Методы решения задачи о рюкзаке

Классическая задача о рюкзаке (о загрузке) известна очень давно, ниже приведена ее формализация.

Пусть есть N разных предметов, каждый предмет имеет вес wi и полезность pi, так же имеется максимальный вес W, который можно положить в рюкзак. Требуется собрать такой набор предметов P, чтобы полезность их была наибольшей, а суммарный вес не превышал W. Конечно, никто не собирается писать программу, чтобы наилучшим образом загрузить рюкзак, отправляясь в поход или в путешествие, тут все слишком просто, и никто не задумывается об этом, но существует и более широкое применение.

Задача о загрузке (задача о рюкзаке) и различные её модификации широко применяются на практике в прикладной математике, криптографии, экономике, логистике, для нахождения решения оптимальной загрузки различных транспортных средств: самолетов, кораблей, железнодорожных вагонов и т.д.

Рассматриваемая нами задача является NP – полной, то есть для нее не существует полиномиального алгоритма, решающего её за разумное время, в этом и есть проблема. Либо мы выбираем быстрый алгоритм, но он, как известно, не всегда решает задачу наилучшим образом, либо выбираем точный, который опять же не является работоспособным для больших значений. Существует несколько модификаций задачи:

1. Каждый предмет можно брать только один раз;
2. Каждый предмет можно брать сколько угодно раз;
3. Каждый предмет можно брать определенное количество раз;
4. На размер рюкзака имеется несколько ограничений;
5. Некоторые вещи имею больший приоритет, чем другие.

Цель данной работы – выделить основные методы решения задачи о загрузке, классифицировать и сравнить эти методы.

Реализовать алгоритмы решения классической задачи о рюкзаке. Протестировать их и разбить их на две группы: точные и приближенные, сравнить по скорости решения, по точности. Определить в каких случаях следует использовать тот или иной подход к решению задачи.

Алгоритмы решения можно разделить на два типа: точные и приближенные. Точные: применение динамического программирования, полный перебор, метод ветвей и границ (сокращение полного перебора). Приближенные алгоритмы: Жадный алгоритм.

Задача о ранце – одна из задач комбинаторной оптимизации. Классическая задача о ранце известна очень давно. Вот её постановка: Имеется набор из N предметов, каждый предмет имеет массу Wi и полезность Pi, i=(1,2..N), требуется собрать набор с максимальной полезностью таким образом, чтобы он имел вес не больше W, где W – вместимость ранца. Традиционно полагают что Wi, Pi, W, P – целые неотрицательные числа, но встречаются и другие постановки, условия в которых могут отличаться [6]. Возможны следующие вариации задачи.

Каждый предмет можно брать только один раз. Формализуем. Пусть задано конечное множество предметов Q = {q1, q2, …, qn} , для каждого q ϵ Q, определена стоимость pi и вес wi, тогда нужно максимизировать  N p * x , при ограничениях

i 1



i i

Формализация аналогична, разница лишь в том, что xi принимает значения на интервале (0..m).

Каждый предмет можно брать неограниченное количество раз. Очевидно, что xi лежит в диапазоне (0..[W/ wi]) квадратные скобочки означают целую часть числа. Если же значения весов и цен предметов не целые числа, такая задача будет называться непрерывной задачей о рюкзаке, если же числа целые, то соответственно дискретной. Например, если мы имеем дело с золотыми слитками, мы не можем их делить – это дискретная задача, а если с золотым песком, то это непрерывная задача о рюкзаке.

Большинство используемых алгоритмов имеют полиномиальное время работы, если размер входных данных – n, то время их работы в худшем случае оценивается как O(nk), где k это константа. Но встречаются задачи, которые нельзя разрешить за полиномиальное время. Это класс NP полных задач. Некоторые задачи этого класса на первый взгляд аналогичны задачам разрешимым за полиномиальное вре-

мя, но это далеко не так. Задача называется NP полной, если для нее не существует полиномиального алгоритма. Алгоритм называется полиномиальным, если его сложность O(N) в худшем случае ограничена сверху некоторым многочленом (полиномом) от N. Такие задачи возникают очень часто в различных областях: в булевой логике, в теории графов, теории множеств, кодировании информации, в алгебре, в биологии, физике, экономике, теории автоматов и языков. Считается, что NP полные задачи очень трудноразрешимы, а так же, что если хотя бы для одной из них удастся найти полиномиальный алгоритм, то такой алгоритм будет существовать для любой задачи из этого класса. Над поиском полиномиальных алгоритмов к таким зада-

чам трудились многие ученые, и все же при

N

i1

wi * xi ≤ W, где W вместимость

таком разнообразии NP полных задач, ни для одной из них до сих пор не найдено

ранца, а xi=1, если предмет взят для загрузки и xi=0 если не взят. Если на размер рюкзака имеется только одно ограничение, то задача называется одномерной, в противном случае – многомерной.

Каждый предмет можно брать m раз.

полиномиального алгоритма. Из всего вышесказанного следует, что если известна NP полнота задачи, то лучше потратить время на построение приближенного алгоритма, чем пытаться построить полиномиальный, или же, если это позволяют условия, использовать алгоритмы с экспоненциальной сложностью работы.

На практике очень часто возникают NP-полные задачи, задач о рюкзаке – одна из них. Конечно надежд, на то что для них найдется полиномиальный алгоритм практически нет, но из этого не следует что с задачей нельзя ничего сделать. Во первых, очень часто удается построить полиномиальный алгоритм для NP – полной задачи, конечно он даст приближенное, а не точное решение, но зато будет работать за реальное время. Во вторых, данные могут быть таковы, что экспоненциальный алгоритм, например переборный сможет работать на них разумное время. К точным методам относятся: Полный перебор, метод ветвей и границ, ДП – программирование. К приближенным: Жадные алгоритмы. Полный перебор – перебор всех вариантов (всех состояний) –малоэффективный, но точный метод. Метод ветвей и границ – по сути сокращение полного перебора с отсечением заведомо “плохих” решений. ДП – алгоритм, основанный на принципе оптимальности Беллмана. Жадный алгоритм – основан на нахождении относительно хорошего и “дешевого” решения.

Динамическое программирование

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана:”Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбирать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на этом шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был оптимальным”. Проще говоря оптимальное решение на i шаге находится исходя из найденных ранее оптимальных решений на предшествующих шагах. Из этого следует, что для того чтобы найти оптимальное решение на последнем шаге надо сначала найти оптимальное решения для первого, затем для второго и так далее пока не пройдем все шаги до последнего.

Имеется набор из N предметов. Пусть MaxW объем рюкзака, Pi – стоимость i-го предмета, Wi – вес i-го предмета.

Value [W, i] – максимальная сумма, которую надо найти. Суть метода динамического программирования – на каждом шаге по весу 1<Wi<W находим максимальную загрузку Value[Wi, i], для веса Wi. Допустим мы уже нашли Value [1..W, 1..i-1], то есть для веса меньше либо равного W и с предметами, взятыми из 1..N-1. Рассмотрим предмет N, если его вес WN меньше W проверим стоит ли его брать.

Если его взять то вес станет W-Wi, тогда Value[W, i] = Value[W – Wi, i-1] + Pi (для Value[W – Wi, i-1]) решение уже найдено остается только прибавить Pi.

Если его не брать, то вес останется тем же, и Value [W, i] = Value [W – Wi, i-1].

= Из двух вариантов выбирается тот, который дает наибольший результат.

1. Полный перебор

Название метода говорит само за себя. Чтобы получить решение нужно перебрать все возможные варианты загрузки. Здесь мы будем рассматривать такую постановку задачи. В рюкзак загружаются предметы N различных типов (количество предметов каждого типа не ограничено), каждый предмет типа I имеет вес Wi и стоимость Pi, i=(1,2..N). Требуется определить максимальную стоимость груза вес, которого не превышает W.

Очевидна простая рекурсивная реализация данного подхода Рис 1.4. Временная сложность данного алгоритма равна O(N!).

Алгоритм имеет сложность факториал и может работать лишь с небольшими значениями N. С ростом N, число вариантов очень быстро растет, и задача становится практически неразрешимой методом полного перебора.

На рис. 1 показано дерево перебора, дерево имеет 4 уровня. В каждом кружочке показан вес предмета, корень дерева – нулевой вес, то есть когда рюкзак пуст. Первый предмет можно выбрать четырьмя способами, второй – тремя, третий – двумя, а дальше можем взять только один оставшийся предмет.

1. Метод ветвей и границ

По существу, данный метод это вариация полного перебора, с исключениями заведомо не оптимальных решений. Для полного перебора можно построить дерево решений. Если у нас есть какое то оптимальное решение P, мы пытаемся улучшить его, но если на рассматриваемой в текущий момент ветви решение заведомо хуже, чем P, то следует остановить поиск и выбрать другую ветвь для рассмотрения.

Например, на рис 1. есть ограничение на вес рюкзака W=5. Тогда, используя метод ветвей и границ, можно сократить дерево перебора. Но не всегда получается отсеять достаточно много вариантов, чтобы скорость работы была заметно увеличена, всегда можно подобрать такие входные данные, для которых метод ветвей и границ даст оценку по времени идентичную полному перебору.

В ходе исследования задачи о рюкзаке были выявлены три основных алгоритма решения. Полный перебор, ДП – программирование, жадный алгоритм. Также был рассмотрен Метод ветвей и границ, но как сокращение полного перебора. Все методы разделены на две группы. Первая группа – точные методы, сюда входят ДП – алгоритмы, Полный перебор и Метод ветвей и границ. Вторая группа – приближенные методы, к таким методам относится Жадный алгоритм. Выбор использования того или иного метода спорный вопрос, все зависит от постановки задачи, а так же от того, какие цели поставлены. Если требуется найти точное решение, то конечно нужно использовать точные методы, при небольшом наборе входных данных (предметов до 10-20), подойдет перебор или метод ветвей и границ в силу простоты реализации, при больших, следует использовать ДП – алгоритм. Если же точность решения не так важна, или входные данные таковы, что ни один из точных методов не работоспособен, остается применять только приближенные алгоритмы. Но остается возможность комбинирования различных методов для ускорения, или даже применение каких либо “уловок” для конкретного примера. Надеяться же на построение полиномиального алгоритма нет смысла, так как данная задача NP-полна. Безусловно, данная задача очень важна с точки зрения ее приложения в реальной жизни. Несмотря на свою “древность”, рюкзак не только не забывается, наоборот, интерес к нему задаче растет. Оптимальная загрузка транспорта помогает сокращать расходы, получать большую прибыль. Также задача применяется в криптографии и прикладной математике.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных.– Пер. с англ. М.: Мир, 2006.
2. Визгунов, Н.П. Динамическое программирование в экономических задачах с применением системы MATLAB. – Н. Новгород: ННГУ, 2006. – 48 с.
3. Кузюрин, Н.Н Сложность комбинаторных алгоритмов. Курс лекций / Н.Н. Кузюрин, С.А. Фомин. – М., 2005.
4. Гери, М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи / М. Гери, Д. Джонсон. – М.: Мир, 1982.
5. Окулов, С. М Программирование в алгоритмах. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.
6. Окулов, С.М. Информатика в задачах [Текст] / С.М. Окулов, А.А. Пестов, О.А. Пестов. – Киров: Изд-во ВГПУ, 2005.
7. Царев, В.А. Проектирование, анализ и программная реализация структур данных и алгоритмов: Учебное пособие [Текст] / В.А. Царев, А.Ф. Дробанов. – Череповец, 2006.