В настоящей работе решена задача о действии стационарной подвижной нагрузки произвольного профиля на подкреплѐнную тонкой многослойной круговой цилиндрической оболочкой полость, расположенную в упругом полупространстве. Движение слоев оболочки описывается классическими уравнениями теории тонких оболочек, а полупространства – динамическими уравнениями теории упругости в подвижной системе координат. Получено аналитическое решение задачи определения компонента напряженно-деформированного состояния массива при дозвуковых скоростях нагрузки.
Рассмотрим бесконечно длинную круговую цилиндрическую многослойную тонкостенную оболочку, состоящую из N концентрических слоѐв с разными физико-механическими и геометрическими характеристиками, расположенную в линейно-упругом, однородном и изотропном полупространстве, отнесѐнному к подвижной декартовой x,y,η = z-ct или цилиндрической системе координат r,θ,η= z-ct (рисунок 1). В силу малости толщины слоѐв оболочки полагаем, что они контактируют вдоль срединных поверхностей. Контакт между слоями оболочки и оболочки с окружающей еѐ упругой средой (массивом) полагаем жѐстким.
На внутреннюю поверхность оболочки действует движущаяся с постоянной скоростью с в направлении оси z нагрузка интенсивностью Р(θ,η ). Будем считать, что скорость движения нагрузки меньше скорости распространения волн сдвига в окружающей оболочку среде (дозвуковой случай), а граница полупространства свободна от нагрузок, то есть при x = h
|
sxx=sxy=sxh=0
где σхj – компоненты тензора напряжений в среде, j = x, y, η.
Рисунок 1 – Многослойная оболочка в упругом полупространстве
Последовательно пронумеруем слои оболочки, присвоив контактирующему с массивом слою порядковый номер 1. Для описания движения k-го слоя воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек в подвижной системе координат [1], переписанными в виде
é(1-n)rcù¶uhk1-n¶u1+n0k¶uknk¶ur
22 2 2
ê1-0k
ú+0k0hk+ 0q+00
0k 0
2 2 2
ë2m0kû¶h2Rk¶q2Rk¶h¶qRk¶
|
|
1-n0k (q-q ),
2m0kh0k
hk-1
1+n¶u0hk(1-n0k)ær0kcö¶u0qk1¶uqk1¶ur
2 22 2
0k +ç1-÷+0+0
2R¶h¶q2çm÷¶h2R2¶q2R2¶
k è0kø k k
|
|
1-n0k (q-q ),
2m0kh0k
qk-1
(2)
n¶u0h1¶u0qh022 (1-n0)r0c¶u0u0
2 22
0k k k k
kk rkr
++Ñu+ +
R¶hR2¶q102rk2m¶h2 2
k k 0k k
|
=1-n0k (q-q ),
2m0kh0k
rk r-k1
где k = 1, 2,…N; v0k, μ 0k, p 0k и h0k – коэффициент Пуассона, модуль сдвига, плотность и толщина k-го слоя;
u0jk и qjk, qjk-1 – соответственно перемещения точек срединной поверхности k-го слоя и составляющие
|
qj0 =srj
реакции смежных слоѐв (j = η, θ, r), при k = 1; 1
– составляющие реакции окружающей
оболочку среды, при k = N qjN = Pj(θ, η); Pj(θ, η) – составляющие интенсивности подвижной нагрузки P(θ, η); 2– оператор Лапласа.
Для описания движения массива используем динамические уравнения теории упругости
(M-2-M-2)gdru+aiM-2vÑd2u=¶2u¶
p s s
. (3)
Здесь Mp = c/cp, Ms = c/cs – числа Маха, cp = [(λ + 2 μ)/p]1/2, cs = (μ / p)1/2 – скорости распространения волн расширения – сжатия и сдвига в массиве, λ = 2 μ v/(1–2 v); v, μ, p – коэффициент Пуассона, модуль сдвига, плотность среды; u – вектор смещения среды.
Вектор u можно выразить через потенциалы Ламе [2]
u=gjr+ra(jode)+trro(joet
1 2h
3h, (4)
которые, как следует из (3) и (4), удовлетворяют уравнениям
Ñ2j=M2¶2j¶h2,j=1,2,
j j j
, (5)
где М1 = Мp, М2 = М3 = Мs.
Применив к (5) преобразование Фурье по η, получим
Ñ2j*-m2x2j*=0,j=1,2,
2j j j
, (6)
¥
j*(r,q,x)=òj(r,q,h)e-ixdh
|
j j
где -¥
, mj = (1 – M 2)1/2,
2
|
2 – двумерный оператор Лапласа.
Выразив компоненты напряжѐнно-деформированного состояния (НДС) среды через потенциалы
Ламе и применив преобразование Фурье по η, можно получить выражения для трансформант
|
перемещений u*
и напряжений σ*
в декартовой (l = x,y,η, m = x,y,η) и цилиндрической (l = r,θ,η,
|
|
m = r,θ,η) системах координат как функции от φ* .
В дозвуковом случае Ms < 1, и решения (6) можно представить в виде
* (1)
(2)
jj =Fj
+Fj
. (7)
F(1)=åaK(kr)eiqn F(2)=òg(xz)(iz+yx-hz2+k2)
¥
j njn j
¥
j j ,ex(p) j
Здесь
n=-¥
, -¥ ,
Kn(kjr) – функции Макдональда, kj=mjξ; gj(ξ,ζ), anj – неизвестные функции и коэффициенты, подлежащие определению, j = 1,2,3.
Как показано в [3], представление потенциалов в форме (7) приводит к следующим выражениям для трансформант потенциалов в декартовой системе координат:
¥é-xj f¥ ù
* e (x-h)f iy
j=òê åaF+g(x,z)ejúez
|
j nnj jj
-¥êëjn=-¥
ûú , (8)
n
æz+fö
f=z2+k2,F=ç
j÷, j=1,2,
|
j
где
j njç ÷
èj ø
Воспользуемся переписанными для трансформант граничными условиями (1), с учѐтом (8). Выделяя коэффициенты при eiyζ и приравнивая, в силу произвольности y, их нулю, получим систему трѐх уравнений, из которой выражаем gj(ξ,ζ) через коэффициенты anj:
13 ¥
g(x,z)=åD*e-hkåf aF
|
j * jk k=1
nkn
n=-¥ . (9)
|
Вид определителя D* и алгебраических дополнений D*
совпадает с аналогичными определителями
для неподкрепленной полости в упругом полупространстве и определѐн в [3]. В частности, здесь D* – это определитель Рэлея, который в данном случае имеет вид
D*(x,z)=(2r2-M2x2)2-4r2r2-M2x2r2-M2x2,r2=x2
*2 **1 *2 * ,
и не обращается в ноль при любых ζ, если скорость бегущей нагрузки меньше скорости рэлеевской волны
z=±z*=±xM2-1,M=c/c
в полупространстве (cR). В противном случае в точках
в ноль, и интегралы в формуле (8) становятся расходящимися.
R R , он обращается
Пусть C < CR. В этом случае все подынтегральные функции в (7) непрерывны и экспоненциально стремятся к нулю на бесконечности. С учетом (9), формулы (8) имеют вид
¥ée-xj ¥f
3D* ¥ ù
j*=òêåaF+e(-hxjå)jfek-hkåfaFúei
j nnj j
* nnkk
-¥êë2fjn=-¥
k=1Dn=-¥úû . (10)
Для определения неизвестных коэффициентов anj найдем представление (7) в цилиндрической системе координат.
¥
|
exikcpqro)=(åsinJ(k)eirq
Воспользовавшись известным разложением
n=-¥
[4], получим
( )¥
n
æz+z2+k2ö 2
|
eiz+xy(x-h)pz2+k2=åI(k)eiqçnr
÷e-hz+
n=-¥ç k÷
Тогда
è ø .
¥æ ¥ ö
j*=åçaK(kr)+I(kr)òg(x,z)Fe-hjdz÷fi
j çnnjj nj j
nj ÷
n=-è¥ -¥ ø.
Подставляя в последнее выражение из (9) gj(ξ, ζ), имеем
|
j*=å(aK(kr)+bI(kr))ei
3 ¥ ¥D*
j nnj j
n=-¥
nnj j
, (11)
mk jk
-h(f+f)
bnj
amAknj
nj òD*
mnk j
где
=åå
k=1m=-¥
m A=
, -¥
FFek jd
.
|
|
|
|
Подставляя (10) и (11) соответственно в выражения для трансформант НДС среды u* *
декартовых и цилиндрических координатах, получим для них новые выражения, где неизвестными будут только коэффициенты anj.
Определим эти коэффициенты из граничных условий на поверхности полости, допуская, что, в силу
малости толщины оболочки, Rk = R, где R – радиус поверхности полости, k = 1, 2,…N. По этой же причине и исходя из условия жѐсткого сцепления слоѐв оболочки и последней с массивом, принимаем
u0jk=u0j,k=1,2,.N.,j.=h
,q,
(12)
Тогда граничные условия на поверхности полости будут иметь такой же, как в [1] вид
Или
uj r=R =u0j ,
* *
j =h,q,r .
¥
u*(q,x)=òu(q,h)e-ixdh
uj r=R =u0j ,
j =h,q,r , (13)
0j 0j
где -¥ .
Применяя к (2) преобразование Фурье по η и разлагая функции перемещений точек срединной поверхности оболочки и нагрузок в ряды Фурье по θ, для n-го члена разложения получим
e2u+nnxu-2inxu=G(q-q
1k0nh0k200nq
0k00nr0knhk nhk-1
|
n0knx20u0nh+e2ku0nq-2i0nn=Gr0ku(qnqk-qnqk-1
|
2in0kx0u0nh+2i0nnq+e3ku0n=Gr0k(qn-rqnk-
(14)
,
e2=a2-e2,e2=b2-e2,e2=g2-e2,x=
где k = 1, 2,…, N; 1k 0k0k2k 0k0k3k 0k0k 0
222 2,2
222,22(22)2,2 2
|
a0k=x0+n0knb10k=n0kx0+1ng0k=ckx0+n+e0k=n0kx0s
mh2 n
n=1-n,n=1+n,M=c/c,c=0k,c2=0k,G=-0k
0k10k0k20ks0k s0ks0k
k20k
r0k
*
6Rm0k
¥
qm(qk,x)=òq(q,h)ed
u0nm ,
qnmk -
соответственно коэффициенты разложения
*
u0m (q,x) и
-ixh
mk
-¥
в ряды Фурье по угловой координате θ (m=η, θ, r).
Если разделить обе части уравнений (14) на G0k и произвести суммирование систем этих уравнений по k от 1 до N, то можно получить вместо k систем уравнений – одну, подобного [1] вида
|
2
10nh0200nq 000nrnhnh0
2 -1
n0nx20u0nh+e2u0nq-2i0nu0n=GrPnq-qnq0
(15)
-1 2
2in0x0u0nh+2in0u0nq+Ge3u0n=rPn-qrn,
N N N N
k 2 å2 0 å å
2 2 2 2 2 2
e1 =åe1k G0 , e =
ek Gk, e3 =
e3k G0k, n0=
n0k G0k,
где
k=1
k=1
k=1
k=1
N
n02=ån0k2 G0k,
N
å1 0k.
k=1
G-1= G
|
k=1
Разрешая (15) относительно u0nη, u0nθ, u0nr, находим
|
u0nh= ådhj(Pnj-qnj0)
dnj=1
|
u0nq= ådqj(Pn-jqn0)j
dnj=1
13
u0n=r
ådr(jPn-jqn0j
dnj=1 .
d=d=(
e)-(ex)-(ex)-(ex)+2x1x2
2 2 2 2
Здесь
nn 123 11 22 33
|
d=(e)2-x2,d=x-xe2,d=i(e2x-x
d=d,d=(e)2-x2,d=i(e2x-x
q1 h2 q2 13
2 q3
1123
d=-d,d=-d,d=(e)2-x2
r1 h3 r2
q3 r3 12 3
x=2n-1,Gx=2nx,x=nx
1 0 2 00 3 002,
для Pnj и qnj0 индекс j = 1 соответствует индексу η, j = 2 – θ, j = 3 – r.
Подставляя в (13) соответствующие выражения и приравнивая коэффициенты рядов при einθ, получим
бесконечную систему линейных алгебраических уравнений с определителем нормального типа для определения коэффициентов anj, для решения которой можно использовать метод последовательных отражений [1].
После определения коэффициентов anj, используя обратное интегральное преобразование Фурье, можно вычислить компоненты НДС среды в декартовой и цилиндрической системах координат. При этом для вычисления интегралов Фурье можно использовать любой численный метод, если определитель полученной для граничных условий (13) системы уравнений не обращается в ноль, то есть если скорость движения нагрузки меньше значений еѐ критических скоростей [1].
Литература
- Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Динамика упругого полупространства с подкрепленной цилиндрической полостью при подвижных нагрузках // Междун. науч. журнал «Прикладная механика». – Киев: Изд-во НАН Украины, 2009. – Т. 45. – № 9. – С. 75-85.
- Гузь Л.И., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наукова думка, 1978. – 308 с.
- Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А. Динамика тоннелей и подземных трубопроводов. – Алма-Ата: Наука Казахской ССР, 1989. – 240 с.
- Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. – М.: Изд. иностр. лит. 1960. – Т.2.- 886 с.