Теорема о бильярдных траекториях в углах, π для которых - целое число а

Решение задачи о бильярдной траектории внутри угла позволяет лучше понять особенности бильярдных траекторий в выпуклых замкнутых многоугольниках, но полное и подробное решение задачи в литературе отсутствует. Нами были рассмотрены метод отражений, применяемый в изучении бильярдных траекторий в угле [1] и аналитический метод [2], которые дают один и тот же результат.

Заслуживает отдельного рассмотрения случай бильярдных траекторий в углах величины а, для которых ^π - целое число. На рис. 1 и а

2 показаны графики зависимости величины угла выхода траектории ψ от

величины угла её входа φ для случаев, когда целое число = m является а

соответственно нечетным или чётным числом.

При всех значениях φ из интервала 0 ‹ φ ‹ а как при нечётных, так и при чётных значениях числа m число столкновений n шара со сторонами угла (число вершин траектории) равно m. В случае φ = 0 и φ = а число n равно m-1.

7

Бильярдные траектории в углах с нечётным значением целого числа π

— существенно отличаются от траекторий в углах с четным его значением. а

Сначала рассмотрим случай чётного числа m . Бильярдная траектория шара внутри угла представляет ломаную, два любых смежных звена которой лежат на прямых, симметричных друг другу относительно стороны угла, содержащей их общую вершину. Каждой вершине траектории можно поставить в соответствие преобразование симметрии, благодаря которому прямые, содержащие два соседних звена траектории, переходят друг в друга. Число таких симметрий равно числу n столкновений шара со сторонами угла АСВ . При n последовательных симметриях прямая, на которой лежит начальное звено траектории, или её входящая ветвь, переводится в прямую, на которой лежит конечное звено траектории, или её выходящая ветвь.

Обозначим преобразование симметрии относительно прямой AC через ơ_↑ , относительно прямой ВС - через σ₂. Из курса элементарной геометрии известно (см., например, [3], [4]), что произведение двух симметрий относительно прямых AC и ВС , величина угла между которыми равна а , эквивалентно повороту вокруг точки C на угол 2а . Это утверждение можно выразить символически

^σ2^σi = ^С(2а) , (1)

где через с(2а) обозначен поворот на угол 2а с центром в точке C. В

записи σ₂σ₁ подразумевается, что сначала проводится симметрия σ₁ , а затем - σ . Последовательность множителей σ и σ в записи (1) имеет существенное значение: направление поворота с(2а) совпадает с

направлением поворота, при котором прямая AC переводится в прямую ВС . Чётное число n последовательно проведенных симметрий σ и σ

n

эквивалентно — поворотам на угол 2а, или, в итоге, повороту на угол па вокруг точки C . При n = m угол такого поворота равен π. Таким образом,

очевидно, что для угла АСВ величины — , где m = 2k (к = 1,2,...) , m

выходящая ветвь траектории лежит на прямой, полученной из прямой, на которой лежит входящая ветвь траектории, её поворотом около вершины C угла АСВ на угол π. Полученный результат сформулируем как первую часть теоремы о взаимном расположении входящей и выходящей ветвей

бильярдной траектории для углов с целым значением ^—: для углов с целым а

четным значением ^— входящая и выходящая ветви траектории лежат на а

параллельных прямых, расположенных по разные стороны от точки C и одинаково от неё удалённых.

Утверждение теоремы не имеет места для угла φ = 0 (φ' = а) и угла φ = а (φ' = 0). Особенность траектории при φ = 0 состоит в том, что шар по

ней приближается к вершине наиболее близкой к точке C , а затем удаляется по этой же траектории в бесконечность. Такую траекторию мы будем называть тупиковой.

На рис. 3 и 4 показаны такие траектории в углах a = ^ (т = 8) и a =

(т = 6). На этих рис. тупиками траекторий являются соответственно их вершины P и P . Другие вершины траектории проходятся шаром дважды, поэтому против них поставлены двойные обозначения. Число вершин траектории в данном случае принимается равно т -1.

9

10

Литература

1. В.Кравцов, Г.Калакова, Б.Калаков. Решение задачи о бильярдной траектории внутри угла методом отражений. // Материалы международной научной конференции «Математика, ее применение и преподавание», Костанай, КГПИ, часть 1, стр.34-39, ноябрь 2012.
2. Г.Калакова, Б.Калаков. Решение задачи о бильярдной траектории внутри угла аналитическим методом. // Вестник науки Костанайского социально-технического университета им. академика З. Алдамжар. Серия естественно-технических наук. Том № 3. стр. 130-135, 2011.
3. Фетисов А. И. Геометрия в задачах. – М.: Просвещение, 1977.
4. Шарыгин И. Ф. Геометрия 7-9 кл. - М.: Дрофа, 1999.
5. Гальперин Г. А., Земляков А. Н. Математические бильярды. – М.: Наука, 1990
6. Леман А. А. Сборник задач московских математических олимпиад. – М.: Просвещение, 1965.