Множество S состоит из бесконечно дифференцируемых функций р, для которых при любых целых неотрицательных п и т выполняется условие
Iim хпрíт) = 0. (1)
п→∞
Последовательность функций р⅛ ∈ S, к = 1,2,.., называется сходящейся в S к функции р(х) ∈ S, если для всех целых неотрицательных пит последовательность хпрк(т)(х),к = 1,2,.. равномерно сходится к функций хп рк (т)(х) на всей числовой оси R:
хпрı'-'(х)Źхпрт(х) (2)
20ì
202
Преобразованием Фурье и обратным преобразованием Фурье обобщенной функции f ∈ S' называется функционалы F[f], F-[f], определяемый формулой
(F[f },φ) = (f,F[φ]),<φ∈ s
(5)
(6)
(F-1Lf ],φ) = (f, F-1[φ]),φ∈ S
Можно доказать, что соотношения (5) и (6) выполняются, когда функция f является обычной функцией медленного роста: они означают просто перемену порядка интегрирования. Например, формула (5) с точностью до констант имеет в этом случае вид
+∞ +∞ +∞ +∞
∫ (р( χ)dχ ∫ f (y)e ~iydy = ∫ f (y)dy ∫ φ(χ> ' đх.
—∞ —∞ —∞ — ∞
Литература
1 В.П.Михайлов Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1976. – 370 с.