Размещение пунктов обслуживания линий связи как задача районирования

Теория районирования является областью исследований, обладающей значительной традицией и широким кругом возможных приложений. В статье предполагается, что вдоль некоторой магистральной линии связи необходимо расположить в произвольных точках ремонтные бригады. Требуется выбрать места расположения таким образом, чтобы эффективность районирования системы обслуживания была максимальной или, что эквивалентно, штрафной функционал (время между получением сигнала об отказе линии связи до прибытия ремонтной бригады к месту повреждения МЛС и плюс время обслуживания) принимал минимальное значение. Определяется функция штрафов и общий штраф рассматриваемых ремонтных работ за сутки. Показывается, что задача районирования сводится к минимизации суммарного штрафа обслуживания для всех N участков.

Пусть необходимо обеспечить техническое обслуживание (устранение отказа в работе) магистральных линий связи, расположенных в сельской местности. Очевидно, что интенсивность отказов различна в разных точках магистрали и равна ρ(х) отказов/(км. год). Функцию ρ(х) будем считать известной и основанной на предыдущих опытах; х соответствует расстоянию, отсчитанному от начала магистрали. Расположение N пунктов обслуживания вдоль магистрали или ремонтных бригад выбирается таким, чтобы среднее время от отказа в работе до окончания ремонта было минимальным [1].

Для простоты предположим, что факт отказа линии связи становится известным мгновенно. Кроме того, будем считать, что среднее время ремонта не зависит от точки х, где произошло повреждение, а также отсутствует необходимость одновременного ремонта более одного повреждения на линии связи.

При таких условиях от расположения пунктов обслуживания зависит лишь время приезда ремонтных бригад к поврежденному участку. Если повреждение линии связи расположено в точке х и должно быть обслужено бригадой, размещенной в n-м пункте, расположенном в точке хn и движущейся со скоростью v(x), то время приезда к поврежденной месту приближенно составит

 

Выражение для S, приведенное выше, представляет типичный случай целевых функционалов, определяющих эффективность квантования плотности распределения W(x), заданной на трассе. Интервалы [yn-1, yn], обслуживаемые каждым из пунктов, называют зонами квантования, а параметры xn  (координаты пунктов) – уровнями оценки [2,3].

Оптимальному  квантованию  отвечает  выбор  границ  зон  и уровней оценки  – хn    и  yn,  при  котором  функционалы  S  принимают минимальные значения.

Подчеркнем не вполне очевидное обстоятельство, что при оптимизации определяется условный экстремум, так как число зон квантования, N фиксировано. При отсутствии этого ограничения оптимальное число зон стремится к бесконечности, а целевой функционал - к нулю.

Условие постоянства N можно заменить и другими ограничениями. Возможность различных вариантов функций r(S) (называемой функцией штрафов) требует тщательного технико-экономического обоснования понятия оптимальности при решении конкретных задач, так как  практически любое    распределение   зон    и    уровней    оценки    формально   является оптимальным для каких-либо искусственно подобранных критериев.

Представим данную задачу, как задачу районирования. Как известно, теория районирования является областью исследований, обладающей значительной традицией и широким кругом возможных приложений. Здесь ограничимся характерным примером районирования, на котором,  в частности, проиллюстрируем асимптотическую замену дискретного множества непрерывным.

Предположим, что в области G, занимаемой некоторой магистральной линией связи имеется множество некоторых элементов, нуждающихся в обслуживании. Обслуживание осуществляется из N центров обслуживания (ЦО), которые могут быть расположены в произвольных точках Мn (n = 1,2,….. N) вдоль магистральной линии связи (МЛС). Требуется выбрать значения Мn, т.е. места расположения ЦО (МЦО) которые обслуживают эти МЛС, так чтобы эффективность районирования системы обслуживания была максимальной или, что эквивалентно, штрафной функционал принимал минимальное значение [4].

В рассматриваемом случае примером районированной системы может служить совокупность пунктов обслуживания МЛС. Здесь элементами исходного (обслуживаемого) множества являются места повреждения  МЛС, а МЦО – места расположения ремонтных бригад. Штрафом, в принципе, должно быть время между получением сигнала об отказе линии связи до прибытия ремонтной бригады к месту повреждения МЛС. Однако по многим причинам очень трудно оценить скорость движения ремонтной бригады по различным путям дорожно-транспортной сети (ДТС) в различное время суток, года, в различные дни недели и т.д. Поэтому более реалистично считать, что функция штрафов зависит от «расстояния» U(M, Mn), где М – точка расположения поврежденной МЛС, обслуживаемой n-й ремонтной бригадой. Функция U(M, Mn) в общем случае соответствует протяженности кратчайшего или наиболее целесообразного маршрута движения транспорта по ДТС, т.е. отличается в общем случае от эвклидового расстояния, которое вычисляется как длина прямой линии, связывающей начальную и конечную точку. Однако функция штрафов не всегда совпадает с расстоянием. При небольших длительностях ожидания прибытия к месту повреждения ремонтной бригады штраф, т.е. нежелательные последствия задержки, невелик, но с ростом этих длительностей резко возрастает. Поэтому рационально  задать  функцию  штрафов  r(u)  в  виде  быстро    нарастающей выпуклой книзу (вогнутой) функции, например r(u) = U2.

Общий штраф рассматриваемых ремонтных работ за сутки, очевидно равен сумме штрафов для всех случаев выезда к местам  повреждений. Однако число вызовов за сутки будем считать большим и, кроме того, изо дня в день меняется случайным образом, так как повреждения могут быть нерегулярны. Следовательно, рассмотрение отдельных выездов целесообразно, а фактически и обязательно, заменить рассмотрением    числа выездов на «единичный» участок МЛС, длину которого выберем равной 1км. Эту величину назовем плотностью распределения выездов и будем обозначать через W(M), где М – центральная точка МЦО. Приближенная оценка функции W(M) не вызывает затруднений, если известно количество возможных мест повреждений на данном участке МЛС. Данные по V(M) (мест.пов./км) всегда имеются в проектной документации МЛС, а также количество выездов на эти пункты k, известны на основе статистических данных:

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

  1. [1] Росляков А. В. и др. Проектирование цифровой телефонной сети. Самара, 1998.
  2. [2]А.И.Кобзарь.    Прикладная    математическая    статистика. ФИЗМАТЛИТ,  2006.
  3. [3] Орлов А.И. Прикладная статистика. Учебник для вузов. - М. 2006.
  4. [4] Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебник для вузов. - М. 2006.
Год: 2015
Город: Алматы