Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

где Z(t) — фундаментальная матрица решений zj (t(j = 1,..., п), а C = C) — постоянная матрица.

В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям Ż = F(t)Z, Z(0) = E.

Полагая в равенстве (3) t = 0, получим Z(ω) = C.

Таким образом, Z(t + ω) = Z(t)Z(ω)(4)

Матрица Z(ω) называется матрицей монодромии системы уравнений (1). Очевидно I Z(ω)∣ ≠ 0. Собственные значения матрицы Z(ω) называются мультипликаторами системы уравнений (1). Совокупность мультипликаторов называется спектром уравнения (1).

Итак, матрица монодромии есть значение в конце периода t= ω матрицы Z( ω) фундаментальной системы решений, определенной начальным условием zj(0) =ej , а под мультипликаторами понимаются корни уравнения det[z (ω) -λZ(0)] = 0 . Это уравнение называется характеристичным уравнением системы (1). [1]

Линейная однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное решение с периодом ω в том и только в том случае, когда один из ее мультипликаторов равен единице.

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица Z(t) допускает следующее представление: Z(t) = F(t)eAt, где F(t) - периодическая матрица с периодом ωА - постоянная матрица.

Рассмотрим неоднородную линейную систему дифференциальных уравнений

(5)

где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом ω, g(t) — непрерывная периодическая вектор-функция с периодом ω. Нас будут интересовать периодические решения этой системы уравнений с периодом ω.

Теорема. Пусть однородная система уравнений (1) (соответствующая неоднородной системе (5)) не имеет нетривиальных периодических решений с периодом ω (то есть все ее мультипликаторы отличны от единицы). Тогда система уравнений (5) имеет единственное периодическое решение с периодом ω. [1]

Теперь рассмотрим пример на применение некоторых теоретических сведений и теоремы рассмотренной в докладе.

Пример. Показать, что линейное уравнение

второго порядка x + a х = f (t) (-∞<t <+),

где f(t) — непрерывная периодическая функция с периодом ω, имеет единственное периодическое решение с периодом ω, если

а ≠ (к = 0, ± 1, ±2, ...)

Решение.

Сведем дифференциальное уравнение к системе и применим теорему.

195

Устойчивость систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами является одним из направлений современной теории устойчивости, на сегодняшний день это направление развивается. В данной работе приведены основные сведения устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Литература

  1. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. -М. , 1954.-С.525.
  2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М., 1967.-С.486.
  3. Беллман Р. Теория устойчивости дифференциальных уравнений. – М.: ИЛ, 1954. – 420 с.
Год: 2011
Город: Костанай
Категория: Математика