Об одном нетрадиционном способе исследования квадратных трехчленов

В статье представлено нетрадиционное исследование квадратичных трехчленов, а именно как функцию при различных старших коэффициентах и при отрицательном дискриминанте. Наглядно представлены графики данных функций, рассмотрены примеры решения квадратных трехчленов неординарным способом. 

В школьной программе раздел «Функции о квадратичных трехчленах», на наш взгляд, не полностью изучен. Основной смысл изложения сводится к трем главным случаям. Дискриминант квадратного трехчлена: 1) равен нулю; 2) больше нуля и 3) меньше нуля (этот случай порождает так называемое

«мнимое число»). Но если внимательно рассмотреть квадратичный трехчлен как функцию, то с учетом свойств вещественных чисел можно полностью исследовать поведение этой функции на всей числовой прямой. В этой работе мы предлагаем единую общую формулу для квадратичных трехчленов, из которой следуют все основные выводы относительно аналитического поведения этой функции. Из нашей формулы полностью выводится поведение корней квадратного уравнения.

Квадратные уравнения и способы их решения были известны с древнейших времен. Необходимость решения уравнений второй степени, в том числе и квадратных, была вызвана потребностью решать практические задачи, связанные с распределением участков земли, нахождением ее площади, земельными работами, имеющими военное значение, а также с развитием ряда наук - математики, астрономии, механики и др. [1]. Квадратные уравнения умели решать еще древние вавилоняне около 2000 лет до н.э. Так, знаменитый среднеазиатский математик аль-Хорезми решал квадратные уравнения алгебраическими и геометрическими способами [2].

В даной статье мы предлагаем нетрадиционный подход к изучению квадратного трехчлена как функции от переменного х и коэффициентов в общем виде.

Пусть а - произвольное вещественное число. Мы считаем известными следующие равенства:

І.

ì+ 1;  a > 0 ;

ï

ìa; a > 0

ea  = s  i g(a )n=  í

ï

0; a = 0

a = ï ; a = 0   Þ

î- 1;  a < 0

ï- a; a < 0

1) |α| ³ 0 ;  2) α = εα |α|;

3) εα  = -ε(-α )

4) εα  = ε(-  ) = 1;      5) |α|= εα × α; .

2             2

α

ІІ.       Пусть

a,b,c Î R .      Как     правило          определяется     квадратичный             трехчлен           в      виде

y(x)= ax2 + bx+ c , где х - переменная,

y(x) -  функция от  х .  Обозначим через  D = b2 - 4ac

- так

называемый дискриминант квадратного трехчлена, при этом предполагается а ¹ 0 . Произведем известные элементарные преобразования в правой части  функции

Имеем

y(x)= ax2 + bx+ c .

é                     2        

       2               ù

éæ       ö2

æ    2              öù

y(x)= аêx 2 + 2b x + b

- b     + с ú = aêç x + b ÷

b

- çç

- c ÷÷ú =

ë         2a

4a 2

4a 2         а û

êëè

2a ø

è 4a 2

a øúû

.                                (1)

éæ       ö2                    2 -

ù       éæ       ö2                            ù

2             

æ       ö

= aêç x +  b ÷  - b

4a  ú  caêç x +  b  ÷ -

D ú = aç x +  b ÷

• D .

êè

2a ø

4a 2          ú

êëè

2a ø

4a 2 úû                      è

2a ø       4a

Далее, в отличие от традиционного подхода мы будем пользоваться равенствами (1) для упрощения равенства (2).

Итак, на основании равенств:

получим,

а = εа | a | ,   |а|= εаа , ε-D = -εD ,

- D = -εD |D|= ε(-D )|D|

2                                                     éæ                               ö2                                          ù

y  x  = ε

| a | æ x+ b ö  + ε

   |D|  

= ε

a   x+     b      ÷  + ε

   |D|   ú ,

( )    a

ç             ÷

è       2a ø

(-D ) 4ε

| a |

a   ç   | | ×

ëè

2ε a

|a| ÷

(-D ) 4 | a | ε 2 ú

a û

потому что ε 2  = 1.     Следовательно, окончательно получим:

2                                                      2

y  x  = ε ç(

| a |

x+     b      ÷  + ε

ç    |D| ÷    .

æ

( )    a ç

è

×

2εа

ö             æ

|а| ÷      (-D ) ×ç

2ε a

ö

|a| ÷

Таким образом, мы получили следующее утверждение:

Теорема 1.  Пусть a,b,c Î R; a ¹ 0; D = b2 - 4ac , тогда y(x)= ax2 + bx+ c представляется в виде:

2                                                     2

æ                          b        ö

æ        D     ö

y(x) = e a ç (

| a | × x +

2

÷

(    )÷

+ e (-D ) ×ç 2

÷  .                                            (2)

è                      e а         a  ø

è  e a       a ø

Следствие 1. Пусть  a > 0 ,  e a   = +1 и

=     a ,

a = a . Тогда верно равенство:

2

æ                     b   ö

             2

æ     D ö

y(x) = +ç

a × x +

÷  + e (- D ) ç             ÷

.                                                      (3)

è                  2   a ø

ç 2   a ÷

è           ø

При любом знаке

D = b2  - 4ac . В этом случае ветви графика функции

y(x) направлены вверх

(в положительную сторону оси  ОY ).

Следствие 2. Пусть a < 0 ,

εa = -1 ,  |a|= εaa ,

εa |a|= a . Тогда верно равенство:

é                                            2

æ                             b         ö

æ      | D |  ö  ù

êç                                       ÷

ç                ÷ ú

y(x) = -êç

è

ë

| a | × x +

2e a

| a | ÷

+ e (-D )ç

è

2e a

÷  ú .                                                   (4)

ø úû

ОY ).

В этом случае ветви графика   функции

y(x) направлены вниз (в отрицательном направлении  оси

Рассмотрим    данную  функцию  относительно  дискриминанта.  В  обеих  наших  случаях величина

D произвольная. Далее, разберемся с аналитическим поведением функции значениями параметра  D .

y(x)

подробнее в связи со

1. Пусть величина

D = b2 - 4ac = 0 , тогда ε

= ε-D

= 0 в соответсвии с равенствами (2) получим:

2

æ                          b       ö

y(x) = e a ç

è

a × x +

=

2e a               ÷

ì  æ                 b  ö2                             b

ï+ç

a × x +       ÷

® x0  = -

;    y(x0 ) = 0;

y(x)³ 0

ï è

= í

æ      

2  a ø                   2a                                              .

2

ö

ï  ç                     b      ÷

 b

ï- ç

a × x +

2

® x  = -      ;

a ÷                   2a

y(x0 ) = 0;

y(x)£ 0

ï è

e a            ø

x = -    b     = -  b    

Отметим, что во втором случае

2e a a

2a ;  потому что εa |a|= a .

Таким образом, в случае  D = 0 функция

у(х) определена на всей числовой оси (- ¥;+¥) и имеет

постоянный   знак   в   области    (- ¥; х0 )È (х0 ;+¥)

(в   зависимости   от   знака     а ).   Кроме   того,

у(х0 )= 0; х0  = -

2a

; у(х0 )= ymax  = -

4a

= 0 или

y(x0 )= ymax  , если  а < 0  и

y(x0 )= ymin  , если  а > 0 . Это

можно  записать  общей  формулой  с  учетом  знака   a . Именно

y(x  )=     D     = 0 .  Графически этот

случай выглядит так :

-a  × a

2. Пусть

Рисунок 1 – Первый случай [3]

D > 0 , тогда  ε-D  = -1, на основании (2) имеем  (здесь при разложении разности квадратов

воспользуемся формулами: A2 - B2 = (A - B)×(A+ B) и равенствами ε

• εа

= ε 2 = 1). Следовательно,

2                                         2

æ                                       ö       æ                  ö

y(x) = e

ç ( | a | × x +         b       ÷

- ç        D    ÷  =

ç                      2e         ÷

ç 2e         ÷

æ                           b

D      öæ                            b

| D |   ö

= e  ç

а ç

è

| a | × x +

-

2e a

֍

| a | ֍

ø

| a | × x +

+

2e a

÷ .                             (5)

ø

Отсюда следует, что

y(x) - знакоопределенная функция, т.е. ветви графика функции,  направлены

вниз или вверх в зависимости от знака числа  а .  Теперь определим, когда этот график пересекает ось

ОX и в каких точках, ,предположим, Следовательно, имеем два случая:

y(x)= 0 ® εa × y(x)= 0 .

      b     

    D

- b m |D|

- b ±  |D| .

| a | × x+

2εa

±

| a |   2

= 0 Þ x1.,2 =

a

2εa |a|            2a

Следовательно, график функции в этих точках пересекает оси  Ox , а внутри отрезки  (x1 ; x2 ), если

x1  < x2

(или   (x2 ; x1 ),  если

x1 > x2 ) функция

y(x)

будет  иметь  соответственно  положительный или

отрицательный знак в зависимости от  знака старшего коэффициента а .

График квадратного трехчлена

y(x)

в этих случаях  (a > 0; D > 0) будет иметь вид [4]:

Рисунок 2 -  Второй случай (а)

Таким образом, с учетом того, что x

= x1  + x2  = -  b  -  средне-арифметическое значение корней:

0                2              2a

D

1)  a > 0; y(x) > 0 на (- ¥; x1 )È (x2 ;+¥); x1  < x2  ,

y(x0

)= y

min  = -

4a

< 0 .

Рисунок 3 — Второй случай (б)

2)  a < 0; y(x) < 0 на (- ¥; x'  )È (x'  ;+¥); x'   < x'   ,

 D      D         .

1                  2                        1

2       y(x0 )= ymax  = -       =        > 0

4a     4 a

3. Наконец, пусть D = b2 - 4ac < 0 , тогда ε

= +1. Следовательно,  по формуле  (2) получим:

éæ       

ö 2        æ             ö  ù

êç                          b       ÷

ç   | D | ÷ ú

y(x) = e a êç

a  × x +              ÷   + ç

÷  ú .                                                          (6)

êëè

2e a        a ø

è 2   a  ø  úû

В этом случае

y(x) - сторого знакоопределена в зависимости от знака числа  a  и не  пересекается

с остью  OX . Вновь мы отметим, что из (6) следует:

                2

æ       D  ö

у(х) £ +ç              ÷

(7)

ç              ÷

è              ø

в точке x0

= -  b   и a > 0 ,  и если εa = 1 , то

2a

y(x0 )= y

min

|D|

=      .

4a

Графически это выглядит так:

Рисунок 4 — Третий случай

График функции в этом случае направлен вверх и не пересекается с осью  OX . Следовательно,

функция

y(x) всюду положительна.

                 2

æ       D  ö

у(х) ³ -ç              ÷

(8)

ç              ÷

è              ø

в точке x0

= -  b  и a < 0 ,  и  ε

2a

= -1 , то

y(x0

)= y

= -  |D| .

max               4 | a |

График  функции  в  соответствующем   виде   направлен  вниз   и  не   пересекается  с  осью   OX   .

Следовательно, функция

y(x) всюду отрицательна.

Таким образом, все случаи полностью разобраны.

Замечание:   В         данном    подходе    исследуется    общее    поведение    квадратного  трехчлена, преимущественно с применением только вещественного анализа.

Приложение:

1. Дан многочлен

f (x)= x6  - 6x5 + 25x4 - 58x3 +102x2 - 96x + 72 .

Доказать, что функция всюду больше нуля [4].

Решение: прежде всего представим многочлен в виде произведения трех квадратных многочленов:

f (x) = x6 - 6x5 + 2

x 4 -5 5

x3 +81

x 20- 9

x2 +67    =

= x6  - 5x5 - x5  + 1

x 4 +8  5x 4 + 2x 4 - 3

x3 -01

x3 -8

-1  x3  +0 3

x 2 +6 3

x 2 +0 3

x 2 -6  3

x -66

x +07     = 2

= (x4 - 5x3 + 1

x28- 3

x +0            3

)x62     - (x4 - 5x3  + 1

x28-

- 3  x +0          3

)x6+ (x4  - 5x3  + 1

x28- 3

x +0            3

)26=

= (x2 - x + 2) x(4     - 3x3 - 2x3 + 6x2 + 6x2 + 6x2 - 1

x -2

- 1  x +8        3

) =6 (x2  - x + 2)(x2  - 3x + 6)(x2  - 2x + 6).

Следовательно, исходный наш многочлен представлен в виде:

f (x)= y1(x) × y2 (x) × y3 (x) .

Теперь каждый многочлен можно исследовать, согласно нашим расчетам. Здесь следует заметить, что всюду число a = 1 > 0 . Остается произвести анализ по дискриминантам каждого из трех квадратных сомножителей. Покажем первый из них:

y (x) = x2  - x + 2 = 0 : D

= 1- 8 = -7 < 0 ® (x - 0,5)2  + (3,5)2 ,

1

y2 (x) = x

1

- 3x + 6 = 0 : D2  = 9 - 2

= -14  < 0 ,

y3 (x) = x

- 2x + 6 = 0 : D3  = 4 - 2

= -24  < 0 .

Следовательно,  во  всех  случаях  дискриминанты  отрицательны, т.е.

Dj < 0 ,

j = 1, 2, 3 .  Согласно

подпункту 3, каждый многочлен представляется в виде суммы двух квадратов. Тем самым исходный наш многочлен всюду положительно определенный. Очевидно, что можно также записать два остальных многочлена в виде суммы двух квадратов и находить их минимумы во всех трех случаях. Тем самым определить минимум исходного многочлена. Рассмотрим еще одну классическую задачу теории чисел («Задача Герона»).

2. Пусть

а,b,c

-   произвольные   ненулевые   вещественные   числа.   Рассмотрим   квадратный

трехчлен: f (x)= b2 x2 + (b2 + c2  - a 2 )× x+ c2  .  Сформулируем  задачу.  1)  доказать,  что  если

а,b,c

любые

положительные  числа,  то   функция

f (x)

положительно      определенная  всюду;     2)  если

а,b,c   -

натуральные числа, то докажем, что имеются треугольники площади, которые также являются натуральными числами и имеет место равенство:

где  S  - площадь треугольника.

1 6S 2  = -D

(9),

Первое  утверждение  легко  проверяется для любых положительных  чисел

а,b,c .  Для  второго же

случая  кратко остановимся на одном диофантовом уравнении - «О задаче Герона».

Постановка задачи:  уравнением Герона называется диофантовое уравнение

1  S 2  =6(a - b + c)(a + b - c)(b - a + c)(a + b + c) ,                                         (10)

a, b, c, S Î Z + ;

a < b + c;

b < c + a;

c < a + b .                                              (11)

Требуется найти решение уравнения (10) с условиями (11) в положительных целых числах.    Задачу

геометрически можно трактовать в виде: пусть задан треугольник со сторонами

а,b,c

и площадью S.

Тогда в задаче Герона (ЗГ) условие (10) непосредственно выполняется, поэтому в дальнейщем будем говорить  о  героновых треугольниках (ГТ)  и обозначим  Г = {<a,  b,  c,  S>},  а  множество пифагоровых

треугольников (ПТ) обозначим через П = {<a, b, c>},. В этом    случае

а2 + b2 = c2 . Эта тема достаточно

широкая и имеются множества разных результатов (например, см. [5]).  Для полноты картины  приведем

один   из  общих  решений  «Пифагоровских   троек»:

а = m2 - n2 ; b= 2mn; c = m2 + n2 , m > n; m,n   -

натуральные числа. Если стороны треугольника являются натуральными цислами, а так же и площадь треугольника окажется натуральным числом, то это будет выражать «Задачу Герона». Тем самым ЗГ является прямым обобщением задачи Пифагора (ЗП), выражающая: о нахождении всех прямоугольных треугольников   для   которых   стороны   являются   натуральными   числами,   т.е.   найти   все  решения

диофантового уравнения

а2 + b2 = c2

в  натуральных числах.    Задача  Герона  обобщает  ЗП  тем,  что

условие «прямоугольности треугольников» заменяется требованием целочисленности площади рассматриваемого  треугольника. Напомним, что равенство (10) напрямую связана  с формулой   Герона,

где   площадь   треугольника   определяется   равенством    S =

p(p - a)(p - b)(p - c) ,

p = a + b + c   -

2

полупериметр сторон треугольника. Заметим, что в случае ЗП равенство (10) превращается в  следующее

равенство

16S 2 = 4a 2b2 ® S = a × b , при этом известно, что  a  и  b - числа разной четности. Равенство

2

S = a × b

2

возможно  лишь  для  прямоугольных  треугольников.  Тем  самым  мы  показали,  что    каждый

пифагоровский  треугольник  является   героновым  треугольником,  то   есть

П Ì Г .   А  вот  обратное

неверно. Здесь мы ограничимся примерами <13,14,15;84>Î Г , <13,14,15>Ï П , <7,15,20,42>, <9,10,17,36>, а              <5,5,6,12>       -                        равнобедренный                    или       более     общий        случай:         <13 k ,14 × k ,15 k ;      84 k 2 >Î Г ,

<13 k ,14 × k ,15 k >Ï П ,  при  любом  натуральном  числе  k .  Следует  заметить,  что  в классификации

пифагоровских и героновских треугольников различают случаи, когда стороны треугольника является взаимно  простыми,  т.е.  ( (a,b,c)= 1 ).  Также  заметим,  что  в  героновых  треугольниках  случай

с равносторонними сторонами исключается.  Более подробно об этом и многих других свойствах ПТ и ГТ и интересных задачах связанными с ними можно прочитать например, в монографии [5].

Вернемся к нашему многочлену, согласно формуле Герона с учетом значении параметра  р имеем:

S 2  = -

((a + b)2  - c 2 )((a - b)2  - c 2 )

1        6

, или

1  S 2

6= -((a + b)2

• c 2

)((a - b)2

- c 2 )

(12),

с одной стороны. С другой стороны найдем дискриминант нашего многочлена.

D = (b2  + c2  - a 2 )2  - 4b2c2  = ((a + b)2  - c2 )((a - b)2  - c2 )=

= (a + b + c)(a + b - c)(а - b + c)(a - b - c)

(13)

Следовательно, из равенств (10) – (13) следует доказательство  16S 2  = -D , при    этом

D < 0 . Далее

если  а,b,c  - выражают пифагоровы треугольники , то из равенства (10) непосредственно получаем, что

D = -(2ab)2  < 0 .

В завершении для полноты картины сформулируем одно из известных утверждении относительно

ГТ.

Теорема 2. Пусть  <a,b,c,S>  - любой героново треугольник. Тогда существуют натуральные   числа

m,n,k

такие, что имеют место равенства:

a = m+ n; b = n+ k; c = k + m ;                                             (14)

S 2 = mnk × (m+ n+ k ); p = m+ n+ k ,                                           (15)

где  p  - полупериметр героново треугольника <a,b,c,S>.

Таким образом, наш квадратный трехчлен представляется согласно теореме 1. в виде суммы квадратов.

æ        b2 + c2 - a 2 ö

              2

æ    S 2 ö

ç        ÷

f (x) = çç b  + x

è               2b

÷÷        + ç       2   ÷

ø     è         ø

Если  же

a, b, c, S > Г ,  то  это  же  равенство  верно  для  героновых  треугольников.  Если     же

a, b, c > П , то верна формула:

f(x) = b2 (x+1)2  + a2  , что очень важно для целочисленных аргументов. Далее найдем точку

x0 , y

min .

Имеем

x0  = -

- b2 + c2 - a 2

2b2

, тогда

ym in =

4S 2

b2

.  В  частном  случае когда

a, b, c Î P , тогда

x0  = -1

и y(- 1)= a2 .

В итоге хотелось бы отметить, что проведенные нами исследования имеют определенную научно-

методическую ценность для специалистов, преподавателей математики и всем интересующихся классической теорией чисел. Надеемся, что в этом направлении работа будет продолжаться. Кроме того, аналогический подход может быть применен для определения типов кривых второго порядка и в том числе типов дифференциальных уравнений в частных производных.

Литература

1. Чистяков Н.Н. Замечания к отделу о квадратных уравнениях. -  М.:  Московское  просвещение, - Вып. 3. - 45 с.
2. Бончковский Р.Н. Квадратные трехчлены. - М.: Московское просвещение, 1936. - Вып. 4. - 183 с.
3. Васильев Н., Молчанов С., Розенталь А., Савин А. Математические соревнования. - М.: Московское просвещение, 1935. - Вып. 5. - 204 с.
4. Бончковский Р.Н. Замечания к квадратным трехчленам. - М.: Московское просвещение,  - Вып. 7. - 87 с.
5. Кожегельдинов С.Ш. Двухтысячителетний барьер взять. - Алматы, 2001. - 345 с.