Общие положения теории двухмерных математических прогрессий

В настоящее время вычислительная математика располагает теорией математических прогрессий, которая позволяет решать некоторые задачи количественного изменения циклического характера в различных системах. Однако существующая теория способна решать задачи, в которых имеется только один циклический фактор. Поэтому для математического моделирования циклических процессов с двумя циклическими факторами необходимо расширить теорию прогрессий. В работе [1] были впервые изложены основные положения концепции теории двухмерных математических прогрессий.

В математике прогрессия – это название некоторых видов числовых последовательностей [2]. Выделяют прогрессии арифметическую и геометрическую.

Рассмотрим классическую трактовку математических прогрессий.

Арифметическая прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же постоянным числом, называемым разностью арифметической прогрессии. Каждый член арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

an=a1+(n-1)*d, (1)

где a1 первый член арифметической прогрессии;

an член арифметической прогрессии с порядковым номером n (общий член прогрессии);

n – порядковый номер члена прогрессии; d разность арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия – числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на некоторое постоянное и не равное нулю число, называемое знаминателем геометрической прогрессии. Каждый член геометрической прогрессии рассчитывается по формуле

bn=b1*qn-1, (2)

где b1 первый член геометрической прогрессии;

bn член геометрической прогрессии с порядковым номером n (общий член прогрессии);

n – порядковый номер члена прогрессии;

q знаменатель геометрической прогрессии.

В данной статье предлагается концепция двухмерных математических прогрессий. Дадим определение двухмерным прогрессиям. При этом классически трактуемые математические прогрессии (арифметическая и геометрическая) будем называть одномерными прогрессиями.

Двухмерная арифметическая прогрессия числовая последовательность, основой которой является первый член прогрессии, дающий развитие одномерной прогрессии с разностью d1 (разность арифметической прогрессии в первом измерении), при этом, все члены этой одномерной прогрессии являются первыми членами других одномерных прогрессий с одинаковой разностью d2 (разность арифметической прогрессии во втором измерении).

Определение двухмерной арифметической прогрессии можно дать и через математическое описание общего члена прогрессии.

Двухмерная арифметическая прогрессия – числовая последовательность,

каждый член которой рассчитывается по формуле anm=a1,1 +(n-1)*d1+(m-1)*d2, (3)

где n – порядковый номер члена прогрессии в первом измерении;

m порядковый номер члена прогрессии во втором измерении;

a1,1 – первый член двухмерной арифметической прогрессии;

d1 разность арифметической прогрессии в первом измерении;

d2 разность арифметической прогрессии во втором измерении;

anm член двухмерной арифметической прогрессии с порядковыми номерами n в первом измерении и m – во втором (общий член прогрессии).

Двухмерная геометрическая прогрессия числовая последовательность, основой которой является первый член прогрессии, дающий развитие одномерной прогрессии со знаменателем q1 (знаменатель геометрической прогрессии в первом измерении), при этом, все члены этой одномерной прогрессии являются первыми членами других одномерных прогрессий с одинаковым знаменателем q2 (знаменатель геометрической прогрессии во втором измерении).

Определение двухмерной геометрической прогрессии можно дать и через математическое описание общего члена прогрессии.

Двухмерная геометрическая прогрессия – числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий рассчитывается по формуле

bnm=b1,1*q1n-1 *q m-1, (4) 2

где b1,1 – первый член двухмерной геометрической прогрессии;

n – порядковый номер члена прогрессии в первом измерении;

m порядковый номер члена прогрессии во втором измерении;

q1 знаменатель геометрической прогрессии в первом измерении;

q2 знаменатель геометрической прогрессии во втором измерении;

bnm член двухмерной геометрической прогрессии с порядковыми номерами n в первом измерении и m – во втором (общий член прогрессии).

Классические прогрессии (арифметическая и геометрическая) являются частным случаем двухмерных прогрессий, которые развиваются только в одном измерении. Поэтому и было предложено назвать данные прогрессии одномерными. Каждая двухмерная прогрессия представляет собой упорядоченную совокупность одномерных прогрессий.

Для удобства использования двухмерных прогрессий и исследования их свойств введем для них следующие терминологические понятия.

Х уровень первого измерения двухмерной прогрессии – совокупность членов рассматриваемой прогрессии с порядковым номером Х в первом измерении, где X натуральное число.

Х уровень второго измерения двухмерной прогрессии – совокупность членов рассматриваемой прогрессии с порядковым номером Х во втором измерении, где X натуральное число.

Развитие прогрессии – переход от одного члена прогрессии к следующему.

Первый член двухмерной прогрессии – член прогрессии, у которого порядковые номера в обоих измерениях равны единице. Шаг прогрессии – совокупность членов данной прогрессии, равноудаленных в развитии от первого члена прогрессии. Из данного определения логически вытекает свойство членов одного шага двухмерной прогрессии – они имеют одинаковые значения суммы своих порядковых номеров первого и второго измерений.

Первый член в первом измерении двухмерной прогрессии – член прогрессии, у которого порядковый номер в первом измерении данной прогрессии равен единице. Первый член во втором измерении двухмерной прогрессии – член прогрессии, у которого порядковый номер во втором измерении данной прогрессии равен единице.

Первый член двухмерной прогрессии является первым членом в обоих измерениях данной прогрессии.

Первый ряд двухмерной прогрессии упорядоченная совокупность членов первого измерения данной прогрессии, являющихся первыми членами второго измерения.

Первый член Х шага прогрессии – член Х шага, входящий в состав первого ряда прогрессии, где Х натуральное число.

Номер шага прогрессии – число равное порядковому номеру первого члена шага прогрессии в первом измерении.

Однородный шаг прогрессии – шаг прогрессии, все члены которого имеют одинаковое численное значение.

Неоднородный шаг прогрессии – шаг прогрессии, все члены которого имеют различные численные значения.

Коэффициент однородности Х шага – отношение среднеарифметического значения членов Х шага к первому члену этого шага, где Х натуральное число. Для однородного шага прогрессии коэффициент однородности равен единице.

Коэффициент развития прогрессии в Х шаге – отношение суммы членов Х шага к первому члену прогрессии, где Х натуральное число. Данный коэффициент показывает, во сколько раз увеличилась сумма членов шага при развитии прогрессии с первого шага до Х шага.

Для удобного образного восприятия двухмерной прогрессии целесообразно представить её в пространстве в виде определенной структуры с размещением членов адекватно их порядковым номерам в измерениях. Предлагаются две пространственные структуры прогрессий: ортогональная матричная структура и пошаговая матричная структура. Для отображения данных структуры на плоскости целесообразно использовать матрицы. Поэтому эти пространственные структуры прогрессий предложено называть матричными.

В математике матрица – это прямоугольная таблица, состоящая из элементов, расставленных в m строк и n столбцов [2]. Матричная структура прогрессии позволяет отобразить все члены двухмерной прогрессии. При этом члены прогрессии размещаются последовательно в строках и столбцах прямоугольной таблицы.

Ортогональная матричная структура прогрессии – последовательное размещение членов прогрессии в пространстве, при котором все уровни одного измерения параллельны друг другу, а любые два уровня различных измерений перпендикулярны друг другу. Исходя из специфики размещения членов прогрессии в пространстве, данную структуру было предложено назвать «ортогональной». Ортогональность (от греческого orthogonios – прямоугольный) – обобщенное понятие перпендикулярности, распространённое на различные математические объекты [3]. Такая структура удобна для целостного восприятия членов прогрессии.

Пошаговая матричная структура прогрессии последовательное размещение членов прогрессии в пространстве, при котором все уровни одного измерения параллельны друг другу, а первый ряд прогрессии перпендикулярен шагам прогрессии. Данная структура удобна для наглядного представления развития прогрессии по шагам.

Отображение пошаговой матричной структуры прогрессии на плоскости осуществляется путем трансформации отображения ортогональной матричной структуры данной прогрессии таким образом, что в строках таблицы размещаются уровни одного явного измерения, а в столбцах шаги прогрессии в пределах одного уровня неявных измерений.

Рассмотрим матричные структуры прогрессий на примере двухмерной геометрической прогрессии (bn,m), состоящей из 16-ти членов. Её ортогональная матричная структура представлена на рис. 1.

На рис. 2 показаны примеры уровней первого и второго измерений рассматриваемой прогрессии (bn,m). Члены b1,1, b1,2, b1,3, b1,4 образуют первый уровень первого измерения. Члены b1,1, b2,1, b3,1, b4,1 образуют первый уровень второго измерения. И так далее по аналогии.

На рис. 3 показаны шаги двухмерной геометрической прогрессии (bn,m) при ортогональной матричной структуре.

На рис. 4 показаны шаги рассматриваемой прогрессии при пошаговой матричной структуре. Член b1,1 является первым шагом данной прогрессии. Члены b2,1, b1,2, образуют второй шаг. Члены b3,1, b2,2, b1,3 образуют третий шаг. И так далее по аналогии.

Таким образом, в данной работе представлена концепция двухмерных математических прогрессий, введен ряд терминологических понятий, а также представлены матричные структуры прогрессий, позволяющие упростить восприятие совокупности членов прогрессии при изучении их математических свойств.

 

Рис. 1. Ортогональная матричная Рис. 2. Уровни измерений двухмерной структура двухмерной геометрической геометрической прогрессии (bn,m) прогрессии (bn, m)

Рис. 3. Шаги двухмерной геометрической прогрессии (bn,m)

Рис. 4. Пошаговая матричная структура двухмерной геометрической прогрессии (bn,m)

 

ЛИТЕРАТУРА

  1. Галкин С.В., Запасный В.В. Концепция двухмерных математических прогрессий. Актуальные достижения европейской науки – 2011 г.: Материалы 7 международной научно-практической конференции, 17-25 июня 2011 г. София: «Бял ГРАД-БГ» ООД, 2011. Том 37. -С. 45-48.
  2. Микиша А.М. и Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины. – М.: Русский язык, 1989. – 244 с.
  3. Советский энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. – М., 1988.
Год: 2013
Категория: Информатика