Раcчет электрических полей униполярной короны со сложной конфигурацией электродов 

Выполнен расчет электрического поля системы электродов в виде «игла-сетка», основанный на модели квазиодномерности этого промежутка. Применяя определения эквивалентного радиуса для электродов произвольной формы, получены значения начального напряжения униполярной короны для данной конфигурации электродов.  

В связи с усложнением коронирующих систем электротехнологических установок, а также с расширением диапазона технического применения коронного разряда были предложены новые методы расчета для полей короны в более сложных системах электродов [1]. Униполярный коронный разряд в плоских полях описывается нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных третьего порядка [2], решение которого, в конечном итоге, должно дать значения напряженности поля и плотности объёмного заряда во внешней области разряда.

Рассмотрим униполярную корону в цилиндрической системе электродов, когда во внешней области разряда присутствует униполярный поток ионов с некоторым распределением плотности r (r) по радиусу. В этом случае, кроме тока дрейфа ионов, возникающего из-за сил электрического поля, наблюдается диффузионный ток, который создается наличием градиента концентрации ионов во

внешней области разряда. Полная система дифференциальных уравнений, описывающая электрическое поле во внешней области коронного разряда, имеет следующий вид:

 

Ñ 2 j  = - r / e 0,                                                               (1)

 

 

divj = 0,

 

(2)

 

 

 

j = кrE - DÑr,

 

(3)

 

 

где первое выражение представляет собой уравнение Пуассона, которое устанавливает связь между плотностью объемного заряда  r  и потенциалом    поля

j ;

второе выражение – известное уравнение непрерывности тока;

 

третье уравнение - связь плотности тока j c напряженностью поля (Е = - Ñ j ), плотностью объемного заряда с градиентом Ñ r .

Система уравнений (1-3) без учета диффузии ионов решается обычно при известных граничных условиях и допущениях: потенциалы поля у электродов равны j 1=0, j 2=U; толщиной коронирующего слоя пренебрегают; напряженность на поверхности коронирующего электрода принимают равной начальной независимо от интенсивности коронного разряда; величину подвижности ионов считают постоянной во всем разрядном промежутке. Для случая, когда задача решается для внешней области униполярной короны, эти допущения и граничные условия также остаются в силе. Таким образом, коронный разряд в коаксиальном цилиндре отличается своей простотой конструкции и удобством расчета его электрических характеристик. Следует отметить также, что все задачи, касающиеся разрядных промежутков геометрически правильной формы (плоскость, цилиндр, сфера), решаются аналитически до конца.

Намного сложнее обстоит дело при определении электрических характеристик для разрядного промежутка - «игла-плоскость».

 

2

j         F1

F

     1              x0                           x1    x

 

 

 

 

-U                      L

 

 

1 - коронирующий электрод; 2 – плоская сетка; х0 – радиус закругления иглы; L – расстояние от кончика иглы до плоскости сетки.

Рисунок 1 - Функциональная схема разрядного промежутка в виде

«игла-плоскость»

 

На рисунке 1 схематически показана система электродов в виде «игла-сетка», которая была использована в устройстве для контроля озона в воздухе [3]. Здесь в качестве электрода – плоскости используется тонкая сетка из нержавеющего металла (нержавеющая сталь, титан и др.), причем основным требованием к сеточному электроду является то, что размеры его ячейки должны быть намного меньше расстояния до коронирующей иглы.

Воспользуемся принятыми допущениями и граничными условиями для коронного разряда в концентрических цилиндрах, тогда физические процессы во внешней области коронного разряда с коронирующей иглой могут быть описаны системой уравнений (1-2). Решение этой системы уравнений намного упрощается, если выбрать в качестве модели квазиодномерный случай, как показано на рисунке

 

1, а также если пренебречь диффузионным током и не учитывать влияние собственной скорости потока воздуха v, возникающего из-за электрического ветра.

В квазиодномерном случае приняты следующие обозначения: поток зарядов в канале постоянного сечения F1 и поток зарядов с иглы, трубка тока которого представляет  собой  параболоид  вращения  с  переменным  сечением  F  ,  которое

 

связано с F1 соотношением

 

x

x

 

F = F1          .

1

 

Исходная         система        уравнений         для

 

определения поля Е в межэлектродном промежутке в виде «игла-плоскость», когда

толщина коронирующего слоя мала по сравнению с характерным размером L, имеет следующий вид:

 

d (Eх)    r

divE =            =     ;

xdx      eo

E = -gradU = - dU ;

dx

d (rkE)

 

 

 

(4)

 

div j =              = 0;

dx

 

j = rkE .

 

 

 

С граничными условиями:

E = E0 ,

 

U = U 0 ,

 

j =  j1 ,

 

x = x1 .

 

 

Здесь j1 –плотность тока в сечении F1, а текущее значение ее определяется соотношением

 

j =  j

 

x1 .

 

(5)

 

1   x

Воспользуясь   этим    соотношением    для   определения   текущего    значения плотности заряда j и подставляя значение r  в (4), получим:

 

d ()

=

xdx

 

      j1

e 0 kE

 

× x1  .

x

 

После ряда преобразований получим уравнение, удобное для интегрирования:

Eх                                   x

 

ò E х d (E х) = ò

 

j1xxdx,

 

(6)

 

E0 x0  

Далее, после интегрирования, получим:

0   0

 

E2 x2 - E2 x2 =

 

x0  e0k

0

 

j1x1  (x2  - x2 ).

 

e0k

 

Если  учесть

 

x 2  / x 2 <<1    и  произвести  ряд  преобразований  для проведения

 

0

 

этого выражения к табличному виду, то получим:

x1

 

ò

 

U =    j1x1

e0k


  • a2
x

 

dx,

 

(7)

 

 

где

 

a = E0 x0

 

x0

e 0 k .

j x

 

1   1

 

Интегрирование данного выражения производится по табличным интегралам, известными из [4]:

 

j x

 

æ

U =     1   1 ç

 

x1                                                   a +   x + a2

  • a ln

 

x1    ö

÷.

 

(8)

 

e0k ç               x0

è

 

x            ÷

x0  ø

 

После подстановки пределов интегрирования и значения «а» выражение для U будет выглядеть следующим образом:

 

 

U =                     -                        -

 

æE x    e0k +                        ö x

 

 

 

(9)

 

ç   0   0      j x                             ÷  0

è            1  1                                              ø   

-E0 x0 ln æ                                           ö    .

 

çE0 x0

è

 

e0k +

j1x1

 

÷ x1

ø

 

Чтобы упростить под логарифмическое выражение, необходимо числитель и

 

 

знаменатель умножить на

 

1/ E0 x0

 

. Тогда получим:

 

 

 

æ

ç1 +

ç

 

3

j x

 

   1   1

e 0 k

 

ö

+ 1÷

÷   x

 

U =             + E2 x 2  -

 

+ E2 x 2  - E x

 

ln  è                      ø

 

    0  .

 

(10)

 

0    0                                                   0    0

 

0    0          æ

ç1 +

ç

è

 

ö x1

+ 1÷

÷

ø

 

Предварительные расчеты показывают, что

j x3

 

    1   1

e 0 k

j x x

 

2

   1   1    0

e 0 k

 

>> 1;

 

>> 1;

 

>> 1;

 

>> 1.

 

 

 

 

 

Тогда получится:    ln

 

= - 1 ln x .

 

2      1

 

 

Из решения уравнения Лапласа у поверхности электрода было установлено распределение поля для электродов произвольной формы, причем исходным уравнением являлось [5]:

 

dE     æ  1

ç

 

-       = ç

 

+  1

 

ö

ø

 

÷dx,

 

(11)

 

R

 

E      è   10

 

R20  ÷

 

где R10 и R20 – главные радиусы кривизны поверхности в данной точке, т.е. минимальный и максимальный радиусы кривизны, а х отсчитывается от поверхности электрода в направлении внешней нормали.

Радиусы кривизны R10 и R20 могут быть определены, если задано уравнение поверхности электрода. Наиболее простым образом они рассчитываются, когда электрод представляет собой поверхность вращения. В этом случае максимальный радиус кривизны равен радиусу кривизны кривой, вращением которой электрод получен, а минимальный равен длине нормали к этой кривой от оси вращения до рассматриваемой точки. В нашем случае используется коронирующий электрод, который частично или в целом представляет собой тела вращения.

В результате интегрирования уравнения (11) и, используя условие самостоятельности разряда, было получено выражение для определения начальной напряженности Е0, которое не отличается от соответствующего выражения для цилиндрических проводов [5]; если эквивалентный радиус провода определять по формуле:

 

rэ   =

 

R10

[(1 + m )(1 + 0,2

 

m )],

 

(12)

 

 

где m= R10 /R20 .

Таким образом, вычислив эквивалентный радиус провода, нетрудно определить значение Е0, воспользовавшись формулой Пика.

Зная пределы изменения 0≤m≤1 и взяв m=0,5, а затем, приравняв R10 радиусу закругления коронирующей иглы х0 =0,2 мм, определим значение Е0 для одного случая. Оно будет равно 140∙103 В/см.

Для определения U0 в этом случае воспользуемся следующими значениями и размерностями величин, которые входят в выражение (12):

 

x0 = 0,02 см;        х1 = 0,6 см;        D = 1,6 см;

 

I = 10∙10-6 А;         j1 =

 

  4I

pD 2

 

= 5 ×10-6

 

А/см2 ;

 

k = 2,2 см2 /В∙с;         ε0 = 8,856∙10-14 Ф/см.

Расчеты по (14) показывают, что U0 = -524 В при отрицательном коронном разряде.

Таким образом, на основе принятия модели квазиодномерности системы электродов в виде «игла-сетка» получены расчетные значения E и U, в которых входят Е0 и их значения остаются неопределенными. В связи с этим, для определения Е0 был использован, эквивалентный радиус, удовлетворяющий уравнения поля (13) для электродов произвольной формы.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

  1. 1 Бахтаев Ш.А., Боканова А.А., Бочкарева Г.В., Сыдыкова Г.К. Физика и техника коронноразрядных приборов. - Алматы, 2007- 278 с.
  2. 2 Бахтаев Ш.А. Структура чехла короны //Вестник АН КазССР.- 1984.-№8.- С.48-53.
  3. Предпатент РК №20749. Устройство для контроля концентраций озона. // Бахтаев Ш.А., Сыдыкова Г.К., Ордабаев Б.Б., Коджабергенова А.К., Опубл. Бюлл.№2, 16.02.2009.
  4. Двайт Г. Таблицы интегралов и другие математические формулы. Издательство Наука,
  5. Верещагин И.П. Коронный разряд в аппаратах электронно-ионной технологии. -М.:Энергоатомиздат,1985-159 с.
Фамилия автора: Ш.А. Бахтаев, Н.К. Кожаспаев, А.К. Коджабергенова 
Год: 2015
Город: Алматы
Получить доступ
Чтобы скачать её, вам необходимо зарегистрироваться.