Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики

В содержании начального курса математики можно выделить следующие основные разделы (содержательные линии):

• нумерация целых неотрицательных чисел;
• арифметические действия и их свойства;
• величины и их измерение;
• алгебраическая пропедевтика;
• геометрическая пропедевтика;
• текстовые задачи.

Практика показывает, что тема «Величины, их измерение. Измерение геометрических величин» является одним из трудных в изучении разделов начального курса математики [1].

Остановимся подробнее на содержании указанного раздела, попытаемся выявить трудности и ошибки, возникающие у учащихся при его изучении и причины их возникновения.

Содержание раздела «Величины и их измерение. Измерение геометрических величин» включает следующие вопросы:

• понятие о величине;
• измерение величин, единицы измерения величин, соотношения между ними;
• преобразования величин;
• действия с однородными величинами, выраженными в единицах одного или нескольких наименований (сравнение, сложение, вычитание, умножение на число, деление на число).

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с длиной, массой, площадью, объемом, временем. Особое внимание в начальной школе уделено периметру и площади прямоугольника (квадрата), величинам, связанным между собой пропорциональной зависимостью. В государственном стандарте начального общего образования выделены группы величин, характеризующих процессы: «движения» (скорость, время, пройденный путь); «купли продажи» (цена – количество товара стоимость); «работы» (производительность труда, время работы, объем всей работы).

При изучении данного раздела типовыми являются задания: «Измерьте длину отрезка», «Выполните действия» (с величинами), «Найдите периметр (площадь) прямоугольника (квадрата) с заданными сторонами» и др.

Анализ результатов выполнения типовых заданий показывает, что чаще всего учащиеся допускают ошибки в преобразованиях величин, в действиях с величинами, выраженными в различных единицах, в ходе решения задач на нахождение периметра (площади) прямоугольника (квадрата), при записи единиц периметра (площади) прямоугольника (квадрата), в ходе решения составных задач с пропорциональными величинами. Причинами возникновения указанных ошибок являются:

• несформированность понятия о величине, в частности, о периметре и площади фигуры;
• незнание единиц измерения величин и соотношения между ними;
• незнание алгоритмов преобразования величин, действий с величинами, выраженными в одинаковых или разных единицах;
• несформированность общего умения решать текстовые задачи.

Рассмотрим методические рекомендации, позволяющие учителю повысить результативность изучения основных вопросов данного раздела.

Понятие о величине

Формируя понятие о той или иной величине, учителю, прежде всего, необходимо:

• выявить первоначальные представления учащихся о величине;
• уточнить их, конкретизировать, систематизировать.

Среди величин, изучаемых в начальной школе, выделяют геометрические величины: длину, площадь, объем. Изучение геометрических величин, в частности понятия о величине, проводится с опорой на

привычные для детей представления о величине.

Например, длина рассматривается, как свойство объекта обладать протяженностью.

Длина отрезка – это протяженность от одного его конца до другого, длина пути

• протяженность от начального пункта до конечного.

Площадь рассматривается, как свойство объекта занимать определенное место на плоскости.

Объем – как свойство объекта занимать определенное место в пространстве.

В работе по формированию понятия об этих величинах учителю необходимо опираться на указанные представления, раскрывать их содержание через различные учебные задания.

Например: «Определи, какая фигура занимает большее место».

При знакомстве с общепринятыми единицами длины, площади, объема целесообразно использовать наглядность, прием сравнения, учебные задания.

Задание № 1. Выбери мерку для измерения длины отрезка. Обоснуй свой выбор.

Задание № 2. Как измерить длину данного отрезка, используя мерку 1 см? В каких единицах будет выражена длина? (Ответ: Надо посчитать, сколько раз мерка 1 см укладывается в отрезке. В сантиметрах).

В дальнейшем при изучении единиц площади, учащимся предлагают аналогичные задания.

Задание № 3. Выбери мерку для измерения площади прямоугольника. Обоснуй свой ответ.

Задание № 4. Удобно ли мерку 1 см использовать для измерения площади прямоугольника, то есть для определения места, которое занимает прямоугольник? Почему?

Задание № 5. Как измерить площадь

прямоугольника, используя мерку 1 см2? В каких единицах будет выражена площадь прямоугольника?

(Ответ: Надо подсчитать, сколько квадратных сантиметров укладывается в прямоугольнике. В квадратных сантиметрах).

Вывод: длина измеряется линейными единицами: см, дм, м, др.; площадь – квадратными единицами: см2, дм2, м2, др.

Описанные задания не только знакомят учащихся с единицами геометрических величин, но и способствуют правильному формированию понятия о величине.

Понятие «периметр»

Понятие «периметр» является одним из основных понятий математики. Правильное сформулированное понятие «периметр» способствует предупреждению ошибок при записи единиц периметра, площади многоугольника. При знакомстве с этим понятием необходимо обратиться к толкованию термина «периметр» в математическом энциклопедическом словаре.

«Периметр» (слово греческого происхождения (греческое окружность), от греческого – измеряю вокруг) – длина замкнутого контура. Чаще всего этот термин применяется к треугольнику и многоугольнику и в этом случае означает сумму длин всех сторон.

В соответствии с изложенным толкованием, необходимо выяснить:

• 1. Какие из изображенных контуров можно измерить вокруг и почему:

(Ответ: 2), 4), 5), потому, что они замкнутые).

Вывод 1. Периметр – длина замкнутого контура.

• 1. Какая геометрическая фигура является контуром многоугольника?

(Ответ: Замкнутая ломаная линия).

• 1. Чем для многоугольника являются звенья этой ломаной?

(Ответ: Сторонами многоугольника).

Значит, для нахождения периметра многоугольника, необходимо найти сумму длин всех его сторон.

Вывод 2. Периметр многоугольника –

сумма длин всех сторон.

На последующих уроках понятие

«периметр многоугольника» конкретизируется до понятия «периметр прямоугольника».

Проведем логико-дидактический анализ первого урока по теме: «Периметр прямоугольника».

Тип урока: урок изучения нового материала.

Логический анализ

На данном уроке учащиеся впервые знакомятся с понятием «периметр прямоугольника» и способами его нахождения.

Особенности (существенные признаки) данного понятия.

Периметр прямоугольника – это:

1. Длина замкнутой ломаной линии

(границы прямоугольника).

1. Содержащей 4 звена.
2. Которые попарно равны как противоположные стороны прямоугольника.
3. Единицы измерения периметра –

это единицы длины: см, дм, м, др.

Этапы изучения понятия на уроке.

1. Повторить понятие «периметр многоугольника».
2. Познакомить с понятием «пери-

метр прямоугольника».

1. Познакомить с различными спосо-

бами нахождения прямоугольника.

Знания, умения и навыки, лежащие в основе изучения понятия «периметр прямоугольника». Понятия: «отрезок», «ломаная», «многоугольник», «прямоугольник».

Свойство сторон прямоугольника. Понятия: «длина», «длина отрезка»,

«длина ломаной». Единицы длины.

Способы измерения длины ломаной. Конкретный смысл действия умно-

жения.

Устные табличные и внетабличные приемы сложения и умножения в пределах 100.

Сложение величин, умножение величин на число.

Дидактический анализ

1. Понятие «периметр прямоугольника» полностью определяет сущность предстоящего урока.

Данное понятие конкретизирует понятие «периметр многоугольника», имеет важное практическое применение.

Следовательно, на уроке предстоит познакомить учащихся с данным понятием и способами его нахождения.

1. Логика урока требует твердой опоры на перечисленные выше знания и умения. Поэтому на уроке необходимо предусмотреть повторение этих вопросов.

Рассмотрим фрагменты данного уро-

ка.

Методы: беседа, практическая рабо-

та.

Средства: игра «Конструктор», кусок проволоки.

В ходе практической работы следует выяснить ряд вопросов и сделать необходимые выводы относительно периметра прямоугольника.

1. Какая фигура служит границей прямоугольника? (Замкнутая ломаная).
2. В чем ее особенность (то есть сколько звеньев содержит ломаная, как они

соотносятся между собой)? (4 звена, которые попарно равны, как противоположные стороны прямоугольника).

1. Как измерить длину ломаной? (Необходимо на прямой последовательно отложить отрезки, равные по длине звеньям ломаной, измерить длину полученного отрезка. Это и будет длина ломаной).

Возьмем прямоугольник, длина которого 20 см, а ширина 16 см.

(Учитель прикрепляет к доске прямоугольник с заданными сторонами, изготовленный из плотного материала (напри-

мер, картона). К противоположным сторонам прямоугольника прикреплены съемные полоски бумаги одинакового цвета (например, красного и синего)).

Найдем периметр этого прямоугольника. Для этого измерим длину ломаной, которая является границей данного прямоугольника.

(Учитель снимает прикрепленные к сторонам прямоугольника полоски цветной бумаги и последовательно располагает их на одной прямой).

I способ

1. Как найти длину полученного отрезка, то есть ломаной?

(Сложить длины полосок).

На доске записывают равенство: 20+16+20+16=72 (см)

Итак, мы нашли периметр прямоугольника.

Вывод 1.

1. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон.
2. Чтобы найти периметр прямо-

угольника надо сложить длины всех его четырех сторон.

1. Можно ли иначе расположить на прямой красные и синие полоски? Изменится ли при этом длина всей полоски, то есть ломаной?

(Учащиеся меняют расположение полосок и убеждаются, что длина ломаной от этого не изменяется. На доске записывают соответствующие равенства).

1. способ

20+20+16+16=72 (см)

Как иначе записать сумму данных чисел?

20*2+16*2=72 (см)

Итак, мы иначе посчитали периметр прямоугольника.

Сколько раз в периметре содержится длина и ширина прямоугольника? (Два раза).

Вывод 2.

1. Периметр прямоугольника – это

две длины и две ширины.

1. Чтобы найти периметр прямоугольника, надо удвоить длину, удвоить ширину и полученные результаты сложить.

Это и есть другой способ нахождения периметра прямоугольника.

Вернувшись к первоначальному расположению полосок на прямой, учащиеся практическим путем (перегибанием или наложением) выявляют третий способ нахождения периметра прямоугольника.

1. способ

(20+16)*2=72 (см)

Мы определили третий способ нахождения периметра прямоугольника.

Вывод 3.

1. сумма длины и ширины прямоугольника – это половина его периметра, то

есть полупериметр. Значит периметр прямоугольника – это два полупериметра.

1. чтобы найти периметр прямоугольника, надо найти его полупериметр и умножить на 2, то есть удвоить.

Мы с вами познакомились с различными способами нахождения периметра прямоугольника, узнали, какими единицами он измеряется.

Действия с однородными величинами

Большинство учащихся испытывают трудности при выполнении действий с однородными величинами, выраженными в единицах различных наименований. Эти трудности могут обусловливаться причинами:

1. Недостаточной работой по формированию представлений о той или иной величине.
2. Недостатком практических упражнений, целью которых является измерение величин.
3. Формальным введением единиц величин и соотношений между ними.
4. Однообразием упражнений, связанных с переводом однородных величин одних наименований в другие.

Прежде всего, необходимо, чтобы учащиеся понимали, что складывать, вычитать и сравнивать можно только однородные величины. Для этой цели:

1. Подумай! Какие величины можно сравнивать? поставь знаки > или <:

7300 мм...73км;

54км...52кг;

35м...32м2;

20км...207м.

1. Подумай! Какие величины можно сложить? Вычисли их сумму:

3078м+285дм;

870м+130дм2;

2м 6дм 4см+6см; 703дм+107кг.

При изучении действий с однородными величинами, выраженными в одинаковых или различных единицах используется алгоритм (сложения, вычитания, сравнения):

1. Определи, в одинаковых или разных единицах выражены величины.
2. Если величины выражены в одинаковых единицах, то выполни действие с

ними, как с обычными числами.

1. Если величины выражены в разных единицах, то:

а) вырази их в одинаковых единицах; б) выполни действие с ними, как с

обычными числами.

1. Преобразуй, если необходимо, полученный результат.

Задание №1

Сравни 3дм 4см и 7см.

Решение:

3дм 4см=34см 34см>7см

3дм 4см>7см.

Задание №2

Выполните действие 2т 079кг+756кг.

Решение:

2т 079кг=2079кг 2079+756=2835 (кг)

2835кг=2т 835кг

2т 079кг+756кг=2т 835кг.

Описанный алгоритм применим всегда при выполнении действий с величинами. Но встречаются случаи, когда задание можно выполнить без его применения. Первый способ выполнения задания №1 связан с переводом длины в сантиметры, другой когда эту операцию можно не выполнять.

Например, в задании №1 сравниваются длины, выраженные в различных единицах: дециметрах и сантиметрах. Большая из них дециметр. Величина слева содержит 3 дм, величина справа всего 7 см, это меньше дециметра. Значит, величина слева больше величины справа, то есть 3дм 4 см>7см.

Проведем подробный анализ результатов выполнения типовых заданий раздела

«Величины, их измерение. Измерение геометрических величин».

Задание. Сравни. Поставь знак >, <,

=.

Цель. Выявить уровень сформированности у учащихся умения сравнивать длины, выраженные в различных единицах.

Решение с ошибкой: 3дм 4см=7см.

Ошибка: ученик неправильно поставил знак сравнения «=».

Причина ошибки: ученик не выразил 3дм 4см в сантиметрах, он просто сложил числа 3 и 4. Это свидетельствует о том, что ученик не знает алгоритма такого перевода.

Итак, ошибка в сравнении величин явилась следствием ошибки в преобразовании длины из различных единиц в одинаковые.

Задание. Выполните действие 2т 079кг+756кг.

Цель: выявление умения учащихся

ка.

Решение с ошибкой №2. а) Р =3+5*2=13 (см)

б) S =3+5=8 (см2).

Ошибки:

а) в ходе решения задачи на нахож-

складывать массы, выраженные в единицах разных наименований.

Решение с ошибкой: 1) 2т 079кг=279кг

2) 279+756=1035 (кг)

3)

а) 1035кг=1т 035кг или б) 1035кг=10т 35кг

Ошибка №1. Неправильно перевел 2т 079кг в килограммы.

Причина ошибки: причина явно не видна. Либо ученик не знает соотношения между тонной и килограммом, либо неверно выполнил сложение 2000+79.

Ошибка №2.

б) 1035кг=10т35кг. Неправильно перевел 1035кг в тонны и килограммы.

Причина ошибки: либо не знает соотношения между тонной и килограммом, либо не смог число 1035 представить в виде суммы 100+35.

Кроме этого, у ученика не сформирован навык самоконтроля, ученик не видит, что результат сложения двух величин меньше одного из слагаемых, чего быть не может.

Задание.

Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами 3см 5 см.

Цель: выявление умения учащихся находить периметр и площадь прямоугольника с заданными сторонами.

Решение с ошибкой №1: Р =5+3=8 (см)

S =5*3=15 (см)

Ошибки:

а) в ходе решения задачи на нахождение периметра прямоугольника: найден не периметр, а полупериметр прямоугольника;

б) в записи единиц площади. Причины ошибок:

а) не знает формулы нахождения периметра через полупериметр

Р = (a+b)*2;

б) не знает единиц площади, путает их с единицами периметра прямоугольни-

дение периметра прямоугольника не удвоил одну из его сторон;

б) в ходе решения задачи на нахождение площади прямоугольника (не умножил, а сложил его стороны).

Причины ошибок:

а) не знает теоретического положения: «периметр прямоугольника это две длины и две ширины»;

б) не знает формулы нахождения площади прямоугольника.

Для формирования правильного представления о величинах важно уделить внимание следующим вопросам:

• методике знакомства с величиной;
• формированию измерительных навыков;
• формированию умений перевода величин, выраженных в единицах одних наименований, в другие [2, 3].

Величины рассматриваются в тесной связи с изучением натуральных чисел и дробей; обучение измерении связывается с изучением счёта; измерительные и графические действия над величинами являются наглядными средствами и используются при решении задач. При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определённые этапы, в которых нашли отражение: математическая трактовка понятия величина, взаимосвязь данного понятия с изучением других вопросов начального курса математики, а так же психологические особенности младших школьников.

В методике выделяют 8 этапов изучения величин:

1-й этап: выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребёнка).

2-й этап: сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).

3-й этап: знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

4-й этап: формирование измерительных умений и навыков.

5-й этап: сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

6-й этап: знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

7-й этап: сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8-й этап: умножение и деление величин на число.

Понятие величины в начальном курсе математики не определяется, то есть даётся без определения. Понятие величина раскрывается на конкретных примерах и основывается на опыте ребёнка. Величины в начальном курсе математики рассматривают как свойство предметов или явлений, проявляющееся в результате сравнения [4, 5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах.Ярославль, 1997. – 141 с.
2. Анипченко З.А. Задачи, связанные с величинами и их применение в курсе математики в начальных классах. М.: 1997. – С. 2-5
3. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. М. Просвещение, 1988. – 442 с.
4. Овчинникова М.В. Методика изучения темы «Величины» на уроках математики в начальных классах: Методические рекомендации для студентов факультета «Начальное обучение. Дошкольное воспитание». Ялта: ЦОП «Надежда», 2000. – 54 с.
5. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В.. Методика преподавания математики в начальных классах. – М., 1984. – 335 с.