Применение математического аппарата для описания межатомного взаимодействия в сплаве nial

Упорядочивающиеся сплавы и интерметаллиды имеют большое практическое применение в качестве конструкционных материалов, так как обладают целым спектром уникальных физических и физико-механических свойств, таких, как прочность, жаропрочность, магнитные свойства. Разнообразие свойств таких систем, по сравнению с металлами и сплавами, представляющими регулярные твердые растворы, базирующиеся на упаковке структуры в стандартном наборе кристаллических решеток, связано с тем, что им соответствует значительно большее разнообразие сверхструктурных упаковок узлов кристаллических решеток компонентами сплавов. Стабильность свойств таких материалов определяется фактором атомного упорядочения в распределении компонент по подрешеткам. Состояние порядка сплава, фазовые превращения порядок-беспорядок определяются наличием в материале различных дефектов, среди которых важную группу составляют точечные дефекты – вакансии, дефекты замещения, примеси, междоузлия, и их комплексы.

Для нанотехнологий и наноматериалов наибольший интерес представляют модели, относящиеся к одному из наиболее глубоких уровней описания структуры твердых тел – атомному уровню описания. На этом уровне материалы рассматриваются как классические системы взаимодействующих атомов.

Целью данной статьи является выбор и применение математического аппарата для описания межатомного взаимодействия в сплаве NiAl.

В качестве объекта исследования выбран упорядоченный сплав NiAl. В состоянии полного беспорядка данный сплав имеет ГЦК решетку. При определенных условиях и в определенных интервалах температур сплав трансформируется в орторомбическую или тетрагональную структуру. Образуемая упаковка тетрагональной структуры называется сверхструктурой L11. На рисунке 1.1 приведена диаграмма состояния системы Ni-Al.

Рис. 1.1Диаграмма состояния системы Ni-Al

Методы моделирования

Наиболее широко в настоящее время используется метод молекулярной динамики, сущность которого заключается в расчете траекторий движения частиц, моделирующих конкретный физический объект. Динамический метод предназначен для решения задач о движении совокупности отдельных атомов, описываемых как материальные точки, обладающие массой, в поле сил взаимодействия атомов системы, инерциальных и внешних сил, прилагаемых к исследуемому твердому телу. Метод молекулярной динамики основан на решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений Ньютона с использованием законов классической механики для системы атомов.

Сущность метода молекулярной статики [1, 2] состоит в минимизации потенциальной энергии системы взаимодействующих частиц как функции координат. Потенциальную энергию взаимодействия атомов можно описать тем же уравнением, которое используется в методе молекулярной динамики или в методе Монте-Карло. При этом сначала определяется набор потенциальных функций, связанный с решаемой задачей. Наиболее часто используются парные потенциалы как наиболее простые и неплохо зарекомендовавшие себя. Задается расчетный блок, размер которого зависит от целей экспериментов, определяется тип граничных условий. Как правило, на границы накладываются жесткие, гибкие или периодические условия. В структуру исследуемого кристалла вводится некоторый дефект, затем проводится релаксация системы атомов с целью поиска минимума внутренней энергии кристалла при дискретном смещении атомов вблизи дефектной области [1, 2]. Минимизация функции многих переменных в методе молекулярной статики производится с помощью одного из численных итерационных методов.

Данный метод является наиболее простым, но имеет ограниченную область применения, так как при моделировании учитывается только потенциальная энергия относительных смещений атомов в исследуемой кристаллической структуре.

Методом Монте-Карло [1, 2, 3] принято называть такие методы, в которых точное динамическое поведение системы заменяется стохастическим процессом. Все атомы исследуемой системы находятся в узлах кристаллической решетки и считаются неподвижными относительно ее центров, рассматриваются лишь дискретные перескоки отдельных атомов из одного узла кристаллической решетки в другой узел. На систему накладываются периодические граничные условия. Параметры расчетной ячейки определяются из условия минимума потенциальной или свободной энергии. При расчетах энергии кристаллической решетки пренебрегают кинетической энергией теплового движения частиц, при этом температура компенсируется тем, что учитывается коэффициент линейного расширения кристаллической решетки. В методе Монте-Карло все исследуемое явление дробится на более простые явления до такой степени, когда можно выделить некоторое элементарное событие, вероятностные характеристики которого можно определить посредством установленной зависимости, связанной с физическими характеристиками рассматриваемого процесса. С помощью генератора случайных чисел компьютер определяет вероятность каждого из элементарных событий. Критерием, по которому оценивается вероятность перехода системы из одного состояния в другое, чаще всего является изменение конфигурационной энергии данной системы [4, 35]. Преимуществом метода Монте-Карло является возможность моделирования процессов, происходящих в сравнительно больших атомных системах. При относительно низких температурах этот метод описывает процессы с небольшой погрешностью вычислений. При повышении температуры погрешность вычислений с использованием данного метода возрастает, так как не учитываются колебания атомов относительно узлов кристаллической решетки.

Метод статистических испытаний или метод Монте-Карло в физике конденсированного состояния нашел широкое применение в тех случаях, когда в исследуемых системах изучаются основные тенденции протекания процессов. Стохастические методы, как правило, используются при исследовании процессов, которые в реальных условиях имеют большую продолжительность по времени, например, фазовые переходы порядок-беспорядок, диффузия и т.д., для описания систем, требующих учета параметров дальнего и ближнего порядка [4, 5-12]. Этот метод позволяет исследовать изменения структурного и сверхструктурного порядков, исследовать кинетику установления равновесия.

При моделировании с помощью классической МД или МК используется понятие о потенциале межатомного взаимодействия, который является главной характеристикой взаимодействия атомов. При моделировании систем, состоящих из большого числа частиц, используются исключительно классические методы.

При составлении модели, описывающей процессы, происходящие внутри кристалла на атомном уровне, выполняются следующие последовательные этапы работы:

1. выбирается базис кристаллической структуры, который распространяется в трех направлениях вдоль осей, образуя так называемую расчетную ячейку, и определяется размер расчетного блока, на основе которых задаются начальные упаковки атомов в структуре материала;
2. выбирается потенциал взаимодействия, который должен быть достаточно простым, с одной стороны, и достоверным, с другой стороны; выполняется апробация потенциала по наиболее характерным и известным из экспериментов свойствам материала;
3. определяются "граничные условия", накладываемые на расчетный блок кристалла;
4. определяется метод и соответствующий ему математический аппарат для описания движения атомов (или частиц).

Рассмотрим метод Монте-Карло для решения поставленной задачи.

Начальные условия и исходные дан-

ные.

1. Сплав – NiAl
2. Количество атомов – 180 000.
3. Взаимодействие осуществляется по 5 сферам.
4. Взаимодействия атомов между собой описывается с помощью парных потенциалов Морзе.
5. Используемый метод моделирования физического эксперимента – метод Монте-Карло.
6. ГЦК решетка.

Параметр решетки для выбранного сплава указан в Таблице 1.

Таблица 1. Кристаллическая структура соединений системы NiAl [12]

Среди парных потенциалов межатомного взаимодействия хорошо зарекомендовали себя потенциалы Морза, Леннард-Джонса и т.п. [2, 13, 14]. Молекулярно-динамические модели простых ГЦК металлов адекватно ведут себя при использовании парных потенциалов: кристаллическая структура стабильна, энергетические и силовые характеристики описываются с удовлетворительной точностью. Кроме того, сравнительные расчеты статическим методом [15] показывают, что использование многочастичных и парных потенциалов не приводит к качественно различным результатам. Поэтому для описания межатомных взаимодействий используются парные потенциальные функции Морза:

 KL (r)  DKL  KL exp  KL r  KL exp  KL r   2

где KL, KL, DKL – параметры, определяющие взаимодействие пары атомов сорта KиL; r – расстояние между атомами. Сила, действующая на атом, равна:

F  2D   exp  r  

KL KL  KL KL

K



1  2



2



1 

 4



Параметры потенциальных функций, описывающих взаимодействия атомов одного сорта, находятся из свойств чистых металлов. Величины KK, KK, DKK определяются по значениям энергии сублимации, параметра решетки и объемного модуля упругости. Для определения параметров взаимодействия атомов разного сорта используются характеристики упорядоченных сплавов. При расчете параметров, описывающих взаимодействие Ni-Al, используются значения энергий образования сдвиговых антифазных границ в интерметаллидеNi3Al [17, 18], затем параметры модифицируются для двумерного

кристалла [16].

Рассчитанные таким способом потенциалы Морза удовлетворяют условию равновесия решетки сплава, правильно описывают анизотропию энергий антифазных границ и основное свойство интерметаллидов: сохранять порядок вплоть до температуры плавления. Параметры потенциалов Морза для взаимодействий Al-Al, Ni-Ni, Ni-Al приведены в таблице 2.

Применение единого набора потенциалов для описания различных явлений в системе Ni-Al обусловлено тем, что многие из них взаимосвязаны и протекают одновременно в объеме расчетной ячейки.

Таблица 2. Параметры потенциалов Морза для взаимодействий в сплаве Ni-Al

Рассматривая поставленную задачу и исходя из первоначальных условий, можно сделать вывод об алгоритме, который будет применяться в данной работе. Наиболее подходящим является алгоритм Метрополиса.

Алгоритм Метрополиса. Для повышения эффективности расчета средних значений ключевым является случайная выборка состояний в соответствии с их вероятностью. Для этого генерируется так называемая марковская цепь случайная последовательность состояний, в которой каждое последующее состояние зависит только от настоящего и не зависит от прошлых состояний. Математически это выражается следующим образом: в Марковской цепи условная вероятность состоя-

ния равна вероятности

Пусть система находится в конфигурации, которую мы обозначим о (old), имеющей ненулевую вероятность. Из этого

состояния путем случайных изменений координат генерируется новое состояние n(new). Вероятность нового состояния рав-

наДля построения алгоритма Метрополиса необходимо определить вероятность перехода из старого состояния в новое п(о n), то есть нужно разработать правило для принятия решения, допускать переход или отказаться.

Чтобы понять это правило, представим себе, что одновременно проводится очень большое число М моделирований Монте Карло, где М намного больше, чем полное число возможных конфигураций системы. Число систем в любой конфигурации о обозначим m(o); это число пропорционально вероятности состояния p(o). Нас интересует равновесное распределение состояний и переходов между ними. При таком равновесии среднее число переходов о n, выводящих систему из состояния о, равно числу переходов в это состояние со всех других. Можно наложить и более сильное условие, что в равновесии среднее число принятых переходов из состояния о в любое другое состояние nравно среднему числу обратных переходов из состояния n в о. Таким образом, цепочка состояний, которую нужно генерировать, должна удовлетворять следующему условию детального равновесия:

(1)

Этому условию можно удовлетворить различными способами. В алгоритме Метрополиса принимается следующее правило:

(2)

Видно, что это правило удовлетворяет условию (1). Правило (2) позволяет генерировать, начиная с некоторого начального состояния, требуемое количество mсостояний, в соответствии с их вероятностью, и по ним произвести усреднение физических величин:

(3)

Поскольку состояния генерируются в соответствии с их вероятностью, умножения на фактор Больцмана в этом выражении нет. Алгоритм Метрополиса может быть реализован следующим образом. В системе случайным образом выбирается одна частица. Пусть ее текущие координаты Этой частице придается случайное перемещение в случайном направлении:

(4)

где Arm максимальное отклонение в каждом направлении. Для изменения каждой координаты генерируется новое случайное число. Для новой конфигурации рассчитывается энергия системы; для этого достаточно пересчитать энергии атомов небольшой области вблизи выбранной, так как потенциал взаимодействия короткодействующий это можно сделать введением списка соседей, как и в МД. Энергия новой конфигурации Un сравнивается с энергией старой U0. Если , новая конфигурация принимается и становится стартовой для следующего шага. Если жето рассчитывается отношение факторов Больцмана нового и старого состояний

и генерируется случайное число rand (0,1), равномерно распределенное на отрезке (0,1). Если

(5)

новая конфигурация принимается; в противном случае она отвергается, и старая конфигурация остается стартовой для новой попытки.

Максимальное отклонение Arm является параметром, позволяющим регулировать среднее отношение принятых конфигураций к общему числу попыток (коэффициент принятия). Если Arm мало, то изменение энергии мало, поэтому коэффициент принятия велик. Но при этом изображающая точка системы будет слишком медленно передвигаться по конфигурационному пространству системы. При больших Arm будут генерироваться конфигурации с перекрытием частиц, обладающие высокой энергией, поэтому коэффициент принятия становится меньше. Вместе с тем, будет исследована большая часть конфигурационного пространства. Оптимальное значение Arm позволяет достичь компромисса между указанными факторами и за разумное время исследовать необходимую для правильного расчета средних часть конфигурационного пространства.

Атом, смещение которого моделируется, может быть выбран на каждом шаге случайным образом; можно смещать атомы последовательно, друг за другом. На каждом шаге могут быть смещены несколько атомов. Путем оптимизации параметрав этом случае можно более эффективно исследовать конфигурационное пространство.

Так же, как при МД моделировании, моделирование методом МК требует определенного числа шагов для достижения равновесия. Независимо от исходной конфигурации, алгоритм Метрополиса через некоторое, достаточно большое число шагов приводит к равновесию, поскольку начальное состояние в Марковской цепи «забывается». В течение этих шагов можно отслеживать изменения энергии, структурных параметров, среднеквадратичных отклонений и т.д. Средние значения определяются с использованием шагов после достижения равновесия.

Так же, как в МД, в методе МК моделирование можно проводить для различных ансамблей (микроканонических, канонических, изотермо-изобарических, больших канонических). Главным отличием метода МК от МД является отсутствие времени и импульсов, поэтому с его помощью могут быть определены только средние значения величин, зависящих только от координат атомов.

Таким образом, в результате проведенной исследовательской работы, достигнуты следующие результаты. В качестве метода моделирования физического эксперимента выбран метод Монте-Карло. Изучен и обоснован математический аппарат для описания межатомного взаимодействие сплава NiAl, а также выбран алгоритм, который будет применяться в дальнейшем при моделировании физического эксперимента по созданию данного композиционного сплава.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике: Пер. с англ./ Под ред. С.А. Ахманова. – М.: Наука, 1990, 176 с.
2. Плишкин Ю.М. Методы машинного моделирования в теории дефектов кристаллов В кн.: Дефекты в кристаллах и их моделирование на ЭВМ. – Л.: Наука, 1980. С. 77-99.
3. Старостенков М.Д., Денисова Н.Ф., Полетаев Г.М. и др. Компьютерный эксперимент: его место, методы, проблемы, некоторые достижения в физике твердого тела // Физика, №4, Изд-во Карагандинского государственного университета, 2005. С. 101-113.
4. Андрухова О.В. Компьютерное моделирование атомного упорядочения и фазового перехода порядок-беспорядок в бинарных сплавах стехиометрического состава / Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико математических наук. – Барнаул, АГТУ, 1997. 222с.
5. Старостенков М.Д., Козлов Э.В., Андрухова О.В., Ломских Н.В., Гурова Н.М. Моделирование фазовых переходов беспорядок-порядок. // Вестник Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова, приложение к журналу «Ползуновский альманах», 1999, №1. С. 45-66.
6. Гурова Н.М. Компьютерное моделирование термоактивируемых превращений, протекающих на антифазных и межфазных границах / Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук. – Барнаул, 2000. – 171 с.
7. Садовников С.И., Ремпель А.А. Ближний порядок и парные корреляции в бинарном твердом растворе с квадратной решеткой // Физика твердого тела, 2007, 49 (8). С. 1474.
8. Dai J., Kanter J.M., Kapur S.S., Seider W.D., Sinno T. On-lattice kinetic Monte Carlo simulations of point defect aggregation in entropically influenced crystalline systems // Physical Review B. 2005, V.72. Рp.134102 (10).
9. Zollner D., Streitenberger P. Monte Carlo Simulation of Normal Grain Growth in Three Dimensions // Materials Science Forum, Vols. 567-568 (2008). Pp.81-84.
10. Taguchi N., Tanaka S., Akita T., Kohyama M., Hori F. First-principles calculations of the atomic and electronic structures in AuPd slab interfaces // Materials Science Forum, Vol.139 (2008). Pp.29-33.
11. Starostenkov M., Dudnik E., Popova L. and Chernykh E. Planar defects and their role in physics-mechanical properties of ordered alloys and intermetallides // Materials Science Forum, Vols. 567-568 (2008). Pp.117-121.
12. Старостенков М.Д., Дудник Е.А., Попова Л.А. Влияние деформации и температуры нагрева на изменение порядка в интерметаллидеNi3Al // Деформация и разрушение материалов. "Наука и технологии", 2008, №2. С. 13-16.
13. Пацева Ю.В. Исследование особенностей самодиффузии в двумерных металлах. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. – Барнаул, 2005. 136 с.
14. Gumbsch P., Zhou S.J. and Holian B.L. Molecular dynamics investigation of dynamic crack stability// The American Physical Society, 1997, V.55, №6. Pр. 3445-3455.
15. Полетаев Г.М., Старостенков М.Д., Краснов В.Ю., Ракитин Р.Ю., Аксенов М.С. Молекулярная динамика: основные проблемы моделирования // Труды 9-й междунар. научн.-техн. конференции "Композиты – в народное хозяйство" (Композит 2005). – Барнаул: изд-во АлтГТУ, 2005. С. 87-91.
16. Кулагина В.В., Еремеев С.В., Потекаев А.И. Метод молекулярной динамики для различных статистических ансамблей // Изв. вузов. Физика, 2005, №2. С.16-23. (150)
17. Журавлев Л.Г., Филатов В.И. Физические методы исследования металлов и сплавов: Учебное пособие для студентов металлургических специальностей. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 157 с.
18. Старостенков М.Д., Медведев Н.Н., Полетаев Г.М. К вопросу о систематических погрешностях в ММД // В кн.: Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях. Межвузовский сборник / Под ред. Леонова Г.В. Барнаул: изд-во АлтГТУ, 2005. С. 5-8.