Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний) численный метод решения различных задач при помощи моделирования случайных событий. В приложении к физике метод Монте-Карло можно определить как метод исследования физического процесса путём создания и эксплуатации стохастической модели, отражающей динамику данного процесса.
Существует множество самых разных модификаций метода Монте-Карло применительно к разным задачам. Суть решения физических задач этим методом заключается в том, что физическому явлению сопоставляется имитирующий вероятностный процесс, отражающий его динамику (другими словами каждому элементарному акту процесса сопоставляется некоторая вероятность его осуществления). Затем этот процесс реализуется с помощью набора случайных чисел. Интересующие значения физических величин находятся усреднением по множеству реализаций моделируемого процесса.
Отсюда следуют общие свойства метода:
- абсолютная сходимость к решению;
- тяжёлая зависимость погрешности от числа испытаний, как (для уменьшения погрешности на порядок, необходимо увеличить количество испытаний на два порядка);
- основным методом уменьшения погрешности является максимальное уменьшение дисперсии, другими словами, максимально приблизить плотность вероятности случайной величины к математической формулировке задачи или физике моделируемого явления;
- погрешность не реагирует на размерность задачи (в конечно-разностных методах при переходе от одномерной задачи к трёхмерной количество вычислений увеличивается на два порядка, в то время как в методах Монте-Карло количество вычислений остаётся того же порядка);
- простая структура вычислительного алгоритма (N раз повторяющиеся однотипные вычисления реализаций случайной величины);
- кроме того, конструкция случайной величины N, вообще говоря, может основываться на физической природе процесса и не требовать обязательной, как в регулярных методах, формулировки уравнения, что для современных проблем становится всё более актуальным.
В нейтронной физике основными задачами являются моделирование прохождения потока нейтронов в среде, расчёт коэффициента размножения нейтронов в ядерном реакторе, расчёт защиты реактора и др. Используют как прямое, так и косвенное моделирование. В первом случае в объёме реактора моделируют набор некоторого числа нейтронов с заданными скоростями (первое поколение). Для каждого нейтрона прослеживают его судьбу (поглощение, вылет из реактора, деление). Образовавшиеся в результате деления нейтроны это второе поколение, судьбу которых прослеживают аналогично. После моделирования достаточно большого числа поколений можно оценить критичность режима реактора. Метод удобен тем, что позволяет учитывать любую геометрическую форму реактора, наличие неоднородных примесей и пр. Однако время расчётов может быть существенно больше, чем при косвенном моделировании, когда движение нейтронов описывают интегральным уравнением переноса. Для решения уравнения составляют цепь Маркова. Характеристики поведения системы (в т. ч. и коэффициент размножения) являются функционалами от состояний этой цепи и могут быть оценены стандартными методами.
В физике элементарных частиц одним из первых применений метода МонтеКарло было моделирование электроннофотонных ливней. Успех метода в приложении к этой задаче определяется тем, что классическое описание процесса, хотя и не представляет принципиальных трудностей, практически бесполезно из-за чрезмерно большого числа переменных. Решение проблемы с помощью метода Монте-Карло сводится к последовательному моделированию судьбы каждой частицы (гаммакванта, электрона или позитрона), участвующей в процессе, и моделированию соответствующего элементарного акта взаимодействия. При этом возникают параметры вторичных частиц, судьбу которых прослеживают аналогично. Имеется ряд прикладных программ, работающих по этому принципу, однако для сверхвысоких энергий (~1 ТэВ) прослеживание всех частиц ливня требует нереально большого машинного времени.
Mетод Монте-Карло используется также при анализе данных, полученных в экспериментах с элементарными частицами. В результате взаимодействия двух частиц образуется ряд вторичных частиц; некоторые из них нестабильны и распадаются, образуя новые частицы. Весь каскадный процесс описывается совокупностью k переменных p1, ..., pk. Плотность распределения этих переменных определяется теорией или моделью, используемой для интерпретации данной реакции. Соответствующая формула может включать ряд неизвестных параметров h1, . ..,hm, для определения которых проводят физический эксперимент. Tаким образом, полную плотность вероятности можно записать в виде F (p1, ...,pk; h1,...,hm).
С помощью физической установки (детектора) регистрируют все или некоторые из частиц, участвующих в реакции. В каждой конкретной реакции измеряют некоторые величины u1,..., un, являющиеся функциями тех же переменных pi и параметров hj. Зарегистрировав достаточно большое число событий, можно экспериментально оценить плотность вероятности величин uj: r(u1,..., un), и путём сопоставления этой функции с теоретически предсказываемой определить параметры h.
Обычно для этого применяют метод наименьших квадратов или (в более общем случае) метод максимального правдоподобия. При использовании конкретной физической методики (фотоэмульсия, пузырьковая камера, спектрометр с искровыми, пропорциональными или дрейфовыми камерами) непосредственным результатом эксперимента является произведение функции r на так называемую приборную функцию или эффективность e(p1,...,pk). Очевидно, что при анализе соответствующих распределений необходимо учитывать искажения, вносимые детектором. Общепринятым методом расчёта эффективностей является метод Монте-Карло.
Моделирование взаимодействий и процесса прохождения вторичных частиц через детектор даёт возможность определить геометрическую эффективность детектора, т.е. долю регистрируемых событий от их полного числа. Имитация траекторий или сигналов в детекторах (сцинтилляционных, черепковских и др.) позволяет производить обратную реконструкцию моделированных событий и сравнивать найденные таким образом кинематические характеристики с истинными. С помощью такой процедуры определяют разрешающую способность детектора.
В квантовой теории поля метод Монте-Карло интенсивно используют для расчётов в калибровочных теориях на решётке. Наиболее эффективно применение этого метода к тем явлениям в квантовой хромодинамике (KХД), которые обусловлены взаимодействием кварков на сравнительно больших расстояниях. Как известно, в КХД с увеличением расстояния растёт и эффективная константа связи, что делает невозможным применение теории возмущений. Одним из основных средств исследования в так называемой непертурбативной области КХД стал метод численного расчёта на четырёхмерной решётке. В таком подходе используют формулировку КХД с помощью функциональных интегралов, при этом средние по квантовым флуктуациям полей в каждой точке пространствавремени представлены в виде интегралов. Эти интегралы вычисляют с применением метода Монте-Карло. Точность расчётов улучшается с увеличением размера решётки, однако при этом существенно растёт время, затрачиваемое на вычисления. Даже наиболее мощные ЭВМ способны обеспечить проведение расчётов на решётках лишь сравнительно небольшого размера. Качественный скачок в этом направлении возможен при использовании специальных счётных устройств, включающих большое количество автономных микропроцессоров. Наиболее интересные результаты: вычисление спектра масс чисто глюонных частиц (глюболов), оценка температуры фазового перехода адронной материи в кварк-глюонную плазму и расчёт потенциала взаимодействия на больших расстояниях. Учёт кварков при расчётах на решётке даёт возможность вычислить спектр масс адронов, т.е. почти всех элементарных частиц. Сделанные до сих пор оценки имеют не очень высокую точность.
В статистической физике использование метода Монте-Карло имеет свою специфику и тесно переплетается с другим численным методом – методом молекулярной динамики. Одно из направлений в этой области исследование физики жидкости. Традиционная модель, применяемая для описания жидкости,система твёрдых сфер либо твёрдых дисков. Обычно исследуют модель, содержащую от нескольких десятков до тысячи таких сфер. Варьируя конкретный вид взаимодействия между этими объектами, можно моделировать поведение таких сред, как классическая жидкость, электролитический раствор или жидкий металл. Методика моделирования плазмы различна для различной плотности электронов. При высокой плотности (характерной, например, для белых карликов) электронный газ вырожден и рассматривается как неподвижная среда, в которой движутся ионы (однокомпонентная плазма). При меньшей плотности необходимо учитывать поляризацию электронного фона и эффекты экранирования. Поведение такой плазмы исследуют, например, с помощью модели заряженных твёрдых сфер, движущихся в однородном фоне. Метод МонтеКарло (наряду с методом молекулярной динамики) применяют также для изучения поверхностных явлений в жидкостях.
Метод Монте-Карло даёт возможность практического исследования фазовых диаграмм смесей и магнитных систем. Основные проблемы в этой области связаны с изучением упорядоченных состояний систем и с определением области устойчивости. Много работ посвящено природе фазовых переходов и поведению системы вблизи критической точки, а также динамике этого процесса. Чаще всего эти проблемы исследуются на модели Изинга.
Метод Монте-Карло применяют также для исследования квантовых жидкостей и кристаллов. С помощью этого метода можно решать уравнения Шрёдингера и получать точные численные оценки для характеристик основного состояния бозонной системы.
Важное практическое применение метод Монте-Карло нашёл в ядерной геофизике. Широкое использование нейтронного и гамма-каротажа при поиске полезных ископаемых делает актуальными задачи переноса излучения в многокомпонентной среде и оценки функции отклика прибора с учётом реальных геологических и технических условий измерения. Решение этих задач основано на применении метода Монте-Карло.
ЛИТЕРАТУРА
- Соболь И. M. Численные методы МонтеКарло. M., 1973.
- Методы Монте-Карло в статистической физике, пер. с англ. M., 1982.
- Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике: Пер. с англ./ Под ред. С.А. Ахманова. М.: «Наука», 1990. –176 с.
- Ермаков С.М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М.: «Наука», 1971.