В данной статье рассматриваются некоторые вопросы, связанные с числами Фибоначчи, которые преподаватели могли бы применять в обучении детей. Целью автора является подробное изучение и описание чисел Фибоначчи, а также создание базы оригинальных задач требующих нестандартного решения. Содержание статьи состоит из истории чисел Фибоначчи, определения и свойств чисел Фибоначчи, формулировки задач и их решения.
I. О числах Фибоначчи и их связь с тригонометрией
В этой части мы рассмотрим числа Фибоначчи (определение, свойства, ...), и их связь с тригонометрическими функциями, а также рассматриваются интересные вопросы, связанные с числами Фибоначчи, которые позволяют расширить кругозор читателя- математика. Подобные задания не часто рассматриваются в связи с специальностью свойств чисел Фибоначчи, хотя они являются существеным элементом теории чисел и прикладной математики (теории поиска, разрезания прямоугольника на сумму квадратов и др).
а) О числах Фибоначчи
Перед тем как объяснить свойства чисел Фибоначчи, рассмотрим следующую задачу:
«Сколько пар кроликов в год рождается из одной пары?»
«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течения года, если порода кролика такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения».
Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары: из них одна пара, а именно первая, рождает в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; у них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся ещё 2 пары кроликов и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5; из них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом месяце достигнет 8; в пятом месяце 5 пар произведут ещё 5 пар, что, в общем, будет 13, далее, в шестом рождают 8 пар и будет 21, в седьмом - 34, в восьмом - 55, в девятом - 89, в десятом - 144, в одиннадцатом - 233, в двенадцатом - 377. Действительно, на этих полях можно заметить, что складывается первое со вторым, второе с третьим, третье с четвертым, и так далее, до тех пор, пока мы не сложим десятое с одиннадцатым, т.е. 144 и 233 и не получим 377, и так можно производить до бесконечного количества месяцев.
Перейдем от кроликов к числам, и рассмотрим следующую последовательность:
u1, u2, u3, …, un,
в которой каждый член равен сумме двух предыдущих членов, т. е. при всяком n>2
un = un-1 + un-2.
Такие последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, часто встречаются в математике и называются рекуррентными. Если обратиться к важному частному случаю, когда u1 = 1, и u2 = 1, нетрудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью членами будут числа:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,
которые уже встречались нам в задаче о кроликах. В честь автора этой задачи вся последовательность называется рядом Фибоначчи, а каждый его элемент называется число Фибоначчи.
Сама последовательность, разумеется, имеет присущие ему свойства (на самом деле их много, но в дальнейшем будут показаны только те, которые понадобятся в решении следующих задач).
б) Об одной задаче связанной с теоретико-числовым свойством чисел Фибоначчи
Для начала рассмотрим интересную и элементарную задачу, которая позволяет вникнуть в суть теоретико–числовых свойств чисел Фибоначчи.
Задача:
Найти возрастающую арифметическую прогрессию с наименьшей разностью, состоящую из натуральных чисел и не содержащую ни одного числа последовательности Фибоначчи.
Решение:
На самом деле известно, что любая прогрессия представима в виде « а1 + d × k », где k любое целое число, а1 – первый элемент последовательности, а d – это разность прогрессии.
Из книги Н. Воробьёва «Числа Фибоначчи» нам известно, что остатки от деления на m последовательных чисел Фибоначчи составляют периодическую последовательность с чистым периодом. Проверим для начала для m=2.
Сама последовательность Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 600, 977, 1577, 2554, 4131, 6685 …
При делении на m=2, вышеуказанные числа дают в остатках: 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, и т.д.
Очевидно, что если после единицы стоит ноль, то следующие два остатка будут 1, 1, что совпадают с начальными двумя остатками. Очевидно, остатки периодичны. Н. Воробьев подробно рассмотрел доказательства периодичности последовательности Фибоначчи по любому модулю mZ+.
Для m=2 мы имеем все возможные вычеты по модулю m=2 (0 и 1). Это значит, что любая
арифметическая прогрессия с разностью d=2, включает в себя бесконечно много чисел Фибоначчи.
Рассмотрим остатки при делении на m=3:
1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0 и т.д. (с периодом 8)
Точно так же заметим, что мы имеем все возможные вычеты по модулю m=3. Рассмотрим остатки при делении на m=4:
1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0 и т.д. (с периодом 6)
Тут тоже имеем все возможные вычеты по модулю m=4. Рассмотрим остатки при делении на m=5:
1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0 и т.д. (с периодом 20)
Тут тоже имеем все возможные вычеты по модулю m=5. Рассмотрим остатки при делении на m=6:
1, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5, 5, 4, 3, 1, 4, 5, 3, 2, 5, 1, 0 и т.д. (с периодом 24)
Тут тоже имеем все возможные вычеты по модулю m=6. Рассмотрим остатки при делении на m=7:
1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 0 и т.д. (с периодом 16)
Тут тоже имеем все возможные вычеты по модулю m=7. Теперь рассмотрим остатки при делении на m=8.
1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0 и т.д. (с периодом 12)
Очень интересно, замечаем, что нет вычетов 4 и 6.
Следовательно, наименьшая прогрессия должна быть вида 8k+4, чтобы не включала в себе ни одного из чисел Фибоначчи. Теперь же, приступим к его доказательству.
Возьмём un как n -ый элемент последовательности Фибоначчи.
u1= u2 = 1; un+2= un+1 + un для n = 1, 2, 3, …, числа u1, u2, u3, …, u14 дают при делении на 8 соответственно следующие остатки:
1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, 1, 1.
Отсюда видно, что u13 – u1 и u14 – u2 делимы на 8. Таким образом, можно сказать, что для n = 1 имеем, что un+12 – un делится на 8, и un+13 – un+1 делится на 8.
Предположим теперь, что последние два соотношения выполняются для некоторых натурального n.
Тогда un+12 – un + un+13 – un+1 тоже делима на 8.
И un+12 + un+13 – (un + un+1 ) = un+14 – un+2.
Если выполняется для n, то имеет значение и для n+1. Отсюда индукцией по n получаем, что un+12 – un делима на 8 для n = 1, 2, 3, 4, … . Таким образом доказано, что последовательность остатков, получаемых
при делении на 8 последовательных чисел Фибоначчи, является периодической с чистым двенадцатичленным периодом.
Рассмотрение полученной выше последовательности остатков от деления на 8 первых четырнадцати членов последовательности Фибоначчи показывает, что остатками могут быть только числа 0, 1, 2, 3, 5 и 7.
Так как среди остатков нет чисел 4 и 6, то в прогрессиях 8k+4 и 8k+6 (k = 1, 2, …) не содержится ни одного члена последовательности Фибоначчи. Это, очевидно, арифметические прогрессии (составленные из натуральных чисел) с наименьшей возможной при этих условиях натуральной разностью.
Но может быть задача и такого типа:
Найти арифметическую прогрессию ak+b (k= 0, 1, 2, …), где a и b – взаимно простые натуральные числа, не содержащие ни одного числа последовательности Фибоначчи.
Рассматривая далее остатки при делении для m при m>8, постараемся найти ещё варианты, где не все вычеты присутствуют.
Рассмотрим остатки при делении на m=9:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 0, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 0 и т.д. (с периодом 24)
Тут тоже имеем все возможные вычеты по модулю m=9. Рассмотрим остатки при делении на m=10:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8 и т.д. (с периодом 60)
Мы не стали рассматривать весь период, но выше понятно, что присутствуют все возможные вычеты по модулю m=10.
Рассмотрим остатки при делении на m=11:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 2, 10, 1, 0 и т.д. (с периодом 10) В этой последовательности нет чисел 4,6,7 и 9.
Каждое число взаимно простое с 11, следовательно, 11k+4 является решением.
Таким образом, исследуя, на первый взгляд, простую задачу, мы рассмотрели несколько немаловажных свойств чисел Фибоначчи.
6.3 Об одном аналитическим равенстве для чисел Фибоначчи. Имеет место утверждение:
При всех n≥2:
где:
un - n-ое число в последовательности Фибоначчи.
Для начала рассмотрим справедливость формулы на нескольких числах, например для
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Рассмотрим сперва для n=1.
u2 = = 1 – 0 = 1 Что соответствует условию.
u3 = ( ) ( ) = (1 – 2i ) ( 1 – 2i (-)) = (1-i) (1+i) = 1 - i2 = 1 + 1 = 2
Для u3 как видно тоже соответствует условию.
u4 = ( ) ( ) ( ) =
= ( 1 – 2i ) (1 – 0) (( 1 – 2i )) = ( 1 - i ) ( 1 + i) = 1 – 2i2 = 1 + 2 = 3 (Соответствует)
Теперь надо показать для случая, когда n = 5. То есть доказать, что:
u5 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 5
Перемножив крайние получим:
u5 = ( ) ( ) ( ) ( )
Имея свойство cosα = -cos(π – α)
Получаем и . Подставляя значения:
u5 = ( ) ( ) ( ) ( ) =
= ( 1 + 4 cos2 ) ( 1 + 4 cos2 ) (1)
Теперь, чтобы решить далее, нам надо знать следующее свойство.
Мы знаем что =
Действительно, зная свойства sin2α = 2 sinα cosα и cos2α = 1 – 2 sin2α , получаем:
sin = 2 sin cos = 4 sin cos cos = 4 sin sin cos sin = 4 sin sin cos
1 = 4 sin cos
1 = 4 sin ( 1 – 2 sin2 ) Раскрывая скобки и перенося в одну сторону, получаем уравнение:
8 sin3 – 4 sin + 1 = 0 8x3 – 4x + 1 = 0
Разложив на множители, получаем:
(2x – 1) (4x2 – 2x – 1) = 0
Получаем три корня:
x1 = , x2 = , x3 =
Зная, что sin есть положительное и не равно , получаем sin = = Далее, как известно:
cos = 1 – 2 sin2 = 1 – )2 = 1 – 2 ( ) = 1 – ( ) =
Окончательно имеем:
cos = cos ( - ) = sin =
Равенство доказано.
Найденное значение подставляем в (1) и получаем:
( 1 + 4 cos2 ) ( 1 + 4 cos2 ) = ( 1 + 4 ( )2 ) ( 1 + 4 ( )2 ) =
= ( 1+ 4 ( ) ) (1 + 4 ( ) ) = ( 1 + ) ( 1 + ) =
=( ) ( ) = ( ) = 5 ( Соответствует условию) Итак, мы показали, что наше утверждение верно в случае n=5.
И в последнюю очередь рассмотрим для n = 6.
f6 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
= ( ) ( ) ( ) ( ) = ( 1 + 3) ( 1 + 1) = 8
Мы убедились, что для n=2, 3, 4, 5, 6 начальное условие верное. Теперь постараемся доказать следующее утверждение:
где [x] – это целая часть числа х. Доказательство:
Пусть n = 2m+1, тогда в произведении имеются ровно 2m сомножителей объединяя первое с последним, второе с предпоследним и т. д. до двух сомножителей стоящих рядом.
Количество пар принимает значение равное . Тогда:
(1 – 2i cos) (1 – 2i cos) = 1 – 2i(cos + cos) + 4i2 cos cos Зная утверждение cos(180 – ) = -cos , имеем cos = - cos
Подставляя в значения, получим:
– 2i(cos + cos ) + 4i2 cos cos = 1 – 2i(cos - cos ) - 4i2 cos cos =
Пусть n=2m – четное число.
=1 – 2i(0) – 4(-1) = 1 + 4
Кроме одного сомножителя k = m = все остальные также образуются попарно:
(1, n-1), (2, n-2), (3, n-3), …, (, .
Здесь тоже количество пар принимает значение равное . Отсюда легко заметить, что в обоих случаях выполняется теорема:
В завершение рекомендуем прорешать следующие частные случаи основного равенства.
Случаи, рекомендуемые для самостоятельного доказательства:
(1)
(2)
(3)
(4)
При рассматрении нескольких случаев нам уже открылось несколько важных свойств чисел Фибоначчи. После этой задачи нам стало известно, что является половиной «золотого сечения», что может нам понадобиться в будущем при решении задачи в общем случае.
Здесь приведены несколько задач для самостоятельного решения:
- Найти m, n Z, что Z;
- Найти m, n Z, что Z;
- Показать корни следующего уравнения в соответствии с x, y. xy + 1 = x + y + p;
|
- Решить следующую систему уравнений в целых числах: x1 + x2 + x3 = a
|
|
|
2 + x 2
+ x 2 = b
в частном случае при a = 54, и b = 1406;
- Доказать, что все решения в целых числах уравнения: y2 = x4 + x3 + x2 + x + 1
исчерпываются следующими парами: x = 0, -1, 3
y = ±1, ±1, ±11
Привести доказательство отсутствия других решений.