Аннотация. В статье рассмотрены особенности комплексных чисел и круговых многочленов. Одна из глав посвящена тождеству Фибоначчи и его обобщению на базе системы комплексных чисел. Приведены примеры решения задач.
Данная работа посвящается круговым многочленам, тождеству Фибоначчи и некоторым его обобщениям на базе системы комплексных чисел.
В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведено теоретическое построение систем комплексных чисел и решения примеров с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления (кроме деления на нуль), операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, геометрическая интерпретация комплексных чисел, свойства действий во множестве комплексных чисел в целом.
Во второй части рассматриваем «Тождество Фибоначчи и его обобщение». В этой части будут рассмотрены частные и общие случаи умножения n- слагаемых с применением к ним свойства умножения комплексных чисел.
Вестник Инноваиионногс › Евоазийского vнивеоситета 2013 N• 2 ISSN 1729-536X 91
Рассмотрим: 1(×i - ×›l'- lr, '- z , те z —— а, +ib ; •2 —— a2 + b . из теории кoмплëltGHЬIX
яисел прн умножении двух слагаемы х получим:
Известно, ято верно так назкваемое тождество Фибопаяяи:
Это тождество равносилъно:
' ’ ‘2
Отметнм данное равенство для трёх слагаемых: г, , z п п. После умножения трёх слагаемы х
вы деліім миимую и действительиую яасти:
В обідем виде тождество Фибоиаччи для трёх слагаемых имеет следующий вид:
Рассмотрим частные случаи:
- l. При z = z, = z2 — ×зтождество примет ВНДі
2 При z zi = п получаем:
яасти:
При умножении четырех слагаемых в выражении также вьІделим мнимую и действительную
Тождество Фибонаяяи для четырёх слагаемы х в обюем виде записывается следуюощм образом:
Как и для трёх слагаемы х возможно рассмотрение яастньж случаев:
- При * — ‘1 ‘2 ‘3 ‘4 ’
|
’1 - •2 -• - •4l'- l•, '- z2| 2
- При z —— z, — •2 = • •
" ‘4
3. При z, —— ×2 • × — ×4 '
2 2 2
92 Вестник Инновационного Евоазийского vuuвeocumema. 2013. N• 2 ISSN 1729-536X
2 2 2
‘1 ’ ‘2 ’ ‘3 ’ ‘4 ' '‘1 ”
” " ‘4
Тождество Фибоначяи доказуемо и для обідего случая, то есть для п- слаюемых. Также можно рассмотреть частные случаи умножения п- слагаемых и применить к ним свойства умножения комплексньІх чисел.
В третьей яастя работы изучаются круговые многочлеиьІ и их осповньІе свойства на базе системьІ комплексньlх иисел.
Многочлен Ф (х) = П(х — её ) , где si . -.•,( ) - ІІЈЭНМЧТНВНЬІё КО]ЭНН CTflПëИH П ИЗ ёДНННЦЬІ И
2M
k — COS -t- I SlП , называют ×рузовьги яінwочлевож, ичпмногочленом деления круга поряр;кэ п .
Л п
Из определеніія кругового многошіена вндим, ято
П d ix) = х‘—1.
Была вы двинута гипотеза, ято имеют место следующие равенства:
Для доказательства в работе бьши рассмотрен ы разные прнмеръі.
Пример 1. Доказать, что
344 + 333 + 322 +«” +i: 4 + 3 + 2 + + 1)
Для ретения примера многочлен х“ + х" + х" + х" + 1 делили па многочлен 4 + 3 + + х + 1 столбиком. Частное равно многочлену
Ответ преобразовали и получили:
Реюая также столбиком, мы получили
Пример 3. Далее нами было выявлено, что для деления многочлена
f3 (x)
= x 3
- x 2
+ x + 1
|
|
на многочлен x 11- 1, необходимо представить его в виде
|
|
Fpn
(x) = x pn + x p(n-1) + ... + x p - n .
В нашем случае
p = 11 , n = 3 . Тогда получаем:
F3 (x)
= x 3
- x 2
- x1
- 3 .
|
Делим полученный многочлен на многочлен x 11 - 1. В частном получим
|
|
|
|
|
x 22 + 2x 11 + 3 = x 22 + x 11 +1+ x 11+1+1 = R
(x) + R
(x) +1
|
|
22 11
|
|
|
|
|
Также деление было проверено и доказано на следующих многочленах: 1) x 11 - 1M x 11 - 1 ;
2) x 22 + x 11 - 2M x 11 - 1;
|
|
|
3) x 33 + f
|
|
|
4) x 44 + f
|
|
|
5) x 55 + f
(x) - 1M x 11 - 1 ;
|
|
(x) - 1M x 11 - 1;
|
(x) - 1M x 11 - 1 и так далее.
Пример 4. Разделить многочлен в нечетной степени на многочлен Ñ1
(x) = x10
+ x9 + x8 + ... + x + 1.
Решение было произведено столбиком. Полученный ответ мы преобразовали и получили
x2 3 - x2 2 + 2x1 2 - 2x1 1 + 3x - 3 = x2 2 (x -1)+ 2x1 1 (x -1)+ 3(x -1)=
|
= (x -1)(x2 2 + 2x1 1 + 3)= (x -1)(x2 2 + x1 1 +1+ x1 1 +1+1)=
|
= (x -1)(~
(x) + ~
~
|
R0× 1 1
(x))
Пример 5. Разделить многочлен в четной степени на многочлен Ñ1
. Решение было получено аналогично вышеуказанным примерам. Ответ:
(x) = x10
+ x9 + x8 + ... + x + 1
x3 4 - x3 3 + 2x2 3 - 2x2 2 + 3x1 2
- 3x11 + 4x - 4 =
x3 3 (x -1)+ 2x2 2 (x -1)+ 3x11 (x -1)+ 4(x -1)=
|
= (x -1)(x3 3 + x2 2 + x1 1 +1+ x3 3 + x2 2 + x1 1 +1+ x2 2 + x11 +1+ x11 +1+1)=
|
= (x -1)(~
~
|
R2× 1 1
(x) + ~
~
|
R0 ×1 1
(x))
Используя полученные ответы, можем сделать вывод, что
что значит:
~
Rm×n
- º (n + 1)(mod Rm
(x)),
|
|
R (x) /(~
- (n + 1)).
Благодарю профессора Исмоилова Додожона Исмоиловича за постановку задачи и внимание, уделенное моим занятиям.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Курош А. Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука,1971.- 430 с.
- Прасолов В.В. Многочлены.- 3-е издание, исправленное.- М.: МЦНМО, 2003.104-114 с. 3 Шахмейстер А.Х. Комплексные числа.- М.: Издательство МЦНМО, 2009. 43-46 с.
- Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. – М.: 1974 г. – I часть.
- Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел.- М.:Просвещение, 1975 г.