О непрерывности обратного преобразования Фурье

Множество S состоит из бесконечно дифференцируемых функций р, для которых при любых целых неотрицательных п и т выполняется условие

Iim х^пр^íт) = 0. (1)

п→∞

Последовательность функций р_⅛ ∈ S, к = 1,2,.., называется сходящейся в S к функции р(х) ∈ S, если для всех целых неотрицательных пит последовательность х^пр_к^(т)(х),к = 1,2,.. равномерно сходится к функций х^п р_к ^(т)(х) на всей числовой оси R:

х^пр_ı'-'(х)Źх^пр^т(х) (2)

20ì

202

Преобразованием Фурье и обратным преобразованием Фурье обобщенной функции f ∈ S' называется функционалы F[f], F^-[f], определяемый формулой

^(F[f }^,φ) = ^(f,F[φ]),<φ∈ ^s

(5)

(6)

(F-¹Lf ],φ) = (f, F-¹[φ]),φ∈ S

Можно доказать, что соотношения (5) и (6) выполняются, когда функция f является обычной функцией медленного роста: они означают просто перемену порядка интегрирования. Например, формула (5) с точностью до констант имеет в этом случае вид

+∞ +∞ +∞ +∞

∫ (р^{( χ})^dχ ∫ ^f (y)^e ~^iydy = ∫ ^f (y)dy ∫ φ(^χ> ' đх.

—∞ —∞ —∞ — ∞

Литература

1 В.П.Михайлов Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1976. – 370 с.