Аннотация. В статье рассмотрены некоторые факты теории дзета-функции Римана, с помощью чего решены задачи практического ее применения.
Дзета-функция Римана, одна из уникальнейших функций теории функции комплексной переменной и является предметом пристального изучения вот уже несколько столетий. Дзета-функции Римана определяется как функциональный ряд
z (s)= å 1
где s = s + it
n=1ns
, комплексное число, i 2 = -1, и z (s) сходиться при Re > 1
(1)
Одновременно при Re >1 z (s)можно определить как
-1
|
æ 1 ö
ç ÷
|
ç s ÷
p ø
(2)
è
где произведение берется по всем простым числам, и естественно это произведение является сходящимся
при Re > 1. Равенства (1) и (2) являются прямым следствием основной теоремы арифметики: именно любое натуральное число представляется в виде
a a ar
a a a
n = p1 1 × p2 2 × ... × pr
, (3)
где
p1 1 ,
p2 2 ,…, pr r
- различные делители числа n .
Одним из важных следствий представления (1) является следующее равенство: при Re > 1
1 ¥ m(n)
|
z (s) = å ns
, (4)
где
m(n) - функция Мебиуса и она по определению является мультипликативной функцией
натурального аргумента.
Напомним ее определение в виде, предложенном профессором Д.И.Исмоиловым, а именно, если n
имеет вид (3), то
m(n)= (- 1) C1 1 × C
2 × ... × Cr r , (5)
r a a a
2
|
где r =n (n) – число различных простых делителей n , а Ñk
- биномиальные коэффициенты, т.е.
ì
|
|
k ï k!(
m í
m!
m - k)!
|
, если
0 £ k £ m
(6)
|
ï0, если
ïî
k Ï [0, m]
Заметим, что в соответствии равенств (1) и (2) при Re > 1
функционального ряда (4), а именно
имеем и другое представление
1
æ 1 ö
ç ÷
(7)
( ) = Õç1 - s ÷
z s p è p ø
Чтобы понять смысл равенства, сформулируем общую теорему (так называемое тождество Эйлера):
Пусть
f (n) арифметическая функция со значением во множестве комплексных чисел, при этом
функциональный ряд
¥ f (n)
|
L s = å ,
f n=1 ns
|
f (p)÷
(9)
¥
|
f
n=1 n
æ ö
|
|
|
p ç ps ÷
Если f (n × m)= f (n)f (m)для любыхнатуральных n, m , т.е. f – являетсявполнемультипликативной функцией.
Доказательство равенств (8) из основной теоремы арифметики, свойств мультипликативности
f (n), и свойств абсолютной равномерной сходимости ряда Lf (s)(полное доказательство см. [1])
ns
Замечание:
Отметим, что равенство (8) является аналогом (бесконечным) известного равенства
å f (d )= Õ (1+ f (p)+ ... + f ( pa p )
(10)
d \ n
p \ n
Для любого n ³ 1 и
f (n) - мультипликативной. Если
f (n) - вполне мультипликативная, то из (10)
следует, что
f (pk )= f k (p), и в общем случае с учетом того, что для мультипликативных
функций всегда выполняется
f (1)= 1 , то суммируя геометрическую прогрессию
S = 1 + f (p)+ f 2 (p)+ ... + f a p (p)=
f a p +1
(p)-1 ,
если
p
f (p)¹ 1 и Sp = (a p +1), если
f (p)= 1 .
f (p)-1
|
Что касается равенства (9) легко следует из того, что сумма бесконечного числа слагаемых убывающей
геометрической прогрессии при каждом p
¥ f (pk )
¥ æ f (p)ök
1 .
å
k =0
pks
= å ç
k =0 è
s ÷÷
p ø
1 - f (p)
ps
Теперь несколько слов по отношению случая, когда
f (n)= m(n). Как уже было отмечено, из
определения z (s) легко следует классическое определение функции Мебиуса:
m(1)= 1; m(p)= -1; m(pa )= 0;a ³ 2; m(p ... p )= (-1)r ,
1 r
а также ее мультипликативность. Поэтому равенства (4) и (7) выводятся согласно теореме Эйлера. Далее, заметим еще одно важное свойство функции Мебиуса (свойство ортогональности по
делителям), т.е.
|
ì1, n = 1
e = å m d = í
n
d \ n
î0, n > 1
|
Показатель степени p , входящий в каноническое представление n в виде (3). На языке умножения рядов Дирихле (см. [2]) при Ress > 1
1 0 0
z (s)× = 1 + + + ...
z (s) 2s 3s
С другой стороны
1
æ ¥ 1 öæ ¥
+ ...
z s
|
Покажем, что 1 = å m(m).
è d =1d s øè m=1 ms ø
n=1ns s
z (s)
m=1 m
Исследовав задачу обратную, приходим к выводу, что время, затраченное на заполнение бассейна, равно бесконечности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Карацуба А.Л. Основы аналитической теории чисел. – М.: Наука,
- Исмоилов Д.И. Аддитивные проблемы делителей. – Павлодар, 2010. – 243 с.
- Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана / Под ред. Гельфонда А.О. – М.: Библиотека иностранной литературы,