Симметрия замкнутых бильярдных траекторий в прямоугольнике

Всякой замкнутой бильярдной траектории в прямоугольнике присуще наличие у неё симметрии.

Вызывает интерес не только этот факт, но и то, что вид соответствующей симметрии связан с чётностью и нечётностью чисел вершин траектории на сторонах прямоугольника. Например, траектория, изображенная на рис.1 (в наших обозначениях, это траектория (4,3)), обладает осевой симметрией, а траектория на рис.2 (траектория (3,5))

Наличие свойств симметрии у замкнутой бильярдной траектории в прямоугольнике, на наш взгляд, может быть объяснено, если траекторию рассматривать в рамках простой динамической системы (то есть, анализируя задачу о движении частицы внутри прямоугольника с упруго отражающимися стенками). При этом достаточно ограничиться кинематическими соображениями. Однако более интересным представляется чисто геометрическое объяснение указанного свойства траекторий в прямоугольнике.

179

180

181

Наконец, в случае, когда оба числа n1 и n2 нечётны, для изометрий Si и S выполняется с оотношение

i ÷( nɪ +n2)

^σx^σy ^si^σx^σy= ^Si₊(nɪ ÷n₂ )

Отсюда следует, что прямые li и l расположены центрально симметрично относительно центра симметрии прямоугольника (см. на рис. 2 траекторию(3,5)).

Квадрат, помимо наличия у него осей симметрии, параллельных его сторон, симметричен относительно его диагоналей. Нетрудно понять, что эта симметрия квадрата не вызывает дополнительной симметрии его замкнутых бильярдных траекторий. Однако, в квадрате для всякой замкнутой бильярдной траектории существуют симметричные ей относительно диагоналей траекто рии. Такие траекто рии, переводимые одна в другую посредством преобразования из группы симметрии квадрата, естественно назвать конгруэнтными.

Наличие симметрии у замкнутых бильярдных траекторий в прямоугольнике служит простой иллюстрацией принципа симметрии Кюри, по которому «когда какие- либо порождают некоторые эффекты, элементы симметрии причин должны обнаруживаться в этих эффектах» (цит. по книге [1], подробное обсуждение принципа Кюри см. в книге [2]). Интересно отметить, что на протяжении длительного времени поисков динамических систем, обладающих эргодическим свойством, уделялось внимание к бильярдам в плоских многоугольниках (см., например, [3], [4], [5], [6]). Со временем в поисках модельных представлений происхождения хаоса в статических системах появились такие видоизменения традиционного бильярда как так называемый бильярд Синая и бильярд в форме стадиона [7].

Ситуация изменилась, когда достигнута была ясность в понимании механизмов происхождения хаоса в динамических системах. Изучение непредсказуемого поведения динамических систем вылилось в отдельную ветвь исследований. Возникла обширная область исследований динамического хаоса (см., например, [7], [8], [9], [10], [11], [12]). Было установлено, что временное изменение структур в физике, химии, биологии и других научных дисциплин во многих случаях носит универсальный характер. Понятие динамической системы получило обобщение, под динамической системой стали понимать структуру, изменяющуюся со временем [8].

И хотя бильярды потеряли свою актуальность в анализе проблем динамического хаоса, они остаются интересным объектом элементарной геометрии.

Существование симметрии замкнутых бильярдных траекторий в прямоугольнике обусловлено закономерностями геометрии. Эстетическим аспектам симметрии уделено большое внимание в научной и научнопопулярной литературе (см., например, [13], [2], [1]). Применительно к математической теории эстетический аспект связывается не только свнешними свойствами исследуемого объекта, но и с особенностями логических построений, их объясняющих.

Литература

1. Узоры симметрии. Под ред. М.Сенешаль и Дж.Флека. Пер. с англ. Ю.А. Данилова под ред.акад. Н.В.Белова и проф. Н.Н.Шефталя. – М.: Мир, 1980. – 340 с.
2. А.В.Шубников, В.А.Копцик. Симметрия в науке и искусстве. –М.: Наука, 1972. – С. 567.
3. Р.Курант и Г.Роббинс. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. – М.: Просвещение, 1967. – 561 с.
4. М.Берже. Геометрия. т. 1,2. Пер. с франц. Ю.Н.Сударева, А.В.Пожитнова, С.В.Чмутова. Под ред. И.Х.Сабитова. – М.: Мир, 1984. – С. 45 -50.
5. Я.Г.Синай. Введение в эргодическую теорию. – М. Фазис, 1996. – 592 с.
6. Г.А.Гальперин, А.Н.Земляков. Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики). – М.: Наук а, 1990. – 378 с.
7. Г.Шустер. Детерминированный хаос. Введение. – М.: Мир, 1988. – 592 с.
8. Р.М.Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. – М.: Постмаркет, 2000. – 405 с.
9. И.Пригожин, И.Стенгерс. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. Пер. с англ. Данилова Ю.А.. Под ред. Аршинова В.И. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 280 с.
10. Gregoire Nicolis. Physics of far-from-equilibrium systems and selforganisation. В зборнике The New Physics, edited by Paul Davies, - Cambridge University Press, 1994. – 670 р.
11. Joseph Ford. What is Chaos, that we shold be mindful of it? Ibid.
12. Х. – О.Пайтген, П.Х.Рихтер. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. Пер. с англ. Малышева П.В. и Сивака А.Г. под ред. Шарновского А.Н.. – М.: Мир, 1993. – 578 с.
13. Г.Вейль. Симметрия. Пер. с англ Б.В.Бирюкова, Ю.А. Данилова. Под ред. Б.А.Розенфельда. – М.: Наука, 1968. – С. 42-70.