Применение дзета-функции Римана к некоторым практическим задачам

Аннотация. В статье рассмотрены некоторые факты теории дзета-функции Римана, с помощью чего решены задачи практического ее применения. 

Дзета-функция Римана, одна из уникальнейших функций теории функции комплексной переменной и  является  предметом  пристального  изучения  вот  уже  несколько  столетий.  Дзета-функции     Римана определяется как функциональный ряд

z (s)=  å 1

 

 

где  s = s + it

 

n=1ns

, комплексное число, i 2  = -1, и z (s) сходиться при Re > 1

 

(1)

 

Одновременно при Re >1 z (s)можно определить как

-1

z (s)= Õ  1 -

 

æ        1  ö

ç             ÷

p

 

ç          s ÷

p                        ø

 

 

(2)

 

è

где произведение берется по всем простым числам, и естественно это произведение является сходящимся

при Re > 1. Равенства (1) и (2) являются прямым следствием основной теоремы арифметики: именно любое натуральное число представляется в виде

a         a                ar

 

 

 

a         a              a

 

n = p1 1  × p2 2  × ... × pr

 

,                                                                       (3)

 

где

 

p1 1 ,

 

p2 2  ,…, pr r

 

- различные делители  числа  n .

 

Одним из важных следствий представления (1) является следующее равенство: при Re > 1

 

1        ¥ m(n)

 

n=1

 

z (s) =  å ns

 

,                                                                                 (4)

 

где

 

m(n) -  функция  Мебиуса  и  она  по  определению  является  мультипликативной  функцией

 

натурального аргумента.

Напомним ее определение в виде, предложенном профессором Д.И.Исмоиловым, а именно, если n

имеет вид (3), то

 

m(n)= (- 1) C1 1  × C

 

2  × ... × Cr r ,                                                                     (5)

 

r     a         a               a

2

 

m

 

где  r =n (n) – число различных простых делителей n , а Ñk

 

- биномиальные коэффициенты, т.е.

 

 

 

ì

Ñ

 

=

 

k          ï k!(

m          í

 

m!

m - k)!

 

åñëè

 

, если

 

0 £ k £ m

 

(6)

 

åñëè

 

ï0, если

ïî

 

k Ï [0, m]

 

Заметим,  что  в  соответствии  равенств  (1)  и  (2)  при Re > 1

функционального ряда (4), а именно

 

имеем  и  другое   представление

 

   1  

 

æ      1 ö

ç           ÷

 

(7)

 

( ) = Õç1 -   s ÷

z  s       p è      p  ø

Чтобы понять смысл равенства, сформулируем общую теорему (так называемое тождество Эйлера):

 

Пусть

 

f (n) арифметическая функция со значением во множестве комплексных чисел, при   этом

 

функциональный ряд

 

¥   f (n)

( )

 

L    s  = å        ,

f                  n=1  ns

 

0

 

 

f (p

 

(9)

 

¥

s

 

f

n=1  n

 

æ             ö

-1

 

è

 

ø

 

p ç       ps   ÷

 

Если f (n × m)= f (n)f (m)для любыхнатуральных n, m , т.е. f – являетсявполнемультипликативной функцией.

Доказательство  равенств  (8)  из   основной  теоремы  арифметики,  свойств мультипликативности

f (n), и свойств абсолютной равномерной сходимости ряда  Lf (s)(полное доказательство см. [1])

ns

 

Замечание:

Отметим, что равенство (8) является аналогом (бесконечным) известного равенства

 

å f (d )= Õ (1+ f (p)+ ... + f ( pa p   )

 

 

 

(10)

 

d \ n

 

p \ n

 

Для любого n ³ 1 и

 

f (n) - мультипликативной. Если

 

f (n) - вполне мультипликативная,  то из (10)

 

следует,   что

 

f (pk )=  f k (p),   и   в   общем   случае   с   учетом   того,   что   для   мультипликативных

 

функций        всегда        выполняется

 

f (1)= 1 ,       то        суммируя        геометрическую        прогрессию

 

 

 

S  = 1 + f (p)+ f 2 (p)+ ... + f a p (p)=

 

f a p +1

 

(p)-1 ,

 

 

 

если

 

p

 

f (p)¹ 1 и  Sp  = (a  p  +1), если

 

f (p)= 1 .

 

f (p)-1

 

 

=

 

Что касается равенства (9) легко следует из того, что сумма бесконечного числа слагаемых убывающей

 

геометрической прогрессии при каждом  p

 

¥     f (pk )

 

¥   æ  f (pk

 

       1       .

 

å

k =0

 

pks

 

= å ç

k =0 è

 

s    ÷÷

p     ø

 

1 - f (p)

ps

 

Теперь  несколько  слов  по  отношению  случая,   когда

 

f (n)= m(n).  Как  уже  было  отмечено,  из

 

определения z (s) легко следует классическое определение функции Мебиуса:

m(1)= 1; m(p)= -1; m(pa )= 0;a ³ 2; m(p ... p  )= (-1)r ,

1          r

а также ее мультипликативность. Поэтому равенства (4) и (7) выводятся согласно теореме Эйлера. Далее, заметим еще одно важное свойство функции Мебиуса (свойство ортогональности по

делителям), т.е.

(  )

 

ì1, n = 1

e   = å m d  = í

 

n

d \ n

 

î0, n > 1

 

Re

 

Показатель степени p , входящий в каноническое представление n в виде (3).  На  языке умножения рядов Дирихле (см. [2]) при Ress > 1

1               0       0

z (s)×          = 1 +       +      + ...

z (s)      2s        3s

 

 

С другой стороны

 

   1

 

æ  ¥   1 öæ  ¥

 

 

+ ...

 

z  s

¥

 

Покажем, что    1   =  å m(m).

 

è d =1d s  øè m=1   ms ø

 

n=1ns               s

 

z (s)

 

m=1   m

 

Исследовав задачу обратную, приходим к выводу, что время, затраченное на заполнение бассейна, равно бесконечности.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

  1. Карацуба А.Л. Основы аналитической теории чисел. – М.: Наука,
  2. Исмоилов Д.И. Аддитивные проблемы делителей. – Павлодар, 2010. – 243 с.
  3. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана / Под ред. Гельфонда А.О. – М.: Библиотека иностранной литературы, 
Год: 2013
Город: Павлодар
Категория: Математика
Получить доступ
Чтобы скачать её, вам необходимо зарегистрироваться.