Истины и иллюзии математического мышления

Не только в сознании обывателя математическая наука вызывает пугливонеуверенный интерес с широким шлейфом мистический «интуиций», но и сама математика в своей исторической судьбе всегда представала в совершенно различных толкованиях своих собственных оснований. Ее особый статус, связанный, надо думать, с ее предметным полем, отличали в своих классификациях не только ученые, но и организаторы науки: она не попадает ни в разряд естественных, ни в разряд общественных наук. В ней мерещился образ воплощенного ума, сконструированный самим этим умом на основе ли неких онтологических допущений или на основе априорной структуры самого ума. Потому даже вопрос, чем занимается математика, у самого математика не имеет достаточно определенного ответа.

Что-то похожее на условность шахматной игры, в которой тоже видят обнаружение тайн умственной деятельности. Но если в шахматах условность правил – вещь очевидная, то математика в своей саморефлексии (в философии математики) веками пытается найти основания своих собственных действий. Она видит обусловленность всех, казалось бы, условных форм своей работы и ищет разрешения этой проблемы то в неких «онтологических» интуициях, то в рассудочных формализмах, то в конструктивистских способностях самого человеческого разума. В своих правилах шахматная игра замкнута и элементарна для освоения. По ее немудреной логике и определенности конечной цели ставятся задачи и разрешаются в каждый раз изменяющихся условиях на шахматной доске.

В математике, как и на шахматной доске, определенность задач тоже возникает по ходу движения к конечной цели. Но только вот с этой конечной целью возникает неясность. Ибо непонятно: если это наука, а не игра, то какую истину она ищет, что изучает она? Или же она, как считают некоторые, только создает правила, по которым всякие прочие науки воссоздают пространство и время объективных явлений их предметной области? Чтобы по отношениям количественных характеристик определять качественные свойства исследуемых объектов? Или, еще больше, просто разрабатывают универсальный язык науки? В таком образе она легко и мыслится как некая «специфическая» логика, чем как раз будто бы и обнаруживает свою исполненность умом.

С другой стороны, возникновение и развитие логики как науки о мышлении, выполняющей методологическую роль в познании, как бы естественно приводит ее, логику, к математической форме. Нельзя сказать, что алгебра логики отождествляется с логикой алгебры, но предметная соотнесенность математики и математической логики не только не проясняется, а все больше становится философско методологической проблемой.

Проблема отношения понятий математики к объективной действительности есть явно проблема философская, и она актуализируется и остается перманентноактуальной до тех пор, пока математическое мышление сохраняет свой мыслящий характер. Поэтому проблема эта вырастает не просто из философского любопытства, а как проблема, имеющая практическое значение, ибо математика и в самом деле обнаруживает себя как особое теоретическое средство во всех видах не только научной, но и практической деятельности. Это, конечно, еще раз как бы указывает на универсальность ее «логики», ее «языка».

Кант отчетливо показал, что за формальными формами «школьной логики» (той самой логики, которая выродилась сегодня в математическую) лежат формы, обладающие всеобщностью и необходимостью и обеспечивающие реальные связи мыслительных (логических) определений, категории. Иначе говоря, действительное мышление, постигающее предмет, осуществляется совершенно иначе, нежели как это дело представляет традиционная формальная логика. Математика же в своей реальной работе вполне сознательно ориентируется на эту внешнюю форму мышления (формальную логику) и более четко, чем какая-либо другая наука эту форму использует и потому раньше всего наталкивается на необходимость рефлексии способов своего собственного движения. Эта рефлексия вытягивает и конституирует различные основания работы математического ума, разумеется, восходящие к различным философским концепциям. Формируются различные «методологические» позиции, объясняющие и одновременно направляющие мышление математики (интуиционизм, логицизм, формализм).

Но это, конечно же, уже философия. Но философия сама, копаясь в своих основаниях, находит их различными. И, конечно же, математические умы предпочитают среди них, этих философских принципов, те, которые им ближе – по схематизмам профессионального мышления и по здравому смыслу обыденной жизни. Ведь по большому-то счету и традиционная формальная логика выросла и освоила этот, обыденный, опыт. В этом отношении формальная логика – сугубо эмпирическая наука: формальные формы мышления абстрагированы от обыденного содержания чувственных вещей. Это обстоятельство можно обосновать, и формально логическая наука это делает, правда, за рамками содержания своей теории. Так же и математика ищет свои основания и свою определенность там, где она уже не есть собственно математика, а скорее то, что называют метаматематикой, философией математики, методологией ее. Обоснование своих собственных начал не является ее собственным делом, и занимается этим делом она тогда, когда у нее в своих делах появляются проблемы. Правда, надо сказать, что такие – философские – проблемы возникают в любой науке, поскольку любая наука есть лишь особый способ понимания особой объективной действительности, и задача обоснования своих понимающих форм, отношения их к объективнореальному предмету – это неустранимая проблема, поскольку непосредственно связана с истинностью самой науки. И, следовательно, истинностью того субъективного образа (знания), который она формирует.

Это, конечно, банальный, но любопытный факт: никакая наука не объясняет своих движущих начал, они объясняются за ее рамками, сама же она лишь исследует свой предмет.

Но любопытно, что весь этот исследующий ее путь как бы лежит между проблемой ее движущих сил и проблемой ее предмета. Там и там нет для нее отчетливой ясности, а где эта ясность возникает, там и вопросы эти отпадают. И тем самым наука вырождается из поисково исследовательской деятельности в технологический процесс – с анонимным автором и без мысли о предмете. В условиях разделения труда (в данном случае научного) – это как бы естественный процесс, социальнообщественный по своему существу и с широким веером своих негативных последствий. Технологически отработанные формы внутри науки воплощаются во внешнепредметные и социально-педагогические технологии, и в этом (в определенных общественных условиях) видят смысл и назначение науки.

Добытые наукой и ею же обезличенные истины воплощаются в жизнь. В этом видится ее практическая продуктивность, и философия науки выводит отсюда внешние причины ее, науки, развития. Отработанные же в науке «технологические формы» как воплощенные истины становятся устойчивыми формами движения знания, операциями и действиями, спрятавшими в себе смысловую сторону и свое происхождение. Сегодня они уходят в компьютерные технологии, в особый объективированный мир, а внутри человеческой субъективности, в психологии личности, в дорассудочные и предрассудочные формы. Исполненность человеческой психики этими формами порождает потом шлейф вторичных предрассудков и псевдопроблем как внутри науки, так и в обыденном сознании. Неудивительно поэтому, что внутри математики прорастающие схематизмы, сросшиеся с формально-логической методологией и здравым смыслом обыденного сознания, задают ей немало философских проблем, нередко уводящих в мистику. От пифагорейцев до сего дня обсуждается, например, проблема числа – одного из фундаментальных понятий математической науки.

Естественно, что эти «технологические формы» науки становятся и основным содержанием процесса образования. И, к сожалению, не только содержанием, но и формой самой педагогической деятельности. И бессмыслица воспроизводится.

«Школьная система, рассказывает знаменитый физик, принуждает учительницу, у которой имеется хорошая идея насчет того, как научить детей читать, делать это иначе, а то и задуривает ей голову настолько, что бедняге начинает казаться, что ее метод совсем не хорош. А мать каких-нибудь хулиганистых мальчишек, наказав их тем или иным способом, потом всю жизнь терзается чувством вины, потому что «специалисты» внушили ей, что она поступила «неправильно» (Ричард Фейман. Вы, конечно, шутите, мистер Фейман. М., «КоЛибри», 2008. С. 468).

Неудивительно поэтому, что такая, формальная, логика творчески развивающийся процесс развития математики объяснить не может. А потому и начинают искать ее, математики, глубинные основания, далее не объясняемые: интуиция (субъективно-психологическое основание), конструкция (творческая способность субъекта), эмпирически-формальная строгость рассудочного мышления. И снова – это не только проблема математической науки, а науки вообще, в математике она просто проступает наиболее отчетливо, нежели, скажем, в биологии или химии, где предмет может быть поставлен в реальные экспериментальные условия. В математике же, как, впрочем, и в философии, предметное содержание так просто и чувственнонаглядно не эксплицируется. И нелегко уловить банальную истину, что это содержание порождается (выявляется) в предметно-преобразовательной деятельности человека. Так же, как предмет биологии и химии. Как любая предметность.

Однако не любая предметность столь очевидна как наличное бытие обыденной жизни. Но любой выход за рамки обыденного бытия как раз предполагает вхождение во внутреннее, скрытое и неочевидное, содержание этого самого обыденного бытия, разворачивание его содержания в смысловое поле сознания, которое исторически предметно дифференцирует себя и тем самым конституирует различные науки. Каждая из которых разрабатывает свои методы, свои «операционные технологии» и испытывает их на предмет истинности. И, похоже, математика это делает наиболее тщательно, как будто иногда даже делая это своим собственным предметом – потому и создает иллюзию логических «исследований». Точности этой науки завидуют все и, беря ее точность за норму, начинают делить науки по этому признаку.

Если исходить из положения, что сознание отражает, воспроизводит бытие, то придется признать и наличие за математикой, как и философией, специфического объективного содержания, даже если оно не дано чувственным образом. Однако в составе математики существует представление, что математическая форма мышления порождается ею самою, что за пределами ее ничего не лежит, что могло бы выступить ее основанием и предметом.

Позиция науки это понять вещь из ее собственной природы и развернуть эту природу через движение формообразований этой вещи. Это и есть теоретическое знание вещи, т.е. выражение движения вещи в ее собственной природной мерности, еще иначе – в формах всеобщих и необходимых. Именно это и следует называть научным знанием. Ясно, что это знание есть знание истинное, т.е. соответствующее всеобщей природе вещи и способу порождения каждой особенной вещи внутри этой всеобщей природы. Только здесь вещь и оказывается понятой, и только здесь человек может занять позицию этой вещи и согласовывать свои действия в согласии с ее логикой. Поскольку вещь становится «прозрачной» для мышления человека, постольку она при определенных необходимых и достаточных условиях «прозрачноподатливо» включается и в практику его.

Философию же интересует природа понятия, форма субъективной деятельности, объективный закон ее движения. Все это одно и то же. И принципиально безразлично, в каком материале я эти вещи исследую. Адекватная же себе форма философии – это ее работа с всеобщими определениями, вычленяемыми (очищаемыми) из состава объективного культурно исторического бытия. Так и в математике: ее адекватная себе форма движения осуществляется только в чистых абстракциях, вырабатываемых исторически, в исследовании чистых форм количественных, пространственно-временных отношений, не отягощенных грузом чувственности. Это обстоятельство и создает многие иллюзии в сознании самой математики, ибо чувственность, предметно-объективное содержание предстает в ней далеко не явным образом.

Теоретическая форма науки вообще является малодоступной обыденному сознанию, оно требует чувственной наглядности и наглядной достоверности – и тем самым только предчувствует суть, но не понимает ее. Но за каждой вещью лежит ее сущность, она дана вещью, но ею же и скрыта. Она порождает вещь и управляет вещью. Предчувствие этой ситуации дано каждому сознанию. Разъяснить эту ситуацию и обязана философия. Но в какой же ситуации оказывается математика, настолько утерявшая непосредственную связь с действительностью!? Даже физика, пропитавшись ею, однажды вдруг почувствовала, что потеряла свой реальный предмет, материю.

Математика занята тем, что выявляет чистые, независящие ни от каких обстоятельств включая сюда и определения сознательной деятельности, пространственные и количественные формы бытия. Создаваемые ею образы и схематизмы пространственной деятельности в их чисто количественном выражении практикой человека погружаются в культурное тело истории – в том числе в культуру самой математики. И потому математика, как, впрочем, и любая теоретическая наука, и существует как надиндивидуальная форма, которая – вопреки представлениям, существующим и внутри самой математической культуры, не зависит по характеру своих всеобще-необходимых определений ни от человека, ни от его сознания. Человеческое сознание может либо адекватно выразить их, либо исказить. И, что самое интересное, в обоих случаях не всегда может дать отчет в том, в какой позиции оно находится – в истине или заблуждении.

Потому и не удивительно, что оно часто теряется перед вопросом, что определяет математические формы, в чем и какова их природа, создает их порождающая сила сознания, или сознание лишь выражает некое объективное содержание, данное в пространственных и количественных формах. А сегодня, когда из математики как бы улетучиваются пространственные представления и понятие количества в математических умах получает такую трансформацию, что в пределе исчезает вместе с понятием числа, утрата объективного основания математической науки становится фактом ее собственного самосознания. Противоположность этого представления, необходимо вырастающая в сознании, заключена в том, что математические отношения выражают глубочайшие мировые связи, лежащие как бы даже за пределами этого самого мира, но его определяющие. Представление это не только логически возможно, но и – как любая логическая возможность – спокойно живет в уме, ибо математическая форма – это форма, с самого начала очищенная от эмпирического содержания, отвлеченная, абстрагированная от него и потому кажущаяся с ним не связанной. Представление это восходит к пифагорейцам, полагавшим число в основание мира именно на основе того факта, что эмпирический мир подчиняется математическим числовым отношениям. А если бы это было не так, зачем бы была нужна математика?

Мир «подчиняется» науке, потому что в науке выражен сам мир. Мир подчиняется безумному действию человечества – потому что мир допускает это действие. И не только потому, что мировые формы могут быть изломаны безумным вмешательством в их бытие, а потому, что мир исполнен многоразличия, порядок и хаос – лишь моменты его бытия, чистые и смешанные формы – лишь случайное обнаружение его собственных необходимых моментов.

По мере углубления науки в структуру материи обнаруживаются все новые свойства, своей парадоксальностью актуализирующие проблему пространства и времени. И тем самым ставящие перед математикой новые задачи. Микрофизика, например, сегодня допускает наличие таких необычных свойств материального мира как многомерность пространства и обратимость времени. В интерпретации явлений микромира, правда, существует и другая крайность – отказ от понятий пространства и времени вообще. Такие представления, конечно же, связаны с математическими ходами науки.

Проблема отношения математических «пространств» к реальному пространству возникает и в связи с возникновением так называемых неевклидовых геометрий. Как эти различные геометрические образы пространства относятся к пространству объективного внешнего мира? Пуанкаре, например, считал, что все математические (геометрические) пространства являются равноправными, ни одно из них не имеет какого-либо преимущества перед другими. Все они представляют собой абстрактные модели, существующие только в сознании. Вопроса же об отношении их к объективному миру он даже не ставил, но считал, что при описании физических явлений какое-то из этих математических пространств более удобно, чем другие. Поэтому бессмысленно спрашивать о том, какова геометрия реального пространства – евклидова или неевклидова. Если эти геометрии непротиворечивы, значит, в математическом смысле они приемлемы.

Такие представления никоим образом не вытекают непосредственно из математических понятий, они явно носят философско-методологический характер. Поэтому делать вывод, что и за любым математическим выражением, за тем или другим понятием математики прямо и непосредственно лежит некая физическая реальность, нельзя. Это говорит о том, что интерпретация математических положений дело непростое, она связана с преобразованием всего состава представлений, касающихся данной сферы явлений, и, что главное, с экспериментальной проверкой. В одном из доказательств бытия бога делается заключение от наличия понятия о боге к его существованиюОтсутствие развитой способности логической саморефлексии даже в науке легко приводит к разного рода «онтологическим» выводам из случайно принятых (истинность которых не обоснована) сознанием возможностей.

Кантовский анализ категорий чистого разума показал, что понятия пространства и времени никак не могут быть выведены из опыта и, следовательно, мы не можем заключить, что они принадлежат самой действительности. Но они существуют в структуре человеческой субъективности как доопытные формы чувственного созерцания. Иначе говоря, пространство и время принадлежат лишь субъекту познания как его собственные формы, которыми он организует разнообразный материал, доставляемый нам органами чувств. И в самом деле, из какого опыта выводятся понятия математики?

Наукой, которая изучает пространство, его строение, структуру, является геометрия. Современная физика вполне допускает, что в микромире пространство характеризуется специфической метрикой и топологией (т.е. особой размерностью и особыми качественными характеристиками). Метрические отношения здесь могут иметь качественно иной характер, чем в нашем обычном пространстве и времени. И в математике существуют такие «математические пространства», в которых отсутствует понятие расстояния. Такие пространства называют «неметризуемыми топологическими пространствами». Если пространство микромира действительно неметризуемо, то ему будут присущи только топологические отношения, а любые метрические отношения будут отсутствовать. Эти обстоятельства не могут не менять и структуру самой математической мысли.

Рациональное понимание метрических отношений возможно только при наличии определенных эталонов длины и времени. Иначе говоря, если они неизмеряемы, то они и не даны рациональному мышлению; физика, скажем, отказывается от абсолютного пространства Ньютона на том основании, что оно ей ничего не дает, оно неизмеряемо: рациональный смысл пространства предстает только через отношения протяженных тел. В микромире в качестве таких эталонов служат кристаллические решетки и атомные колебания. Но при очень малых масштабах или при особых физических условиях (например, при сверхвысоких плотностях или бесконечных скоростях) эти эталоны существовать не могут. А если теряется мера, то теряют смысл длина и промежуток времени. При бесконечных скоростях нулевая и бесконечная скорости совпадают, здесь нет числа, нет масштаба определения расстояний. То и другое здесь возможно выразить лишь через отношения энергетических величин, а пространство, его топология и метрика, лишь интерпретируются через эти величины.

Пространство вещи определяется природой самой вещи. И если вещь бытует в пространстве другой вещи, то это значит, что ее собственная пространственность совместима и совмещена с пространственностью другой вещи. Отсюда же и иллюзии, что пространство есть пустое вместилище. А что такое определенность пространства природой вещи? Это определенность ее, этой вещи, отношений с другими вещами (координации ее с другими вещами). Но чистое пространство, изучаемое геометрией (математикой) не имеет иных определений, кроме геометрических, т.е. вытекающих из его всеобщей природы. Математика, сохраняя всеобщность определений чистых форм пространства и времени (количества), ищет и находит способы конкретизировать в своих понятиях особенности пространственно-временных измерений любой действительности.

Никакая вещь не мыслима вне ее отношений с другими вещами, а форма этих отношений и есть пространство (Аристотель, Лейбниц). Время же есть различающее отношение вещи к самой себе, отношение ее к своим собственным различенным формам. И – одновременно – обнаружение ее самотождественности, момента неизменяемости, т.е. вневременности. Иначе говоря, покой вещи, ее самотождественность обнаруживается только в условиях ее собственного изменения, следовательно, только относительно самой себя. Покой поэтому есть снятие времени, абсолютное тождество вещи самой себе; вневременное бытие вещи предстает только как ее пространственное различие, как ее пространственное бытие. В моменте ее пространственно-временной целостности и самотождественности пространство и время снимаются. И вновь воспроизводятся в ее собственном движении.

Во всем этом, однако, есть проблема, имеющая всеобщий характер. Соотнося геометрический шар с некоторым шарообразным телом, я, как легко заметить, высказываю противоречие. Но это противоречие между формой, образованной наукой, и формой реальной вещи. Здесь противопоставлены субъект и объект. Ведь шар, как бы он ни был понят в геометрии, есть форма, принадлежащая субъекту, – и как его произведение и как мера в его руках (уме). Но разум требует соотнести вещь, как мы уже заметили, с ее собственной всеобщей формой. Возникает вопрос: введенная наукой всеобщая форма связана как-то с всеобщей формой самой вещи?

И этот вопрос распадается на два: как получает математика эту «свою» всеобщую форму, например, тот же самый шар? И существует ли в объективной действительности у всех шароподобных вещей единая всеобщая форма – как форма, претендующая на их природу, на единое основание?

И логическая наука, если она эти связи, эти противоречия, разрешить не может, претендовать на всеобщность, по большому счету, и не имеет права. Ибо мало сказать, что «камень шарообразен», а требуется еще показать, что такая связь есть, и показать, в чем ее природа, и показать, что мое суждение отражает именно то, что есть в действительности, а не воспроизводит мои же собственные представления.

Философская наука давно показала, что ни одно положение теоретической науки прямо и непосредственно не отражает действительности, что прямого совпадения здесь никогда не бывает. Ведь любая чистая форма, например, математическигеометрический шар, человеческой способностью должна быть совмещена с реальной эмпирической формой, с эмпирическим содержанием действительности, должна позволить увидеть в ней, в эмпирической действительности, то, что чувственное восприятие никак схватить не может. Зная эту форму, я и в вещах узнаю ее, и в этих же вещах я вижу не совмещающееся с ней содержание, отличное от нее и противоположное ей.

Вот совмещаю я шар с камнем, математическую формулу с конкретной проблемой моего дела. Тут школьная математика, научившая меня выражать чувственные соотношения некоторой реальной ситуации в формулах математической теории, хотя бы указывает направленность моих усилий, я знаю, что должен выразить реальность бытия в абстрактных логикоматематических соотношениях. А вот геометрический шар и шароподобное пространственное бытие камня – какая связь между ними? Совершенно разные вещи! Геометрический шар – из отвлеченноабстрактной науки геометрии, которую могу знать, а могу на нее плюнуть, и камень, который мне нужен во многих его функциях. Но нужен ли мне шар сам по себе? Шар сам по себе мне нужен только как идеальное условие, субъективное и объективное, моей практической деятельности среди и посредством объективно-геометрических форм.

Разве, однако, форма, возникшая у нас как необходимое условие мышления, разве она, эта форма, не может принадлежать самой сути вещи, быть ее собственным внутренним определением? Помните, как все мы легко повторяли, что любое содержание имеет форму. Так какая же форма у камня? Ведь чтобы умно судить вещь, мне надо то, что явилось в образе этой вещи, определить через ее собственную форму. Соотнести вещь с самой собой, а не с тем, что у меня в голове. Тогда и суждение о вещи будет выражать ее природу. Но где берется эта форма? Ведь как будто ясно, что абстрагировать ее в качестве некоторого признака, общего ряду вещей, невозможно. Нет шара в действительности, в действительности нет прямой. Это потом, для детей в школе и для самих себя, умных в науке, мы ищем «примеры в природе». Помните, как долго «сооружали», не найдя непосредственно в природе, представляемый образ пространства Лобачевского? Ведь и камень, наиболее округлый, и детский мячик, и прочее подобное – все это школьный учитель подсовывает в качестве наглядной модели геометрического шара. Но геометрический шар моделируется только мышлением, через форму понятия, через синтез многообразных абстрактных определений в их логической последовательности, выражающей его, этого геометрического шара, становление. Ибо и без всякой науки (т.е. до школы) этот образ я несу в душе и умею им пользоваться и потому солнце подвожу под шар, а не шар под солнце. Все меры доступного мне бытия я несу в себе и этими идеальными формами измеряю мир. Потому-то человек и «есть мера всех вещей» (Протагор). Но любую меру как свою собственную способность человеку приходится создавать самому в своей преобразовательной предметной деятельности. Выявляя здесь мерность самой вещи.

Вот тут и «возникает» математика с геометрией. А создав эти чудо-науки, человек начинает ломать голову, откуда все это и зачем оно. Ведь и меры-то как будто не такие уж сложные, и меряют ими внешние величины. А какой мерой измерить мне мою человеческую душу? Но ведь и туда «лезут» с математикой…

Желание представить объект за рамками сознания, науки, почти естественно. Такое представление возникает в рамках обыденного опыта, противополагающего сознание и бытие. Математика, объективная реальность для которой только мерещится, и пытается, выпадая в философию, связать свои математические представления с реальной действительностью – то ли выводя эту реальность из своих понятий, то ли «до математики» пытаясь найти онтологические предпосылки своих действий. Но там и там она ищет их отождествления. Тем самым ищет обоснования своей истинности.

Пространство – форма равнодушного соотношения вещей, исходная форма и условие их конкретной связи в сознании. Сознание – это различение особенного и общего, противоречие. Одновременно это и форма отождествления их. Абсолютное пространство – это чистая форма тождества, вещи здесь даны сознанию (сознание фиксирует вещи) как безразличные друг другу. Сознание фиксирует различие безразличных друг к другу величин, сохраняя форму тождества, т.е. величину, пространство. Точнее сказать, фиксирует не сознание, ибо, чтобы фиксировать, оно, сознание, должно быть, а оно есть только через форму различия, противоречия. Поэтому различие должно в чем-то обнаружить себя до сознания. Оно и обнаруживается реальным движением самого субъекта в формах его деятельности. Отождествление различного в процессе человеческой деятельности приводит к категории количества, т.е. к фиксации рядоположенности безразличного, и в этом безразличии тождественных друг другу вещей, вне их качественной определенности.

Но если различенные моменты бытия представлены в деятельности, то в той же самой деятельности, в том же самом процессе различения, представлена и форма их соотношения, единства и тождества. Пусть самого простого, количественно математического, еще досознательного, но уже во внешней чувственной активности представленного. Само сознание вырастает из этого противоречия деятельности. Форма мышления таится в формах деятельности и ею же, деятельностью, выворачивается в сознание, которое само себя способно превратить в предмет. И легко понять, что в формах этой деятельности представлена и форма пространственности, рядоположенности всех необходимых ее моментов.

Поэтому пространство и количество и выражаются как формы тождественные.

«Пространство, говорит Гегель, есть вообще чистое количество и является таковым чистым количеством уже не только как логическое определение, а как непосредственно и внешне сущее» (Гегель. Энциклопедия философских наук. Т. 2. Философия природы. М., Мысль, 1975. С. 45). Углубление деятельности в качественную определенность вещей выявляет новые формы тождественных «рядов», новую количественную определенность и новую меру (следовательно, новую форму числа).

Форма тождества есть покой, форма неразличенности. Она, следовательно, не дана сознанию и исходно не дана субъекту. Но с нее субъект начинает, ибо начинает движение, производит (обнаруживает) различие. И тем самым обнаруживает тождество, и в этом тождестве удерживает различие, т.е. в форме пространства.

Движение, если его рассмотреть в безразличии к качественной определенности вещей, а лишь как движение в однородном объективном пространстве, т.е. только в фиксации безразличного друг к другу множества этих вещей, как количественное движение это движение будет выглядеть как порождение пространства, как раздвижение точки. Точка, заметим, есть абсолютная самотождественность бытия, вне всяких различий, следовательно, вне какой-либо размерности, вне, следовательно, ее качественной и количественной определенности. Она потому внепространственна (напомню, что количество и пространство – одно и то же). И поэтому же она позволяет математике проникать в микромир, в котором как будто бы не обнаруживается размерность.

Это чисто логическое обстоятельство позволяет мыслить любую вещь как точку. Происходит абстракция от качественной и количественной определенности вещей. Это выглядит как чисто субъективный процесс. Однако здесь имеет место неумолимая объективная логика деятельного бытия, выявляющая свои определения как определения внешней действительности, или, наоборот, внешние определения как свои собственные.

Получается это потому, что реальный процесс деятельности осуществляется как единство и тождество объективного и субъективного, детальные различения внутри которых и предстает развитием сознания, знания. В том числе, естественно, и сознания математического. Раздвижение точки – это одновременно бытие в двух разных точках. Если сознание этого обстоятельства не удерживает, деятельность субъекта невозможна. Ибо реальная деятельность обязана одновременно (т.е. пространственно) удерживать все значимые точки своего осуществления (т.е. временного процесса). Одновременная фиксация двух точек пространства дает образ пространственного различия, расстояния (различенного стояния), более того, прямой, первого измерения пространства. Чтобы возникло второе измерение, необходимо объективное изменение движения, его «слом» и снова удержание этого обстоятельства, т.е. трех точек в единстве – плоскость. Таким же образом совершается выход в третье измерение.

Что такой слом, изменение направления происходит не по форме, якобы априори присущей сознанию, таящейся в глубинах математического мышления, а в реальной действительности по объективным формам внешних предметных обстоятельств, объясняется наличием качественной определенности вещей, неподатливостью их природы, на которую наталкивается деятельность. Домашняя мышь в психологическом эксперименте, проникая в помещение, начинает движение по объективно значимым характеристикам безразличного для нее пространства, «измеряя» сначала плинтус до угла, от вершины которого по необходимости изменяет движение, а потом «нарезает» гипотенузы к точке своего проникновения в помещение. Удовлетворение потребности в пище для нее отложено до момента, пока она не создаст «субъективное» условие своей безопасной объективной деятельности. Как бы преодолевая кантовский априоризм пространственной формы.

Это – психологическое порождение образа пространства, выявление формы расположения, рядоположенности, предметных условий реального бытия. Геометрия делает то же самое, в абстрактной, чистой форме, в отвлечении от реальной предметной деятельности, выявляя чисто пространственные (т.е. безразличные к предметным условиям), безразличные к самим вещам условия – зависимости элементов этого чистого пространства друг от друга, их взаимосвязь и отношения. Этим геометрия дает практически действующему человеку средство, форму активного преобразования реального пространства, т.е. преобразования реальных пространственных отношений.

Порождение пространства раздвижением точки дает образ пространства как множества точек, как множества координированных (Лейбниц)деятельностью точек (вещей), безразличных друг другу. Точка как форма самотождественности вещи, в этом определении делающая ее безразличной для бытия других вещей (точек), и делает бесконечной дискретность пространства и времени. Что может быть выявлено в качестве самотождественной определенности, то и превращается математикой в точку, в числовую форму. Но они, вещи, явления в форме их самотождественности, т.е. покоя и безразличия, именно пространственно (количественно) различены друг от друга и тем существенны для деятельности.

Пространство бессодержательно в любом содержании, везде есть (выступает) лишь условие представления (мыслимости) предмета (материального или идеального). В геометрии (математике) движение точки, образующей линию, совпадает с деятельностью Я, геометра, но там пространство предположено как объективное и как логическое условие деятельности, а не порождается активностью Я, его деятельным движением.

Субъект, человек, находит себя в пространстве, находит себя действующим и чувствующим. Рефлексия рядоположенности вещей, как предметных обстоятельств реально-чувственной деятельности субъекта, обособляет, абстрагирует, эту рядоположенность как пространство – как некое безразличное взаимоотношение вещей, изменяемое небезразличным интересом действующего субъекта. Как пластично поддающееся субъективному воздействию, как податливо модифицируемая рядоположенность предметного содержания. Здесь лежат основания всей математики с ее вызывающими удивление категориями конечного и бесконечного, дискретного и непрерывного, меры и числа, аксиом и способов работы с выявляемыми здесь чистыми определениями величины и количества (пространства и времени).

Пространство в таком образе выступает безразличным, но необходимым условием деятельности субъекта. Если его податливость не абсолютна, то в относительности ее, в ее сопротивляемости представлено некое особое содержание, которое может быть мыслимо как особая форма количественной упорядоченности объектов, как особое пространство. Это и ведет к развитию понятий математики во всех ее образах.

Год: 2014
Категория: Философия