pnj-qnj0)

dnj=1

13

 

u0nq= ådqj(Pn-jqn0)j

dnj=1

13

 

u0n=r

 

ådr(jPn-jqn0j

 

dnj=1                                                                      .

 

d=d=(

 

e)-(ex)-(ex)-(ex)+2x1x2

 

2             2               2              2

 

Здесь

 

nn 123 11 22 33

 

h1 23  1h21233h3  221

 

d=(e)2-x2,d=x-xe2,d=i(e2x-x

d=d,d=(e)2-x2,d=i(e2x-x

 

q1 h2 q2 13

 

2 q3

 

1123

 

d=-d,d=-d,d=(e)2-x2

 

r1 h3 r2

 

q3 r3 12 3

 

x=2n-1,Gx=2nx,x=nx

1            0       2       00  3 002,

 

для Pnj и qnj0 индекс j = 1 соответствует индексу η, j = 2 – θ, j = 3 – r.

Подставляя в (13) соответствующие выражения и приравнивая коэффициенты рядов при einθ, получим

бесконечную систему линейных алгебраических уравнений с определителем нормального типа для определения коэффициентов anj, для решения которой можно использовать метод последовательных отражений [1].

После определения коэффициентов anj, используя обратное интегральное преобразование Фурье, можно вычислить компоненты НДС среды в декартовой и цилиндрической системах координат. При этом для вычисления интегралов Фурье можно использовать любой численный метод, если определитель полученной для граничных условий (13) системы уравнений не обращается в ноль, то есть если скорость движения нагрузки меньше значений еѐ критических скоростей [1].

 

Литература

  1. Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Динамика упругого полупространства с подкрепленной цилиндрической полостью при подвижных нагрузках // Междун. науч. журнал «Прикладная механика». – Киев: Изд-во НАН Украины, 2009. – Т. 45. – № 9. – С. 75-85.
  2. Гузь Л.И., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наукова думка, 1978. – 308 с.
  3. Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А. Динамика тоннелей и подземных трубопроводов. – Алма-Ата: Наука Казахской ССР, 1989. – 240 с.
  4. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. – М.: Изд. иностр. лит. 1960. – Т.2.- 886 с.
Фамилия автора: В.Н. Украинец,  М.К. Бейсембаев, С.Р. Гирнис, А.К. Тлеулесов
Год: 2011
Город: Павлодар
Получить доступ
Чтобы скачать её, вам необходимо зарегистрироваться.