Исследование математических моделей сетей связи

Эффективное функционирование любой организации в условиях рыночной экономики и высоких темпов научнотехнического прогресса немыслимо без серьезной информационной поддержки, оказываемой средствами вычислительных сетей. Быстрый доступ к информации позволяет увеличить производительность труда, устраняет ряд рутинных операций, освобождая время сотрудников для творческой работы, и дает техническому и управленческому персоналу возможность выбора решений, оптимальных в конкретно производственной ситуации.

Бурное развитие компьютерных сетей и технологий во всем мире и в Казахстане в течение последних 10 лет ставит перед специалистами в различных областях деятельности много новых вопросов. Специалистов в области создания и эксплуатации сетей постоянно интересует, насколько качественно, надежно, долговечно и экономически целесообразно выбранное ими техническое решение.

Телекоммуникационные сети как основа современных систем управления, доставки и распределенной обработки информации предъявляют высокие требования к эффективному использованию средств связи и характеристикам качества обслуживания абонентов. Для всех стран мира актуальны задачи построения сетей связи, обеспечивающих компромисс между требованиями абонента, качеством их обслуживания и показателями экономической эффективности сети.

Эффективное использование сетей требует анализа их функционирования как на этапе проектирования, создания, так и на входе эксплуатации, расширения, обновления.

Потребности анализа и проектирования современных телекоммуникационных сетей и систем привели к необходимости разработки математических моделей обслуживания, учитывающих такие особенности управления, организации и внешних воздействий, как приоритетное и групповое обслуживание, пачечный характер поступления требований, распараллеливание операций и процессов изменение параметров и характеристик поступления и обслуживания отказы и восстановление применяемых средств.

Оценка прогнозируемой пропускной способности и качества обслуживания очень важный этап проектирования телекоммуникационных систем и сетей. Здесь аналитические расчеты строятся на математическом описании реакции системы на внешние воздействия. Под реакцией системы понимается ее состояние (количество занятых серверов или мест ожидания, время задержки и др.), а под внешними воздействиями – потоки требований, сбои, отказы из-за ненадежности и т.п. Внешний фактор влияния в мультисервисных сетях связи – это разнородность информации, передаваемой в рамках единой сети: данные, речь, видео. Потоки этой информации существенно отличаются между собой по приоритетам, механизмам обслуживания, особенностями протоколов и т.д., и адекватной здесь будет многомерная модель. Поэтому, для сложных систем аналитические расчеты, выполняются с ограничением внешних факторов, раздельно для каждого типа (группы) влияний или с применением многопоточных моделей.

Для изучения тенденций поведения системы при определенных условиях удобно использовать математическую модель, которая представляет собой совокупность соотношений, которые определяют процесс изменения состояний системы в зависимости от ее параметров, входных сигналов, начальных условий и времени [1-3]. Методы моделирования универсальны и во многих случаях они оказываются предпочтительными при оптимизации и проектировании сетей [4].

Современные вычислительные средства в зависимости от характера поставленных задач могут решать их в различных режимах: запрос ответ, пакетной обработки, разделения времени при коллективном пользовании, мультипрограммном. И всем этим режимам с той или иной полнотой соответствуют различные приоритетного модели систем массового обслуживания, позволяющие рассчитывать такие показатели работы вычислительных машин, как загрузка памяти и процессора, задержки и потери информации, и оценивать эффективность и надежность принятых решений [1]. Именно задачи расчета структурных характеристик информационно вычислительных систем и автоматизированных систем управления стимулировали бурное развитие математической теории массового обслуживания и, в частности, теории приоритетных моделей [4].

При проектировании и эксплуатации телекоммуникационных систем широко используется аппарат теории массового обслуживания. При этом в качестве моделей телекоммуникационных систем в целом, так и отдельных ее фрагментов могут выступать системы массового обслуживания.

В теории массового обслуживания одним из основных понятий есть случайная последовательность требований, поступающих в систему на обслуживание. Совокупность (последовательность) событий поступления в систему в моменты t1…tn требований образуют поток требований (рис. 1).

Рис. 1. Поток требований на обслуживание

Поток определяется моментами поступлений tx и количеством требований kn, поступивших в момент tn. При этом kn и tn в общем случае случайны. У рекуррентного потока требований kn = 1 для всех n = 1,2, , а интервалы времени между событиями поступления требований zn = tn – tn-1 есть стохастично независимые и одинаково распределенные случайные величины.

При постоянном интервале времени между требованиями zn поток есть детерминированный, однако, в телекоммуника-

Например, при z = 0,1 с интенсивность потока λ = 10 требований в секунду,

а при z = 100 мс – интенсивность потока λ

= 0,01 требования в миллисекунду.

Наиболее распространенной математической моделью потока требований в телефонных сетях связи является модель экспонентного распределения интервалов времени между требованиями (вызовами АТС) с параметром λ:

циях потоки чаще случайные.

Случайный поток требований может

P( zn

 t)  1  e t

(3)

быть описанным двумя способами.

Случайный поток требований описывается функцией распределения вероятностей интервалов времени между соседними требованиями F(t):

F(t) = P(zn ≤ t), (1)

где P(zn ≤ t) – вероятность того, что время между соседними требованиями zn ≤ t.

Основная характеристика потока – это среднее значение длительности интервалов z, что для случайной величины есть

математическое ожидание z .

Параметр, обратный к математиче-

скому ожиданию z , есть интенсивность потока поступления требований λ за единицу времени:

  1

z (2)

Плотность этого распределения позволяет рассчитать вероятность любой продолжительности zx = t случайной величины z (интервалов между требованиями) по заданной интенсивности поступления требований λ:

P(t)  e t

(4)

Среднее значение случайной величины t, распределенной по экспоненциальному ному закону (4), равно λ-1 и потому из

1. следует, что параметр данного распределения λ – это среднее количество требований за единицу времени, в которых измеряется z. Поток, где все zn имеют одинаковое экспонентное распределение с параметром λ, очень важный пример рекуррентного потока.

На рис. 2 представлены два графика экспонентного распределения (4), обозначенные p(z) и p1(z) с параметрами λ = 0,5 и λ1 = 0,25 соответственно.

Рис. 2. Экспонентное распределение интервала z

Из графиков видно, что в потоке, заданного функцией p(z), значительно больше доля вероятностей коротких интервалов между требованиями, чем в потоке, заданного функцией p1(z). Это говорит о большей интенсивности потока требований, которая в первом случае составляет λ = 0,5, а во втором –λ1 = 0,25 требований в едини-

систему на обслуживание.

Известно, если интервал времени между событиями (требованиями) z распределен по экспоненциальному закону, то количество таких событий i за условную единицу времени t будет распределено по закону Пуассона:

цу времени. Среднее значение интервала времени между требованиями такое: z = 2

и z 1= 4 единицы времени соответственно.

Pi (t) 

(t)i

i!

et

(5)

• 1. Случайный поток требований описывается функцией Pi(t) – распределением вероятностей количества требований i за условную единицу времени t. Например, если диаграмму процесса поступления требований, представленную на рис. 1, условно поделить на одинаковые промежутки времени длительностью t, что в разы или десятки раз превышает среднее значение

интервалов z , то на каждый из таких условных интервалов припадет случайное количество требований i. Функция распределения случайной величины i будет описывать поток требований, поступающих в

Величина λt это параметр распределения Пуассона. По нему можно рассчитать вероятность поступления в систему точно i требований за условную единицу времени длительностью t, зная интенсивность потока требований λ.

Для приведенного выше примера экспонентного потока с интенсивностью λ = 0,5 построено распределение Пуассона случайного количества требований, которое приходится на условные интервалы времени, например, продолжительностью t

= 20 c (рис. 3).

Рис. 3. Распределение Пуассона при λ = 0,5 и t = 20 c

Среднее значение случайной величины i, распределенной по закону (5), определяется как i = λt , и в этом случае λt = 10.

Из рис. 3 видно, что наибольшая вероятность это вероятность среднего значения i . При возрастании i вероятность Pi(t) постепенно возрастает, а потом – уменьшается. Данный график почти симметричный, а форма аппроксимирующей кривой приближается к форме нормального закона распределения.

Таким образом, математическую модель потока требований, поступающего в системах распределения информации на обслуживание, можно отобразить двумя способами с помощью вероятностных функций распределения:

1. интервалов времени между соседними требованиями z, (4);
2. количества требований i за условную единицу времени t, (5).

В первом случае, применяются непрерывные законы, а во втором – дискретные. Каждый из потоков называется по виду вероятностного закона распределения интервалов времени между требованиями или их количества за условную единицу времени. Модель потока, определяемая распределением (5) называется пуассоновским потоком (используется в телефонных сетях).

Пуассоновские потоки делятся на потоки первого и второго рода. Для потоков первого рода вероятность поступления требований в систему не зависит от того, сколько требований уже есть в ней. СМО с такими потоками называются системами с бесконечным числом источников, или открытыми системами. Потоки первого рода возникают из-за наложения многих потоков отдельных источников, причем поведение каждого источника независимо.

Потоки требований второго рода получаются в системах массового обслуживания (СМО) с конечным числом источников или в так называемых замкнутых системах. Поскольку в момент, когда требование обслуживается или ожидает, ее источник уже не может порождать новых требований, то вероятность того, что поступит требование из совокупности требований всех источников, зависит от того, сколько требований в системе и от каких они источников. Такие потоки называются примитивными. Оценка качества обслуживания или пропускной способности СРИ (систем распределения информации) требует учета всех элементов ее модели. Наиболее сложно учесть математическую модель входного потока требований. Именно по этой причине весь пакет задач анализа и синтеза систем распределения информации для любых из ее схем и дисциплин обслуживания решен только для случая простейшей модели трафика – пуассоновского потока. Для неё известны все аналитические формулы расчета основных характеристик качества обслуживания в системах распределения информации [1-3].

Стремительное развитие телекоммуникационных технологий, новые принципы построения сетей связи, изменение структурного состава абонентов и спектра предоставляемых услуг влияет на изменение характера трафика. Эти факторы увеличивают неравномерность интенсивности потоков требований, измеряемую дисперсией интенсивности. Результаты статистических измерений, выполняемых на разных сетях связи, дают возможность выделить 3 типа трафика, к которым следует употреблять следующие математические модели:

I тип – в моносервисных сетях с однородным трафиком. Это телефонные сети с единственной услугой телефонной связи, а поэтому трафик однородный. Простейшая модель пуассоновского потока соответствует таким условиям, а значения интенсивности трафика и ее дисперсии достаточно близки.

ІІ тип – в мультисервисных сетях с разнородным трафиком.

Интегральный характер мультисервисной сети с расширенным спектром предоставляемых услуг предопределяет разнородность трафика, которая сильно изменяет его параметры и математическую модель. Реальным потокам присуща повышенная неравномерность трафика, при которой дисперсия интенсивности трафика превышает ее математическое ожидание от 2 до 15 раз. Иногда данное превышение бывает и большим, но это происходит или за пределами ЧНН, или на небольших пучках каналов [4].

ІІІ тип – в пакетных сетях с мультисервисным трафиком. Трафик имеет долгосрочные зависимости в интенсивности и еще более существенно отличается от пуассоновского потока. Адекватной моделью потоков в таких сетях есть самоподобные процессы. В мультисервисных пакетных сетях трафик есть разнородным и с определенными требованиями к QoS. Здесь передачу потоков разных служб обеспечивает одна и та же сеть с едиными протоколами и законами управления. Поскольку источники каждой службы могут иметь разные скорости передачи информации или изменять ее в процессе сеанса связи, то объединенному потоку пакетов присуща так называемая «пачечность» трафика (burstness), измеряемая коэффициентом пачечности [1]. Эта пачечность обусловливает еще большую неравномерность трафика, при которой дисперсия интенсивности трафика превышает ее математическое ожидание от 20 до 60 раз и большее.

Независимо от способа задания математической модели потока требований выбранная модель обязательно должна быть адекватной реальным потокам трафика телекоммуникационных сетей, поскольку от этого существенно зависит точность расчета характеристик качества обслуживания и пропускной способности СРИ при их анализе, синтезе и оптимизации.

Корпоративная сеть ОАО Казахтелеком основана на сети Ethernet. Стандарт Ethernet был принят в 1980 году. Число сетей, построенных на основе этой технологии, к настоящему моменту оценивается в 5 миллионов.

Основной принцип, положенный в основу Ethernet случайный метод доступа к разделяемой среде передачи данных. В качестве такой среды может использоваться толстый или тонкий коаксиальный кабель, витая пара, оптоволокно или радиоволны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крылов В.В., Самохвалова С.С. Теория телетрафика и её приложения. – СПб.: БХВ-Петербург. – 2005. – 288 с.: ил.
2. Шнепс М.А. Системы распределения информации. Методы расчета: Справ. пособие. – М.: Связь, 1979. – 344 с., ил.
3. Корнышев Ю.Н., Фань Г.Л. Теория распределения информации: Учеб. пособие для вузов. – М.: Радио и Связь. – 1985. – 184 с., ил.
4. Ложковский А.Г., Салманов Н.С., Вербанов О.В. Моделирование многоканальной системы обслуживания с организацией очереди // Восточно-европейский журнал передовых технологий. – 2007.–

№3/6(27). – С. 72-76.