Голоморфные решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения с малым параметром

В   статье   рассмотрено   условие   существования   и   единственности голоморфного         решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения с малым параметром. 

Рассматривается нелинейное  уравнение вида

1

ey¢ = j(x, y, y¢, y¢ )+ l ò K (x, t ) f (t, y, y¢)d ,

0

 

(1)

 

 

где  φ  и  f      предполагаются  непрерывными  по  первому  аргументу  и  аналитическими  по  остальным аргументам функции, а ядро K(x,t)  также достаточно гладкая функия,  λ и ε > 0 - некоторые параметры.

При  ε = 0 из (1) получается так называемое вырожденное уравнение

 

 

1

j (x,u,u'  ,u''  )+ λò K (x,t ) f (t, y, y'  )dt = 0 .                                                             (2)

0

 

Вопросы существования решения уравнения (2) в зависимости от параметра λ и его нахождение изучены нами в работе [1]. В данной работе исследуется решение уравнения (1) и связь между решениями этих двух уравнений. Обозначим через u(x) решение уравнения (2). Тогда с помощью замены

 

 

y(x) = u(x)+ ue (x),

 

(3)

 

 

из уравнения (1),  получим

 

 

1

e (u¢ + ue  ) = j(x, u + ue , u¢ + ue , u¢ + ue¢ )+ l ò K (x, t )f (t, u + ue , u¢ + ue¢ )d

 

.                    (4)

 

/          /                                                       /

 

0

 

Раскладывая   теперь  функции φ и f   в ряд Тейлора  в окрестности точек  (x, u, u¢, u¢ ),   (t, uu¢)

и учитывая (2) отсюда имеем:

 

 

¥         æ            

 

           ö             1

 

¥         æ

 

           ö

 

e

e

e

e [u¢ (x)+ u /   (x)]/ = å 1 ç

 

ue  +

 

u / +

 

u¢ ÷j *  + l ò K (xt )å 1 ç

 

ue  +

 

u墠÷

 

f * d ,

 

n

n=1  n!è ¶u

 

u¢

 

u¢       ø                    0

 

n=1  n!è ¶u

 

u¢      ø

 

 

 

j *  = j(x, u, u¢, u¢ ),

 

f * = f (t,u,u¢).                                            (5)

 

 

Решение уравнения (5)  ищем в виде формального ряда по степеням параметра ε:

 

 

2

ue (x) = eu1 (x)+ e

 

u2 (x)+ .

 

.                                               (6)

 

 

Подставляя ряд (6) в уравнение (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получим систему линейных интегро-дифференциальных уравнений вида

 

 

 

 

(n=1,2,…),

 

(7)

 

 

 

где использованы следующие обозначения:

 

f1 (x) = u¢(x),

 

f n (x) =

 

f n (x) ,

A0  0 (1x)

 

 

 

(n=1,2,…) ,

 

 

 

1                       é n

 

 1  æ m-1 æ  

 

         öö       ù

 

k

'

fn (x)= λò K (x,t )êå

 

çåç

 

uk +

 

u'  ÷÷

 

f * údt +

 

m

0                       êëm=2   m! è k=1 è ¶u

 

u      øø     úû

 

 

 

é n              æ n-1         ¶            ¶

 

¢

¶          ö m          ù

 

æ

ç

+ êå 1 çåç      u  +

 

u¢ +

 

ö

ø

ø

u¢ ÷÷

 

j * ú


  • u¢

 

(x) .                         (8)

 

êëm=2

 

m!

k

è k =1 è ¶u

 

û

u¢   k

 

u¢    k    ÷        ú

 

n-1

 

 

 

A     (x)

 

A     (x)

 

P (x) =    0  1 0        ,

 

(x) =    1  0 0    ,

 

1                       A       x

 

2                       A     (x)

 

0  0 (1   )

K (x, t )B

 

 

(t)

 

0  0 1  

 

K (x, t )B

 

 

(t)

 

(x, t) =                                   1    0     ,

 

(x, t) =                                   0    1     .

 

1                                     A      x

 

2                                     A    (x)

 

0    0( 1)

 

0    0   1

 

 

i+ j+k                *

 

Aijk

 

(x)=             j   ,

ui u¢ ju¢ k

 

(i + j + k ³ 1),

 

0          0         0

 

i+ j     *

 

Bij

 

(x)=     f     ,

ui u¢ j

 

(i +  j ³ 1).                                                         (9)

 

0         0

 

 

В этих формулах штрих у квадратной скобки означает, что в

 

fn (x) входят только те члены двойной

 

n

суммы, для которых сумма всевозможных произведений индексов k, m равна верхнему числу внешнего знака Σ.

 

Решим  теперь  линейное  интегро-дифференциальное уравнение     (7).      Пусть некоторая фундаментальная система решений уравнения

 

un (x),

 

u~                  (x)

 

есть

 

un¢

 

(x)+ P1 (x)un¢ (x)+ P2 (x)un (x) = 0

 

.                                                   (10)

 

 

Тогда решение уравнения (7), удовлетворяющее нулевым начальным условиям, можно представить в виде

 

x                     ~           ~

 

n

u  (x)

 

u  (s )u   (x ) - u  (s )u   (x )(F (s)

 

f (s))d

 

n             = ò

0

 

n                       n               n

D(s)

 

+    n                     ,          (n=1,2,…),                           (11)

 

 

 

где      D(x)

 

u (x) u~         (x)

u n (xu~' (x)

=    n'                                  n

n

 

- определитель Вронского,

 

 

 

M  (t )

 

t   H  (s t )

f

 

(s)d

 

H  s(s  t ) = u

 

(s)u (r ) (t )- u

 

(s)u (r ) (t )

 

r          = ò

0

 

r       ,               ,

D(s)    n

 

r       ,         n          ~

 

~

n             n             ,                      (12)

 

 

 

1

n

F (x) = -l ò   ( , ,  ) ,

 

(r = 0, 1, 2).

 

0

D1  x t l  d          t D(l )

 

D(λ), D1 (x,t, λ) - известные функции относительно λ      и определяются по формулам  Фредгольма

 

[2].  Если теперь требовать

 

D(λ) ¹ 0 , то формула (11) является однозначным решением уравнения (7).

 

Продифференцировав два раза по х  уравнение (11), получим

 

x                     ~           ~

 

n

un¢

 

(x) = ò

0

 

un (s)un¢ (x)- un (s)un¢ (x)(F (s)+

D(s)

 

f  (s))d   ,

 

 

x                    ~           ~

 

n

un¢

 

(x) = ò

0

 

un (s)un¢ (x)- un (s)un¢ (x)(F (s)+

D(s)

 

f  (s))d

 

,                               (13)

 

 

 

 

D1 (x, t, l ) D(l )

Имеют место следующие оценки

 

£ D = c

 

,o       (0n£ x, t s£ 1)

 

 

 

 

 

[       ]

r = 0, 1, 2

0 £ x,t £ 1

 

 

.                                 (14)

 

 

1                                                    1

 

ì 1

þ

ò                 ò

 

'                      1                   ü

 

ij

maxí

0

î m!

 

|K (x,t )||B  (t )|dt,

0

 

|K (x,t )| | f (t,u,u  )|dt, (i + j + k )! |Aijk (x)|ý £ B = const,

 

 

1

A0    0(x1)

£ C = c   o .

 

Тогда из (11)  с учетом (14) при всех   n получаем

 

|un (x)| £ M 0

 

(|λ|D + | f

 

(x)|)

 

n

|u'  (x)|£ M  (|λ|D + | f

 

(x)|)(n = 1, 2, 3, ...)

 

(15)

 

n

n                         1

un¢ (x) £ M

 

n

2

(l D +

 

f (x)).

 

Далее, так как

 

1

'

f1 (x)= ò K (x,t ) f (t,u,u

 

)dt,

 

то имеем:

 

0

1i

| f1 (x)| £ B

 

½ ç   ÷ ( )½£

 

(|   |

 

u (i ) (x) £ M

1

i

|   (  )|)£

 

(l D + B

 

) @ a     C

 

(i = 0,1, 2)

 

i

æ   ö

u è   ø  x

½ 2       ½

 

Mi  λ D + C fn x

 

ý

ì                    é   æ                                     2                                             2

 

öùü

 

í

M   ï|λ|D + BC ê|λ|ç½u+ 2|u  ½|u'½+½u'½

 

+ |u  |+½u'½+½u+½u'½

 

u' '½+u' '½u'½+ 2|u  ½|u' '½+u'½u' '½÷úï £

 

ø

ê

i ïî

 

ç½ 1½

ë   è

 

1½ 1½

 

½ 1½

 

1   ½ 1½

 

½ 1½

 

½ 1½

 

½ 1½

 

½ 1½ 1½

 

1½ 1½

 

½ 1½ 1½÷úûþï

 

 

 

M {|λ|D + BC[|λ| (a 2 + 2a a

 

+ a 2  + a

 

+ a  + a 2  + a 2  + a 2  + 2a  a

 

+ 2a a

 

+ 2a a

 

)]}º a .

 

i                                           10

 

10   11

 

11          10

 

11          10

 

11          12

 

10   11

 

10   12

 

12   11                2i

 

Итак, ½uè i ø (x)½£ a

 

(i = 0, 1, 2 )

 

½ çæ              ÷ö                                      ½

½ 2      ½     2i

Продолжая этот процесс, получаем

 

n

u (i ) (x) £ M

ì

 

(l D + f

2

n

é   æ  n

 

(x))£

æ n-1

 

¢

ö m ö        æ n-1 æ n-1

 

¢

ö m ö        æ n -1 æ n-1

 

m     ¢ ùü

ö   ö

 

£ ï l D + B

 

ê l ç åCç å(u

 

+  u¢ )÷

 

÷  + çåçå(u

 

+  u¢ )÷

 

÷  + çåçå(u


  • u¢

 

+  u¢ )÷

 

÷  úï £

 

ç

i í                    ê

î

ï                      ë

ì                 é

 

k

è m=1 è k =1

 

k                                                         k

ç

÷

ø  ø        è m=1 è k =1

 

m

ç

¢

 

k                                                         k

ç

÷

ø  ø        è m=1 è k =1

 

m

ç

¢

 

k

 

 

 

m

÷

¢ ùü

 

k              ÷ úý

þ

ø   ø ûï

 

ç

ï                 ê     æ  n    æ n-1

 

ö  ö      æ  n    æ n-1

 

ö  ö      æ  n    æ n-1

 

ö   ö úï

 

÷

÷

£ M i í l D + B

 

ê l  çåç åC(ak 0   + ak1 )÷

 

÷   + çåçå(ak 0   + ak1 )÷

 

÷   + ç åçå(ak 0   + ak1  + ak 2 )÷

 

÷  úý º an

 

,      (16)

 

þ

î

ï                    ë

 

è m=1 è k =1

 

ø  ø      è m=1 è k =1

 

ø  ø      è m=2 è k =1

 

ø   ø ûï

 

 

 

 

То есть

 

½ çæ i ÷ö

un

è   ø

½

 

(x)½          a     (n= 1, 2, ....; i = 0, 1, 2 ).

£   ni

½

 

Докажем теперь сходимость рядов

 

 

¥

åe n

n

n

=1

 

un (x),

 

¥

åe

n=1

 

un¢ (x) ,

 

¥

åe

n=1

 

un¢ (x).                           (17)

 

n

 

Для этого  рассмотрим систему уравнений:

 

F

F

F    ε,

1(ε,u,v,w)= 0 2 ( u,v,w)= 0 3 (ε,u,v,w)= 0

 

 

 

 

(18)

 

 

 

ì                 é     ¥                          k                          ¥

 

k ùü

 

где

 

F1 (ε,u,v,w)= -u+ εa10  + M 0 í|λ0 |D+ BC ê|λ|å(u+ w)

 

+ εu + å(u+ v+ w)

 

úý,

 

î                 ë   k=2

 

k=2                                      ûþ

 

 

 

ì                é     ¥                          k            ¥

 

k                 ùü

 

F2 (ε,u,v,w)= -v + εa11 + M 1 í|λ|D + BC ê|λ|å (v + w)

 

+ å(u + v + w)

 

+ εuúý ,

 

î                ë   k=2

 

k=2                                                      ûþ

 

 

 

 

ì

2 í|λ|

î

é     ¥

D + ê|λ|å (v

ë   k=2

¥

+ w)k  + å(u + v

k=2

+ w)k  + εuùü

úý

ûþ

F1

 

F1

 

F1

 

 

 

u

 

v

 

w

 

 

 

 

F3 (ε,u,v,w)= -w+ εa12 + M

 

.        (19)

 

 

 

 

 

 

Якобиан

 

D(F1 , F2 , F3 ) =

D(u, v, w)

 

 

F2

u

F3

u

F2

v

F3

v

 

 

F2

w

F3

w

= -1 ¹ 0 .                                                                             (20)

 

 

Следовательно, по теореме существования неявной функции система (18) имеет единственное голоморфное решение относительно параметра ε:

 

¥

n0

u = åe n a    ,

n=1

 

¥

n1

v = åe n a  ,

n=1

 

¥

n 2

w = åe n a

n=1

 

.                                  (21)

 

 

 

Коэффициенты

 

anr  (n = 1, 2, ....; r = 0, 1, 2 ) определяются путем подстановки (21) в  (18):

 

 

 

ì                 æ é      n

 

æ n-1

 

m

ö  ù      é n

 

æ n-1

 

′                     öü

m

ù

ö

 

a   = M

 

ï|λ|D + BCç ê|λ|

 

ç      (a

 

+ a  

 

ú  + ê      ç

 

(a    + a

 

+ a  

 

ú  + a       ÷ï

 

nr               r í

ïî

 

ç ê

ë

è

 

å

m=2

 

å  k0

è k=1

 

k1

ø  úû

 

å  å  k0

êëm=2  è k=1

 

k1           k2

ø  úû

 

n-1,2 ÷

ï

øþ

 

(n ³ 2, ....; r = 0, 1, 2 ).

Причем аналогичным путем, как в [1], нетрудно убедиться в том, что

 

|un (x)| £ an0 ,

 

|u(x)|£ a   ,

 

|u'' (x)|£ a

 

(n= 1,2,...).

 

 

n                       n1

n

n2

Следовательно, ряды (21)     сходятся  равномерно   и абсолютно,  согласно  теореме  Вейерштрасса.

Тем самым получена теорема.

Теорема:

Пусть:

  1. функции φ и f непрерывны по х и аналитические по остальным аргументам;
  2. A001(x) ¹ 0, D(λ) ¹ 0 ;
  3. Справедливы неравенства (14).

Тогда уравнение  (1) имеет единственное решение, представимое в виде

¥

 

n

y(x)= u(x)+ å ε un (x), где

 

u(x) - решение уравнения (2),

 

un (x) определяется по формулам

 

n=1

(11). Причем при  ε ® 0

 

решение уравнения (1)  стремится к решению уравнения (2).

 

 

Литература

  1. Аяшинов М.М.,   Даниярова   Ж.К.   К   вопросу существования        решений нелинейных интегро- дифференциальных уравнений // Вестник Инновационного Евразийского университета. - 2011. -

№ 1. – С. 202-206.

  1. Краснов М.П. Интегральные уравнения. - М.,:Наука,
Год: 2012
Город: Павлодар
Категория: Математика
Получить доступ
Чтобы скачать её, вам необходимо зарегистрироваться.