O решении нелинейного уравнения теплопроводности

В работе рассматривается приближенное решение нелинейных уравнений. Построен метод для нахождения приближенного решения нелинейных краевых задач. В качестве примера рассмотрено нелинейное уравнение теплопроводности. 

Пусть W  - область в RВ области W  рассматривается краевая задача:

Lu =  f ,

 

x ÎW;

 

u ¶W = 0,

где ∂W - граница области W ;

 

(1)

 

L-нелинейный      дифференциальный     оператор     с      гладкими коэффициентами, f(x)Î L2 ( W ).

 

 

Задачу  (1)  будем  изучать  в

 

L2 (W) .  Граничные  условия  понимаем  в

 

смысле

 

L2 (¶W).

 

Помимо (1) рассмотрим линейную задачу:

 

 

Au =n ;

u ¶W = 0.

 

(1')

 

 

Будем предполагать, что эта задача однозначно разрешима и функция Грина  для  (1')  выписывается  явно.  А  также   пусть  найдется       линейный

 

оператор В, такой, что

 

Mn = B(LA-1n )

 

непрерывен. B уравнении (1) обозначим

 

u = A-1n

 

и подействуем оператором В. Тогда получим:

Mu = Bf .

 

(2)

 

Для построения метода приближенного решения уравнения (2) на оператор наложим некоторые условия:

 

Пусть при e Î (-e 0 ;

 

e 0 )

 

выполнены условия 1) - 4):

 

 

 

1)  D(u,w,e )

 

º (M (u + ev) - M (u)) / e - M (u)v

 

£ eF( u ,

 

v ) v ;

 

2)  M (u)

 

£ C1 ( u );

 

3)  u  £ C2 ( Mu );

 

4)  M *-1

 

(u)

 

£ C3 ( u ),

 

 

где F(·; ·), c(·), (j = 1,2,3) - непрерывные, монотонные, неубывающие функции.

2

 

2

 

Обозначим:

 

J (v) = ò M (v) - f

W

 

dx =

 

M (v) - f    .

 

Заметим, что на решении (2) функционал  J  обращается в ноль и J >   0,

 

если

 

M (n ) ¹ f .

 

Поэтому  будем  искать  решение  уравнения  (2)  как элемент,

 

доставляющий минимум  J .

Для v, ω и малых ε, которые берем положительными, имеем:

 

 

Je  = J (v + ew) =

 

M (n + ew) - M (n ) + (M (n ) - f ) 2  =

 

 

 

= J (v) + e

 

(M (v + ew) - Mv) / e ,

 

.M ¢(v)w,2(Mv -  f ) +

 

 

 

+ e  M (v + ew) - Mv - M (v)w,

e

 

M (v + ew) - Mv

 

+ e  M ¢(v)w,

 

2(Mv -  f ) +

 

 

 

+ e  M ¢(v)w,

 

M (v + ew) - Mv) .

 

 

Отсюда получим:

 

 

Je  = J (v) + e

 

(M (v + ew) - Mv)) / e - .M ¢(v)w,

 

(M (v + ew) + M (v) - f ) +

 

 

+ e w, M ¢*(v)(M (v + ew) - M (v)) / e - M ¢(v)w  +

 

 

+ e w,2M ¢ * (v)(M (v) - f ) +

 

M ¢ *(v)M ¢)(v)w .

 

 

Используя неравенство Гельдера, получаем оценку:

 

 

J (v + ew) £ J (v) + e

 

w2M

 

* (v)(M (u) - f )

 

+ e 3  w [ M

 

* (v)M (v)w


  • M

 

* (v)D(v, w,

 

e ) ]+

 

+ e (

 

Jx  +

 

J ) D(v,  w,

 

e ) ,

 

 

 

где

 

D(n , w,

 

e ) = (M (n + ew) - M (n )) / e - M (n )w.

 

 

 

Выберем:

 

w = -2M * (n )(Mn - f ).

 

 

Тогда последняя оценка дает:

 

2                         é        2                                               ù

 

ê

 

Je  = J (v + ew) £ J (v) + e w

 

+ e 2  w    M (v)

ë

 

w  +  M (v)

 

D(v,  w,

 

e ) úû   + e (

 

Jx  +

 

J ) D(v,  w,

 

e ) .

 

Пусть e Î (-e 0 ;

 

e 0 ), воспользуемся условием 1):

 

2                          é         2                                                          ù

 

Je  = J (v + ew) £ J (v) + e v

 

+ e 2

 

v êë      M (v)

 

+ e

 

M (u) F ( v ,

 

w ) w úû

 

 

 

+ e 2 (

 

Jx  +

 

J ) w

 

F ( v ,

 

w ).

 

 

c

 

3

 

2

 

Теперь воспользуемся условием 2) и определением v:

 

 

2

 

Jx   º J (v + ew) £ J (v) + e w

 

+ 4e 2

 

1  ( v )J (v) + 4c1

 

( v )e

 

3 F ( v ,

 

2c1 ( v )J (v) +

 

 

 

+ 2e

 

2 [(

 

Jx  +

 

J )c1 ( v )

 

JF ( v ,

 

2c1   v )J ).

 

 

2

 

Привлекая условие 3) отсюда получим:

 

 

Je £ J - e  v

 

2  + e

 

c4 (J ,

 

f  )(Je + J ),

 

(3)

 

 

где   c4(·,   ·)   -   непрерывная  функция,  монотонно  неубывающая  по каждому переменному.

Из условий 4) и 3) следует, что:

 

 

Mv - f

 

= 1/ 2 M *-1 (v)M ¢ * (v)(Mv -  f )

 

£ 1/ 2 M *-1 (v)  w  £

 

 

 

 

£ 1/ 2c3 ( v ) w

 

£ 1/ 2c5 (J ,

 

f  ) w ).

 

 

2

 

Здесь с5(·, ·) - монотонно неубывающая по каждому переменному функция. Из этого неравенства и условия 3) вытекает:

 

 

2

 

Je (1 - c4e

 

) £ J (1 - e / c5  + e

 

c4 ).

 

 

Отсюда, так как с4  и с5  монотонны по  J , можно найти число δ 0,

зависящее от   f    и  J , монотонно не возрастающее при возрастании  J    и   f  ,

что имеет место:

 

 

Je £ J (1 - e / c5

 

+ e 2 c

 

) /(1 - c e 2 ) £ J (1 - d ).

 

(4)

 

 

4

 

4

 

n

 

Составим итерационный процесс:

 

 

un+1

 

= un

 

- d 0

 

M '* (u

 

)(M (un

 

) - f ),

 

n = 0, 1,

 

2,...

 

(5)

 

Для этой последовательности в силу (4) имеет место оценка:

 

 

2

 

M (un ) - f

 

£ ( M (u0 ) - f

 

2 (1 - d )n .

 

(6)

 

2

 

Отсюда и из (5), в силу 2) вытекает, что:

 

un+1


  • u0

 

£ c(1- d )n / 2 .

 

(7)

 

Неравенства (6) и (7) дают, что итерационный процесс сходится как геометрическая прогрессия к решению уравнения (2). Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема. Пусть выполнены условия 1) - 4). Тогда решение уравнения

(2)    существует.   Итерационный   процесс   (5)    сходится   со    скоростью геометрической прогрессии, и выполняются оценки (6) и (7).

Рассмотрим задачу:

u t - u xx + u 2  = f(x,t);

u t=0 = 0, u x=0 = u x=1 = 0.

Для решения данной задачи нужно рассмотреть вспомогательную задачу:

 

ut  - uxx

 

= v(x,t);

 

u t=0 = 0, u x=0 = u x=1 = 0.

 

Решение такого уравнения пишется следующим образом:

t        1

u(x, t) = ò dt ò G(x,x , t - t )v(x ,t )dx ,

0        0

 

где

 

 

¥

G(x,x , t - t ) = 2åe

n=1

 

-(pn)2 (t -t )

 

sinpnx sinpxx.

 

Напишем решение этого уравнения в операторной форме исходное уравнение запишется в виде:

2

 

u = An . Тогда

 

v + ( Av)

 

=  f (x, t);

 

( Av) t =0 = 0;

 

( Av) x=0 = ( Av) x=1 = 0.

 

Левую часть уравнения обозначим через оператор М,

Исходное уравнение запишется следующим образом:

 

Mn =n + (An )2 .

 

Mn = f (x,

 

t).

 

Найдем приближенное решение этого уравнения. Строим функционал:

1         1

2

 

J (wn ) = ò dtò Mw - f (x, t)

 

dx.

 

0         0

 

Если   v   является  решением  уравнения

 

Mn  = f

 

и   w =n ,

 

то   тогда

 

подынтегральное      выражение      равняется      нулю.      Поэтому      будем минимизировать функционал  J . Построим итерационный процесс:

1         1

2

 

J (wn ) = ò dtò Mwn  - f (x, t)

 

dx,

 

0         0

 

где М*(ωп) - оператор, сперва получим производную Гато, затем найдем сопряженное полученного уравнения:

 

M ¢*(wn )(Mwn  - f ) = Mwn  - f + 2A*(A(wn )(Mwn  - f ) =

n

 

1           1

 

= wn

 

  • ( Awn

 

)2 - f + 2ò dt òG(x,x ,t -t )(w

 

Awn

 

+ ( Aw)3 - Aw

 

))dx =

 

n

 

t            0

1           1                                                       1             1

2

 

= wn + ( Awn )

 

- f + 2ò dt òG(x,x ,t -t )[(wn ò dt1 òG(x,x ,t -t )wn (x1,t1 )dx1 +

 

t            0                                                        t              0

1              1                                                                                                           1              1

3

 

+ (ò dt1 òG(x,x , t -t )(wn (x1 ,t1 )dx1 )

 

- f ò dt1 òG(x,x , t -t )wn (x1 ,t1 )dx1 ]dx.

 

t              0                                                                                                           t               0

 

C  помощью  полученного  выражения  и  построенного  итерационного

*

 

процесса

J (wn+1 ).

 

wn+1   = wn  - eM

 

(wn )(Mwn  -  f )

 

найдем элемент

 

wn+1

 

и вычислим значение

 

Ниже приведены соответствующие численные расчеты.

Таблица       1     -     Приближенное     решение     нелинейного     уравнения теплопроводности

0.00000000

0.00000000

0.0000000

0.00000000

0.0000000

0.0000000

0.0000000

0.0000000

0.00239675

0.0045846

0.0066611

0.0086366

0.0105180

0.0123114

0.00000000

0.00463887

0.0088856

0.0129160

0.0167499

0.0204014

0.0238819

0.00000000

0.00659638

0.0126634

0.0184210

0.0238975

0.0291130

0.0340841

0.00000000

0.00818344

0.0157578

0.0229453

0.0297810

0.0362905

0.0424945

0.00000000

0.00936870

0.0181063

0.0263969

0.0342807

0.0417874

0.0489414

0.00000000

0.01017435

0.0197430

0.0288212

0.0374525

0.0456702

0.0535013

0.00000000

0.01066439

0.0207772

0.0303709

0.0394908

0.0481728

0.0564457

0.00000000

0.01092478

0.0213587

0.0312562

0.0406637

0.0496186

0.0581512

0.00000000

0.01103997

0.02163553

0.0316856

0.0412373

0.0503290

0.0589916

0.00000000

0.01107096

0.02171475

0.0318104

0.0414051

0.0505375

0.0592388

0.00000000

0.01103997

0.02163553

0.0316856

0.0412373

0.0503290

0.0589916

0.00000000

0.01092478

0.02135879

0.03125623

0.0406637

0.0496186

0.0581512

0.00000000

0.01066439

0.02077728

0.03037090

0.0394908

0.0481728

0.0564457

0.00000000

0.01017435

0.0197430

0.02882123

0.0374525

0.0456702

0.0535013

0.00000000

0.00936870

0.0181063

0.02639696

0.0342807

0.0417874

0.0489414

0.00000000

0.00818344

0.0157578

0.02294530

0.0297810

0.0362905

0.0424945

0.00000000

0.00659638

0.0126634

0.01842103

0.0238975

0.0291130

0.0340841

0.00000000

0.00463887

0.0088856

0.01291602

0.0167499

0.0204014

0.0238819

0.00000000

0.00239675

0.0045846

0.00666118

0.0086366

0.0105180

0.0123114

0.00000000

0.00000000

0.0000000

0.00000000

0.0000000

0.0000000

0.0000000

 

Таблица 2 - Решение нелинейного уравнения теплопроводности

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.002316

0.004520

0.006616

0.008610

0.010506

0.012311

0.000000

0.004389

0.008564

0.012536

0.016314

0.019907

0.023326

0.000000

0.006218

0.012133

0.017759

0.023111

0.028202

0.033045

0.000000

0.007803

0.015226

0.022286

0.029003

0.035391

0.041469

0.000000

0.009144

0.017842

0.026117

0.033987

0.041474

0.048596

0.000000

0.010241

0.019984

0.029251

0.038066

0.046451

0.054428

0.000000

0.011095

0.021649

0.031688

0.041238

0.050322

0.058963

0.000000

0.011704

0.022839

0.033430

0.043504

0.053087

0.062203

0.000000

0.012070

0.023552

0.034474

0.044864

0.054746

0.064147

0.000000

0.012192

0.023790

0.034823

0.045317

0.055299

0.064795

0.000000

0.012070

0.023552

0.034474

0.044864

0.054746

0.064147

0.000000

0.011704

0.022839

0.033430

0.043504

0.053087

0.062203

0.000000

0.011095

0.021649

0.031688

0.041238

0.050322

0.058963

0.000000

0.010241

0.019984

0.029251

0.038066

0.046451

0.054428

0.000000

0.009144

0.017842

0.026117

0.033987

0.041474

0.048596

0.000000

0.007803

0.015226

0.022286

0.029003

0.035391

0.041469

0.000000

0.006218

0.012133

0.017759

0.023111

0.028202

0.033045

0.000000

0.004389

0.008564

0.012536

0.016314

0.019907

0.023326

0.000000

0.002316

0.004520

0.006616

0.008610

0.010506

0.012311

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

 

Таблица 3 - Разность решения и приближенного решения нелинейного уравнения теплопроводности

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000080

0.000064

0.000045

0.000026

0.000011

0.000000

0.000000

0.000250

0.000321

0.000380

0.000436

0.000494

0.000556

0.000000

0.000378

0.000530

0.000661

0.000786

0.000910

0.001038

0.000000

0.000380

0.000532

0.000659

0.000778

0.000899

0.001025

0.000000

0.000224

0.000263

0.000280

0.000293

0.000313

0.000345

0.000000

-0.000067

-0.000241

-0.000430

-0.000614

-0.000782

-0.000927

0.000000

-0.000431

-0.000872

-0.001318

-0.001748

-0.002150

-0.002518

0.000000

-0.000780

-0.001480

-0.002174

-0.002841

-0.003469

-0.004052

0.000000

-0.001031

-0.001917

-0.002789

-0.003627

-0.004418

-0.005156

0.000000

-0.001122

-0.002076

-0.003013

-0.003912

-0.004762

-0.005557

0.000000

-0.001031

-0.001917

-0.002789

-0.003627

-0.004418

-0.005156

0.000000

-0.000780

-0.001480

-0.002174

-0.002841

-0.003469

-0.004052

0.000000

-0.000431

-0.000872

-0.001318

-0.001748

-0.002150

-0.002518

0.000000

-0.000067

-0.000241

-0.000430

-0.000614

-0.000782

-0.000927

0.000000

0.000224

0.000263

0.000280

0.000293

0.000313

0.000345

0.000000

0.000380

0.000532

0.000659

0.000778

0.000899

0.001025

0.000000

0.000378

0.000530

0.000661

0.000786

0.000910

0.001038

0.000000

0.000250

0.000321

0.000380

0.000436

0.000494

0.000556

0.000000

0.000080

0.000064

0.000045

0. 000026

0.000011

0.000000

 

Список литературы 

[1] Мухамбетжанов А.Т., Отелбаев М.О., Смагулов Ш.С. Об одном методе фиктивной области для нелинейных краевых задач. Вычислительные технологии, Новосибирск, 1998 г., т. 3, № 4, с. 41-83.

[2] Аруова А. Б. О приближенном решении одного класса нелинейных задач // Вестник КазГУ, сер. мех., мат. и инф., 2000 г., №18, с. 5-13.

Год: 2015
Город: Алматы
Получить доступ
Чтобы скачать её, вам необходимо зарегистрироваться.