Круговые многочлены и их применение к представлению чисел в виде степеней

Аннотация. В статье рассмотрены особенности комплексных чисел и круговых многочленов. Одна из глав посвящена тождеству Фибоначчи и его обобщению на базе системы комплексных чисел. Приведены примеры решения задач. 

Данная работа посвящается круговым многочленам, тождеству Фибоначчи и некоторым его обобщениям на базе системы комплексных чисел.

В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведено теоретическое построение систем комплексных чисел и решения примеров с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления (кроме деления на нуль), операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, геометрическая интерпретация комплексных чисел, свойства действий во множестве комплексных чисел в целом.

Во второй части рассматриваем «Тождество Фибоначчи и его обобщение». В этой части будут рассмотрены частные и общие случаи умножения n- слагаемых с применением к ним свойства умножения комплексных чисел.

 

Вестник Инноваиионногс › Евоазийского vнивеоситета  2013  N2 ISSN 1729-536X      91

Рассмотрим:  1(×i - ×›l'- lr, '- z              , те  z   —— а, +ib  ;  •2 —— a2 +  b  . из теории кoмплëltGHЬIX

яисел прн умножении двух слагаемы х получим:

 

 

Известно, ято верно так назкваемое тождество  Фибопаяяи:

 

  

Это тождество равносилъно:

 

' ’ ‘2

 

Отметнм данное равенство для трёх слагаемых:  г, , z      п п. После умножения трёх слагаемы х

 

вы деліім миимую и действительиую яасти:

 

 

В обідем виде тождество Фибоиаччи для трёх слагаемых имеет следующий   вид:

 

 

 

Рассмотрим частные случаи:

 

  1. l. При z = z, = z2 — ×зтождество примет ВНДі

 

2  При z      zi  = п получаем:

 

 

 

 

 

яасти:

 

При умножении четырех слагаемых в выражении также вьІделим мнимую и действительную

 

 

 

 

 

 

 

Тождество Фибонаяяи для четырёх слагаемы х в обюем виде записывается следуюощм образом:

 

Как и для трёх слагаемы х возможно рассмотрение яастньж случаев:

 

 

 

  1. При * — ‘1 ‘2 ‘3          ‘4 ’

"

 

’1 - •2 -•  - •4l'- l•, '- z2| 2

  1. При z  —— z,  — •2  = •  •

 

 

 

 

"  ‘4

 

 

3. При z, —— ×2 • × — ×4 '

 

2      2      2

 

92             Вестник Инновационного Евоазийского vuuвeocumema.  2013. N• 2 ISSN 1729-536X

 

2           2           2

 

‘1  ’ ‘2  ’ ‘3  ’ ‘4  ' '‘1         ”

 

”           "  ‘4

 

Тождество Фибоначяи доказуемо и для обідего случая, то есть для п- слаюемых. Также можно рассмотреть частные случаи умножения п- слагаемых и применить к ним свойства умножения комплексньІх  чисел.

В третьей яастя работы изучаются круговые многочлеиьІ и их осповньІе свойства на базе системьІ комплексньlх  иисел.

Многочлен   Ф   (х) = П(х — её ) , где  si .  -.•,(  ) - ІІЈЭНМЧТНВНЬІё  КО]ЭНН  CTflПëИH   П  ИЗ  ёДНННЦЬІ  И

2M

k  — COS          -t- I SlП          , называют ×рузовьги яінwочлевож, ичпмногочленом деления круга поряр;кэ п .

Л                     п

Из определеніія кругового многошіена вндим, ято

П     d ix) = х‘—1.

 

Была вы двинута гипотеза, ято имеют место следующие равенства:

 

 

 

Для доказательства  в работе бьши рассмотрен ы разные прнмеръі.

Пример 1. Доказать, что

344  + 333 + 322 +«” +i:          4  +  3 +  2  +   + 1)

Для       ретения        примера        многочлен        х“ + х"  + х"   + х"   + 1        делили        па       многочлен 4  +  3 +                + х + 1 столбиком. Частное равно многочлену

Ответ преобразовали и получили:

 

  

 

 

 

Реюая также столбиком, мы получили

 

 

 

Пример 3. Далее нами было выявлено, что для деления многочлена

 

f3  (x)

 

= x 3


  • x 2

 

+ x + 1

 

11

 

pn

 

на многочлен x 11- 1, необходимо представить его в виде

 

pn

 

11

 

Fpn

 

(x) = x pn + x p(n-1)  + ... + x p  - n .

 

В нашем случае

 

p = 11 , n = 3 . Тогда получаем:

 

F3   (x)

 

= x 3


  • x 2


  • x1

 

- 3 .

 

11

 

Делим полученный многочлен на многочлен x 11 - 1. В частном получим

 

 

11

 

11

 

11

 

22

 

22

 

x 22 + 2x 11 + 3 = x 22 + x 11 +1+ x 11+1+1 = R

 

(x) + R

(x)  +1

 

22

 

11

 

22               11

 

11

 

11

 

11

 

11

 

22

 

Также деление было проверено и доказано на следующих многочленах: 1) x 11 - 1M x 11 - 1 ;

2) x 22 + x 11 - 2M x 11 - 1;

 

33

 

33

 

33

 

3)  x 33 + f

33

 

44

 

33

 

4)  x 44 + f

44

 

55

 

44

 

5)  x 55 + f

 

(x) - 1M x 11 - 1 ;

11

 

11

 

(x) - 1M x 11 - 1;

11

 

(x) - 1M x 11 - 1 и так далее.

 

Пример 4. Разделить многочлен в нечетной степени на многочлен Ñ1

 

(x) = x10

 

+ x9  + x8  + ... + x + 1.

 

Решение было произведено столбиком. Полученный ответ мы преобразовали и получили

 

x2 3 - x2 2 + 2x1 2 - 2x1 1 + 3x - 3 = x2 2  (x -1)+ 2x1 1 (x -1)+ 3(x -1)=

R1 1

 

= (x -1)(x2 2  + 2x1 1  + 3)= (x -1)(x2 2  + x1 1  +1+ x1 1  +1+1)=

 

R2 ×1 1

 

= (x -1)(~

 

(x) + ~

 

~

(x) +

 

R0× 1 1

 

(x))

 

 

 

Пример 5. Разделить многочлен в четной степени на многочлен Ñ1

. Решение было получено аналогично вышеуказанным примерам. Ответ:

 

(x) = x10

 

+ x9 + x8 + ... + x + 1

 

 

 

x3 4  - x3 3 + 2x2 3 - 2x2 2  + 3x1  2

 

- 3x11 + 4x - 4 =

 

x3 3 (x -1)+ 2x2 2 (x -1)+ 3x11 (x -1)+ 4(x -1)=

R1 1

 

= (x -1)(x3 3  + x2 2  + x1 1  +1+ x3  3  + x2  2  + x1 1  +1+ x2 2  + x11  +1+ x11  +1+1)=

 

R3× 1 1

 

= (x -1)(~

 

~

(x) +

 

R2× 1 1

 

(x) + ~

 

~

(x) +

 

R0 ×1  1

 

(x))

 

 

 

Используя полученные ответы, можем сделать вывод, что

 

 

 

что значит:

 

~

Rm×n

  • º (n + 1)(mod Rm

 

(x)),

 

Rm×n

 

m

 

R  (x) /(~

 

- (n + 1)).

 

Благодарю профессора Исмоилова Додожона Исмоиловича за постановку задачи и внимание, уделенное моим занятиям.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука,1971.- 430 с.
  • Прасолов В.В. Многочлены.- 3-е издание, исправленное.- М.: МЦНМО, 2003.104-114 с. 3 Шахмейстер А.Х. Комплексные числа.- М.: Издательство МЦНМО, 2009. 43-46 с.
  • Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. – М.: 1974 г. – I часть.
  • Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел.- М.:Просвещение, 1975 г.
Год: 2013
Город: Павлодар
Категория: Математика
Получить доступ
Чтобы скачать её, вам необходимо зарегистрироваться.