Модель упруго-пластической среды

Грунты и горные породы обладают исключительным разнообразием механических свойств. Достаточно сравнить пластичную глину, сыпучий песок и хрупкий гранит. Между ними имеются разнообразные промежуточные типы, где слоистость и трещиноватость придают массивам горных пород свойство анизотропии. Соответственно этому многообразию различными авторами было предложено немало деформационных моделей. Здесь будет рассмотрена лишь одна модель, реализованная в программе. Рассматриваемую модель можно назвать «среда Кулона — Прандтля» или «упруго-идеально-пластическая среда с критерием пластичности Кулона». Она достаточно универсальна и позволяет моделировать разнообразные типы грунтов и горных пород.

Деформационная модель должна установить в математической форме связь между деформациями и напряжениями в элементе среды. Деформационной моделью упругой среды является закон Гука, устанавливающий линейную связь между напряжениями и деформациями и для условий плоской деформации (ε2 = 0; σ1>σ2>σ3) имеющий вид:

 1



 Е1

  3

/(1  2 );

(1)

  Е   /(1  2 )

где Е’,v’ – «плоские» аналоги мод3уля Юн3 га и 1 коэффициента Пуассона, связанные с ними соотношениями:

Е' =Е/(1 — v2);

v' = v / ( l— v).

Другой возможной формой записи закона Гука является:

 1  Е 1   3 ;

(2)

  (1  2 ) / Е  

3

3

1

Рассматриваемая модель предполагает идеально-упругие свойства среды при напряжениях

σ1 величина которых меньше определяемой по критерию Кулона:

 1  S   3ctg

где S = 2c ctg (45° – φ / 2) – прочность на одноосное сжатие среды;

сtg  1  sin 

1  sin 

(3)

с – сцепление; φ – угол внутреннего трения. (Мы придерживаемся принятого в геомеханике правила: напряжения и деформации сжатия положительны, растяжения – отрицательны). Как только напряжение σ1 в среде возрастает до такой степени, что левая и правая части неравенства

(3) становятся равны между собой, среда в данной точке приходит в предельное состояние, происходит ее пластическое течение при постоянных напряжениях, при этом течение имеет равнообъемный характер, т, е. объем среды не меняется. Рассмотрим с помощью рис. 1 и 2 закономерности процесса деформирования среды. На рис. 1,а область АSOK удовлетворяет неравенству (3), т. е. является зоной упругости. Граница SC описывается функцией f =S+ σ3 ctg φ.

Возьмем, квадратный элемент (см. рис. .2, а), и будем нагружать его напряжением σ1. Изменение напряженного состояния на рис.1, а будет идти вдоль линии OS, упругая связь между σ1 и ε1 характеризуется отрезком O'S' на рис. 1,б, а деформации на этом упругом этапе деформирования связаны соотношением ε3=-ν' ε1 , что характеризуется на рис.1, в отрезком

О"S" и наглядно изображено на рис. 2, а позицией S. Дальнейшее сжатие элемента среды вдоль направления σ1 до некоторого нового состояния М не будет сопровождаться изменением напряжения σ1=S, вследствие чего отрезок S'M' на рис. 1, б горизонтален, а ввиду равнообъемного характера пластического течения расширение элемента по направлению ε3 равно сжатию по направлению ε3 равно сжатию по направлению ε1:dε3=- dε1, соответственно отрезок S"M" на рис 1, в наклонен под углом. 45°.

Проследим теперь процесс деформирования элемента при σ3>О (см. рис. 2,б). Подвергнем сначала элемент гидростатическому

Рис.1. Голографсостояник среды

сжатию σ1 = σ3 — позиция В. На рис. 1 это состояние характеризуется точками В, B’ и В". Затем увеличим напряжение σ1 до точки С (см. рис.1.а). Этот участок нагружения будет протекать в упругой стадии, и связь деформаций характеризуется равенством dε3=- ν'dε1. Дальнейшее сжатие элемента в направлении σ1 от состояния С (С’ и С"на рис. 1,б и в) до некоторого состояния N (N' и N" на рис. 1,б и в) будет характеризоваться постоянным уровнем напряжений и постоянством объема: dε3=- dε1. Комплекс графиков рис. 1 полностью описывает закон состояния среды, т. е. связь напряжений и деформаций, и может быть назван голографом состояния (holos — полный, grapho – пишу). Действительно, если заданы главные деформации ε1 и ε3, характеризуемые, например, точкой N" на рис.1.в, пройдя вдоль линии

N" C" наклоненной под углом 45° к- осям, до пересечения с линией A" S", определи точку С", в которой напряженное состояние будет такое же как и в точке N" вследствие постоянства напряжений на всей линии пластического течения C" N". А напряженное состояние в точке С" характеризуется координатами точки.С на рис. 1, а. Впрочем, если будут известны координаты точек С", то напряжения могут быть определены по формулам (1) поскольку точка С" находится на границе упругости.

Определим координаты точки С”, как точки пересечения прямых S" A" и C" N" Уравнение прямой C'N", проходящей через заданную точку N" с координатами 45° к осям, имеет вид

1  1  ( 3   3 )

0 0

или

0 0

 1  1    

3 3

(4)

Уравнение линии S" A" получается путем подстановки уравнений закона Гука в уравнение Кулона и имеет вид

где

ε1=A+Bε3 (5)

А  (1  2 )S /(1  ctg )E;

B  (ctg  ) /(1  ctg )

С’’ :

Решая совместно уравнения (4) и (5) как относительно ε1 и ε3 определим координаты точки

ε1 =[A+B(ε 0+ ε30)]/(1+B); (6)

1

ε3=( ε10+ ε 0-A)/(1+B).

3

Остается только подставить, эти значения в формулы (1), и напряжения нам становятся известны. Напряжения σ1 и σ3 соосны с соответствующими деформациями ε1 и ε3. Это важное утверждение, а также сама однозначная связь напряжений и деформаций в упруго-пластической среде действительны только при однонаправленном процессе деформирования. Процессы разгрузки данной моделью не описываются. Впрочем, абсолютное большинство реальных геотехнических задач удовлетворяют этому условию: изменение напряженного состояния под фундаментом возводимого здания, в откосе углубляемого котлована, вокруг проходимой выработки имеет однонаправленный характер.

Таким образом, установлена связь напряжений и деформаций в зоне пластического течения II (рис. 1, в). Меньшее значение имеют зоны III, IV и V, однако для полноты модели напряжения в них также должны быть определены.

Зададимся прочностью среды на растяжение Т; область упругости на рис. 1, а будет

ALTKt a на рис. 1, в.— A" L" T" K". Программа автоматически, принимает Т=с/5.

B области III (рис. 1, в) элемент среды оказывается разорван в направлении ε3 и не оказывает сопротивления, а в направлении ε1 сопротивляется с величиной прочности на одноосное сжатие:

σ1= S; σ3 = 0.

В области IV элемент разорван в направлении ε3 и сжат направлении ε1 напряжением, меньшим прочности на одноосное сжатие:

σ1 = Е' ε1; σ3 =0.

В области V элемент разорван в двух направлениях и не сопротивляется:

σ1 = σ3 =0

Данная деформационная модель включает в себя как частные случаи следующие модели сред: а) упругую среду Гука; б) «No-Tension» среду Зенкевича; в) жестко-пластическую среду Кулона – Прандтля – Соколовского.

На этом полностью завершается описание деформационной модели среды. При заданных конкретных значениях главных деформаций следует, прежде всего определить зону в которую попадает точка с такими координатами, затем с помощью зависимостей, относящихся к данной зоне, можно определить напряжения.

Ввод информации. Формирование МЖС

Вычисление обращенной МЖС

Вычисление узловых и перемещений

Начало цикла по числу элементов

Вычисление деформаций и других напряжений {ε} и {σу}.

Вычисление главных деформаций {εгл}

Вычисление «фактических» напряжений



    у   н 

Вычисление теоретических главных напряжений в координатных осях {σТ}.

Вычисление «дополнительных» начальных напряжений  доп  К (     )

Добавление «дополнительных» напряжений к начальным  Н   Н   Н доп 

Вычисление начальных сил {FН} и добавление их к вектору узловых сил

Проверка необходимости дополнительной итерации

Конец цикла по элементам

Да Нет

Рис. 3. Блок-схема получения упруго-пластического решения на основе метода конечных элементов

Общая, блок-схема получения упруго-пластического решения на основе метода конечных элементов приведена на рис. 3. Ввод информации и формирований МЖС производятся в прежнем порядке. Дополнительно лишь предусматривается резервирование поля для хранение «начальных» напряжений (по три компонента на каждый элемент). В это поле должны быть засланы нули. В излагаемой процедуре, получение упруго-пластического решения основано на многократном повторении упругих решений с изменяемыми величинами узловых сил, а матрица жесткости системы остается при этом постоянной. Поэтому обращение матрицы жесткости производится лишь однократно. Первоначально решается упругая задача при заданных значениях узловых сил и прочих граничных условий. Затем в каждом из элементов производятся последовательно итерационный процесс на основе процедуры метода начальных напряжений.