Автоматизированный расчет помольной смеси с применением симплекс-метода

В настоящее время мукомольные предприятия ежегодно перерабатывают большие объемы зерна с низким содержанием или неудовлетворительным качеством клейковины, повышенной или пониженной активностью ферментов, обусловленной использованием в помольных смесях некондиционного зерна, в том числе, поврежденного клопом-черепашкой, проросшего, морозобойного, высушенного при высокой температуре. В связи с этим, при переработке зерна различного качества для обеспечения требований хлебопекарных предприятий и других отраслей необходима корректировка и стабилизация свойств муки в части содержания и качества клейковины.

Эту проблему можно решить путем смешивания различных сортов зерна с использованием специфических особенностей каждого сорта в отдельности, в одном случае – качества и количества клейковины, в другом – стекловидности, в третьем – зольности и т.д. При этом помольные смеси должны соответствовать требованиям технических условий и вырабатываться по рецептуре и технологической инструкции [1].

Таким образом, целью настоящей работы является расчёт состава помольной партии на основании заданных ограничений по качеству, выходам, цене и массе зерновой смеси с учетом выбранного критерия с применением симплекс-метода в пакете прикладных программ MS Office (поиск решений), а также анализ и подбор компонентов помольной смеси наиболее удачных из набора оптимальных вариантов расчета в зависимости от текущих требований производства.

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:

• составить математическую модель для расчета состава помольной партии;
• решить поставленную задачу графическим методом;
• решить поставленную задачу аналитическим методом (симплекс-методом);
• сравнить полученные результаты графическим и аналитическим методом;
• выбрать наиболее оптимальный вариант для состава помольной смеси.

Способ обратных пропорций основан на решении системы уравнений. Однако он ведется только по одному показателю. Если просчитать помольную смесь по двум разным показателям, то полученные значения массы компонентов не совпадут. Еще один недостаток способа обратных пропорций заключается в высокой доли субъективизма. Это обусловлено тем, что помольная смесь оценивается одним показателем качества, и нет критерия, по которому можно комплексно судить о помольной смеси.

Графический способ основан на построении графика и выборе точки с минимальным значением целевой функции. Недостатком этого метода является наличие погрешностей при графических построениях. Преимуществом графических методов определения состава помольной смеси является их простота, наглядность и устранение большой доли субъективизма.

Рис. 1. Алгоритм расчета задач линейного программирования

Наиболее точным и удобным является способ расчета состава помольной смеси с помощью задач линейного программирования [2]. Алгоритм расчета задач линейного программирования с помощью Excel приведен на рисунке 1 [3].

Расчет оптимальных рецептов помольных смесей зерна ведется на основании текущих остатков сырья на комбинате, представленных в его силосной доске, и данных по ценам. Если на предприятии автоматизирован учет качества зерна, то данные силосной доски автоматически загружаются из учетной системы, в противном случае они могут вносится вручную. В том

случае, если на элеваторе ведется партионный учет, стоимость зерна учитывается как средневзвешенная по каждому силосу. В другом случае цена сырья проставляется по классам (или другой классификации) на основании сводных данных бухгалтерии [4].

Симплекс-метод, используемый средством Поиск решений в Microsoft Excel, является методом поиска экстремума. Программа находит некое угловое решение, затем просматривает все соседние с ним углы допустимой области и выясняет, улучшится ли значение целевой функции при перемещении функции в одних из этих

углов. При положительном ответе решение перемещается в такой угол, и программа снова проверяет все соседние с ним углы – возможно ли дальнейшее улучшение. Если ответ отрицательный, программа завершает свою работу [5].

Математическая модель для расчета помольной партии записывается следующим образом и рассматривается как система линейных неравенств:

при ограничениях:

где aij, di,Cj (i= 1, т, j=) – заданные постоянные величины.

Данные для расчета помольной партии записываются в таблицу 1.

Таблица 1 Показатели компонентов и помольной смеси

… Стi

Группа показателей

Расчетный показатель

Значение показателей компонентов

Ограничения смеси

1-ый

… i-ый

… n-ый

Количественные

Количества зерна в смеси, %

m1

… mi

… mn

Качественные

Стекловидность, % Клейковина, % Зольность, %

Ст1 Кл1 Z1

≥Ст

≥Кл

≤Z

Экономические

Цена, тг

Ц1

… Цi

… Цn

Цmin

… Клi

… Zi

… Стn

… Клn

… Zn

В качестве исходных параметров для расчета рецепта помольной смеси используются ограничительные кондиции на качество зерна (количество клейковины, качество клейковины в единицах ИДК, число падения, стекловидность, натура, зольность (или белизна), содержание сорной и зерновой примеси, влажность и др.), выхода продукции, количество компонентов в сме-

си, а также предельная стоимость помольной смеси. Можно также при необходимости ограничивать проценты ввода пшеницы различного типа и класса [4].

В работе рассмотрены трехкомпонентная и четырехкомпонентная смеси. В таблицах 2 и 3 приведены исходные данные для расчета помольных партий.

Таблица 2 – Исходные данные для расчета состава трехкомпонентной смеси

Таблица 3 – Исходные данные для расчета состава четырехкомпонентной смеси

В работе приведен расчет помольной партии графическим и симплекс методами и сделан сравнительный анализ.

На основании формул (1) и (2) записываем математическую модель для трехкомпонентной смеси:

при ограничениях:

Рассчитаем помольную партию графическим методом, где К1, К2, К3 – компоненты помольной партии.

Ст =48

Кл=23

К1 З=1,73

Масса К1=1200

Масса К1=1200

А

Ст =60 Кл=28 З=1,77

К2 К3

Ст =50 Кл=24 З=1,82

Рис. 2. График расчета трехкомпонентной смеси

Определяем массу компонентов в точке А:

m1 = 430, 24,6%;

m2 = 410, 23,4%;

m3 = 910, 52%.

Цена помольной смеси из трех компонентов будет равна:

F = 22000 * 0,246 + 24000 * 0,234 + 24000 *

0,52 = 21948 тг

Рассчитаем помольную партию симплекс-методом. Результаты расчета приведены на рис. 3.

Рис. 3 Расчет состава трехкомпонентной смеси симплекс-методом

Как видно из рис. 3, расчет помольной партии производится более точно, чем при расчете графическим методом, и цена такой партии составляет 21627 тг.

Аналогичным образом рассчитывается четырехкомпонентная помольная смесь, результаты расчет приведены на рис. 4.

Рис. 4. Расчет состава четырехкомпонентной смеси симплекс-методом

Таким образом, на основании вышеизложенного можно сказать:

1. Рассчитать помольную партию по трем и более показателям методом обратных пропорций очень сложно;
2. Расчет графическим методом можно применить только для двухи трехкомпонентной смеси, так как для четырехкомпонентных смесей и более невозможно построить диаграмму расчета помольной партии;
3. При расчете графическим методом очень большая доля субъективизма, так как не всегда удается выбрать точку с минимальным значением целевой функции;
4. Применение симплекс-метода позволяет рассчитывать помольную смесь из любого количества компонентов более достоверно и подбирать наиболее оптимальный вариант помольной партии;
5. Между значениями, полученными графическим методом и симплекс методом, расхождения получаются около 30-35%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дёмина И. А., Денисова Н.Ф., Кубанцева В.Д. Математическое моделирование расчета мучной композитной смеси/ И.А. Дёмина, Н.Ф. Денисова, В.Д. Кубанцева // Материалы международной научно практической конференции «Индустриально-инновационное развитие на современном этапе: состояние и перспективы». – 2009. – 10 дек. – 11 дек. – С. 126-130.
2. Вашкевич В.В., Горнец О.Б., Ильичёв Г.Н. Техника и технология производства муки. – Барнаул, 2000. – 208 с.
3. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. – СПб.: BHV – Санкт-Петербург, 1997. – 384 с.
4. Берестнев Е.В., Петриченко В.Е., Новицкий В.О. Рекомендации по организации и ведению технологического процесса на мукомольных предприятиях – М., 2008.
5. Мур Джефри, Уэдерфорд Ларрид Экономическое моделирование в MS Excel – М.: Вильямс, 2004. – 1024 с.