Числа фибоначчи и их обобщение

В данной статье рассматриваются некоторые вопросы, связанные с числами Фибоначчи, которые преподаватели  могли  бы  применять  в  обучении  детей.  Целью  автора  является  подробное  изучение  и описание чисел Фибоначчи, а также создание базы оригинальных задач требующих нестандартного решения. Содержание статьи состоит из истории чисел Фибоначчи, определения и свойств чисел Фибоначчи, формулировки задач и их решения. 

I.  О числах Фибоначчи и их связь с тригонометрией

В   этой   части   мы    рассмотрим    числа    Фибоначчи   (определение,    свойства,    ...),    и   их   связь с тригонометрическими функциями, а также рассматриваются интересные вопросы, связанные с числами Фибоначчи, которые позволяют расширить кругозор читателя- математика. Подобные задания не часто рассматриваются в связи с специальностью свойств чисел Фибоначчи, хотя они являются существеным элементом теории чисел и прикладной математики (теории поиска, разрезания прямоугольника на сумму квадратов и др).

а) О числах Фибоначчи

Перед тем как объяснить свойства чисел Фибоначчи, рассмотрим следующую задачу:

«Сколько пар кроликов в год рождается из одной пары?»

«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течения года, если порода кролика такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения».

Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары: из них одна пара, а именно первая, рождает в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; у них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся ещё 2 пары кроликов и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5; из них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом месяце достигнет 8; в пятом месяце 5 пар произведут ещё 5 пар, что,  в  общем, будет  13,  далее,  в  шестом  рождают  8  пар  и  будет  21,  в  седьмом  - 34, в  восьмом  -  55, в девятом - 89, в десятом - 144, в одиннадцатом - 233, в двенадцатом - 377. Действительно, на этих полях можно заметить, что складывается первое со вторым, второе с третьим, третье с четвертым, и так далее, до тех пор, пока мы не сложим десятое с одиннадцатым, т.е. 144 и 233 и не получим 377, и так можно производить до бесконечного количества месяцев.

Перейдем от кроликов к числам, и рассмотрим следующую последовательность:

 

u1, u2, u3, …, un,

 

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих членов, т. е. при всяком n>2

 

un = un-1 + un-2.

 

Такие последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, часто встречаются в математике и называются рекуррентными. Если обратиться к важному частному случаю, когда u1 = 1, и u2 = 1, нетрудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью членами будут числа:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,

 

которые уже встречались нам в задаче о кроликах. В честь автора этой задачи вся последовательность называется рядом Фибоначчи, а каждый его элемент называется число Фибоначчи.

Сама последовательность,  разумеется,  имеет  присущие  ему  свойства  (на  самом  деле  их  много, но в дальнейшем будут показаны только те, которые понадобятся в решении следующих задач).

 

б) Об одной задаче связанной с теоретико-числовым свойством чисел Фибоначчи

Для начала рассмотрим интересную и элементарную задачу, которая позволяет вникнуть в суть теоретико–числовых свойств чисел Фибоначчи.

Задача:

Найти возрастающую арифметическую прогрессию с наименьшей разностью, состоящую из натуральных чисел и не содержащую ни одного числа последовательности Фибоначчи.

Решение:

На самом деле известно, что любая прогрессия представима в виде « а1 + d × k », где k любое целое число, а1 – первый элемент последовательности, а d – это разность прогрессии.

 

 

Из книги Н. Воробьёва «Числа Фибоначчи» нам известно, что остатки от деления на m последовательных чисел Фибоначчи составляют периодическую последовательность с чистым периодом. Проверим для начала для m=2.

Сама последовательность Фибоначчи:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 600, 977, 1577, 2554, 4131, 6685 …

 

При делении на m=2, вышеуказанные числа дают в остатках: 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, и т.д.

Очевидно, что если после единицы стоит ноль, то следующие два остатка будут 1, 1, что совпадают с начальными двумя остатками. Очевидно, остатки периодичны. Н. Воробьев подробно рассмотрел доказательства периодичности последовательности Фибоначчи по любому модулю mZ+.

Для  m=2  мы  имеем  все  возможные  вычеты  по  модулю  m=2  (0  и  1).  Это  значит,  что  любая

арифметическая прогрессия с разностью d=2, включает в себя бесконечно много чисел Фибоначчи.

Рассмотрим остатки при делении на m=3:

 

1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0 и т.д. (с периодом 8)

 

Точно так же заметим, что мы имеем все возможные вычеты по модулю m=3. Рассмотрим остатки при делении на m=4:

 

1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0 и т.д.     (с периодом 6)

 

Тут тоже имеем все возможные вычеты по модулю m=4. Рассмотрим остатки при делении на m=5:

 

1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0 и т.д.     (с периодом 20)

 

Тут тоже имеем все возможные вычеты по модулю m=5. Рассмотрим остатки при делении на m=6:

1, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5, 5, 4, 3, 1, 4, 5, 3, 2, 5, 1, 0 и т.д.     (с периодом 24)

 

Тут тоже имеем все возможные вычеты по модулю m=6. Рассмотрим остатки при делении на m=7:

 

1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 0 и т.д.     (с периодом 16)

 

Тут тоже имеем все возможные вычеты по модулю m=7. Теперь рассмотрим остатки при делении на m=8.

 

1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0 и т.д. (с периодом 12)

 

Очень интересно, замечаем, что нет вычетов 4 и 6.

Следовательно, наименьшая прогрессия должна быть вида 8k+4, чтобы не включала в себе ни одного из чисел Фибоначчи.                     Теперь же, приступим к его доказательству.

Возьмём   un      как     n -ый элемент последовательности Фибоначчи.

u1=     u2   = 1;         un+2=  un+1   +  un    для  n =  1,  2,  3, …,       числа  u1,  u2,  u3,  …,  u14   дают при делении на 8 соответственно следующие остатки:

 

1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, 1, 1.

 

Отсюда видно, что u13  – u1         и       u14  – u2      делимы на 8.    Таким образом, можно сказать, что для n = 1 имеем, что                         un+12 – un делится    на 8, и un+13 – un+1      делится на 8.

Предположим       теперь, что последние два соотношения выполняются для некоторых натурального    n.

Тогда un+12 – un + un+13 – un+1         тоже делима на 8.

 

И un+12 + un+13 – (un + un+1 ) =     un+14 – un+2.

Если выполняется для n, то имеет значение и для n+1. Отсюда индукцией по n получаем, что un+12 – un делима на 8 для n = 1, 2, 3, 4, … . Таким образом доказано, что последовательность остатков, получаемых

 

 

при      делении       на     8     последовательных    чисел      Фибоначчи,       является     периодической        с     чистым двенадцатичленным периодом.

Рассмотрение полученной выше последовательности остатков от деления на 8 первых четырнадцати членов последовательности Фибоначчи показывает, что остатками могут быть только числа 0, 1, 2, 3, 5 и 7.

Так как среди остатков нет чисел 4 и 6, то в прогрессиях 8k+4 и 8k+6 (k = 1, 2, …) не содержится ни одного члена последовательности Фибоначчи. Это, очевидно, арифметические прогрессии (составленные из натуральных чисел) с наименьшей возможной при этих условиях натуральной разностью.

Но может быть задача и такого типа:

Найти арифметическую прогрессию ak+b (k= 0, 1, 2, …), где a и b – взаимно простые натуральные числа, не содержащие ни одного числа последовательности Фибоначчи.

Рассматривая далее остатки при делении для m     при m>8, постараемся найти ещё варианты, где не все вычеты присутствуют.

Рассмотрим остатки при делении на m=9:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 0, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 0 и т.д.     (с периодом 24)

 

Тут тоже имеем все возможные вычеты по модулю m=9. Рассмотрим остатки при делении на m=10:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8 и т.д.     (с периодом 60)

 

Мы не стали рассматривать весь период, но выше понятно, что присутствуют все возможные вычеты по модулю m=10.

Рассмотрим остатки при делении на m=11:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 2, 10, 1, 0 и т.д.     (с периодом 10) В этой последовательности нет чисел 4,6,7 и 9.

Каждое число взаимно простое с 11, следовательно, 11k+4 является решением.

Таким образом, исследуя, на первый взгляд, простую задачу, мы рассмотрели несколько немаловажных свойств чисел Фибоначчи.

 

6.3 Об одном аналитическим равенстве для чисел Фибоначчи. Имеет место утверждение:

При всех n≥2:

 

 

где:

 

un - n-ое число в последовательности Фибоначчи.

Для      начала    рассмотрим        справедливость    формулы       на     нескольких       числах,      например       для

 

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Рассмотрим сперва для n=1.

 

u2 =     = 1 – 0 = 1              Что соответствует условию.

u3 = ( ) ( ) = (1 – 2i   ) ( 1 – 2i (-)) = (1-i) (1+i) = 1 - i2  = 1 + 1 = 2

Для u3 как видно тоже соответствует условию.

 

u4 = (                            ) (                              ) (                              ) =

= ( 1 – 2i   ) (1 – 0) (( 1 – 2i                 )) = ( 1 -         i ) ( 1 +         i) = 1 – 2i2 = 1 + 2 = 3    (Соответствует)

Теперь надо показать для случая, когда n = 5. То есть доказать, что:

 

u5 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 5

Перемножив крайние получим:

 

 

 

u5 = (                            ) (                              ) (                              ) (                              )

 

Имея свойство cosα =     -cos(π – α)

Получаем         и    .         Подставляя значения:

u5 = ( ) (                            ) (                              ) ( ) =

= ( 1 + 4 cos2           ) ( 1 + 4 cos2              )                                                                              (1)

 

Теперь, чтобы решить далее, нам надо знать следующее свойство.

 

Мы знаем что     =

Действительно, зная свойства sin2α = 2 sinα cosα           и           cos2α = 1 – 2 sin2α , получаем:

 

sin = 2 sin cos  = 4 sin cos           cos      = 4 sin sin  cos  sin  = 4 sin                               sin       cos

1 = 4 sin       cos

1 = 4 sin ( 1 – 2 sin2     ) Раскрывая скобки и перенося в одну сторону, получаем уравнение:

8 sin3          – 4 sin       + 1 = 0                                                8x3  – 4x + 1 = 0

 

 

Разложив на множители, получаем:

 

 

(2x – 1) (4x2  – 2x – 1) = 0

 

 

 

Получаем три корня:

 

 

x1 =       ,       x2 =                  ,       x3 =

 

 

Зная, что sin   есть положительное и не равно   , получаем sin = =   Далее, как известно:

 

cos        = 1 – 2 sin2             = 1 –                  )2  = 1 – 2 (               ) = 1 – (              )     =

 

Окончательно имеем:

 

cos    = cos (   -   ) = sin   =

Равенство доказано.

Найденное значение подставляем в (1) и получаем:

 

( 1 + 4 cos2          ) ( 1 + 4 cos2              ) = ( 1 + 4 (            )2  ) ( 1 + 4 (           )2  ) =

 

= ( 1+ 4 (                ) ) (1 + 4 (                ) ) = ( 1 +                   ) ( 1 +                   ) =

=(                      ) (      ) = (                 ) = 5    ( Соответствует условию) Итак, мы показали, что наше утверждение верно в случае n=5.

 

 

И в последнюю очередь рассмотрим для n = 6.

 

f6 = (                            ) (                              ) (                              ) (                              ) (                              ) =

= (                    ) (                   ) ( ) (                             ) (                              ) =

= (                  ) (           ) (            ) (                  ) = ( 1 + 3) ( 1 + 1) = 8

 

Мы убедились, что для n=2, 3, 4, 5, 6 начальное условие верное. Теперь постараемся доказать следующее утверждение:

 

где [x] – это целая часть числа х. Доказательство:

Пусть  n  =  2m+1,  тогда  в  произведении  имеются  ровно       2m      сомножителей   объединяя  первое с последним, второе с предпоследним и т. д. до двух сомножителей стоящих рядом.

Количество пар принимает значение равное . Тогда:

(1 – 2i cos) (1 – 2i cos) = 1 – 2i(cos + cos) + 4i2 cos cos Зная утверждение cos(180 –               ) = -cos   , имеем cos = - cos

Подставляя в значения, получим:

– 2i(cos       + cos             ) + 4i2 cos       cos                 = 1 – 2i(cos       - cos     ) - 4i2 cos       cos        =

 

 

 

Пусть n=2m – четное число.

 

=1 – 2i(0) – 4(-1)                     = 1 + 4

 

 

 

Кроме одного сомножителя k = m =        все остальные также образуются попарно:

 

(1, n-1), (2, n-2), (3, n-3), …, (,  .

Здесь тоже количество пар принимает значение равное . Отсюда легко заметить, что в обоих случаях выполняется теорема:

 

 

В завершение рекомендуем прорешать следующие частные случаи основного равенства.

 

Случаи, рекомендуемые для самостоятельного доказательства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

(3)

 

                                                                   (4)

 

При рассматрении нескольких случаев нам уже открылось несколько важных свойств  чисел Фибоначчи. После этой задачи нам стало известно, что   является половиной «золотого сечения»,  что может нам понадобиться в будущем при решении задачи в общем случае.

Здесь приведены несколько задач для самостоятельного решения:
  1. Найти m, n  Z, что                 Z;
  2. Найти m, n  Z, что                        Z;
  3. Показать корни следующего уравнения в соответствии с x, y. xy + 1 = x + y + p;

3

 
  • Решить следующую систему уравнений в целых числах: x1 + x2 + x3 = a

 

x

 

2

 

1

 

2  + x 2

 

+ x 2  = b

 

в частном случае при a = 54, и b = 1406;

  1. Доказать, что все решения в целых числах уравнения: y2 = x4 + x3 + x2 + x + 1

исчерпываются следующими парами: x = 0, -1, 3

y = ±1, ±1, ±11

Привести доказательство отсутствия других решений.

Фамилия автора: Б.А. Жумиров
Год: 2012
Город: Павлодар
Категория: Математика
Получить доступ
Чтобы скачать её, вам необходимо зарегистрироваться.
Яндекс.Метрика