Упрощение уравнений пограничного слоя для вязкой сжимаемой жидкости методом асимптотических разложений

Для анализа течения вблизи вогнутой поверхности применяется метод сращиваемых асимптотических разложений. Идеи, лежащие в основе метода, развивались в течение многих лет. Как указано в работе Ван-Дайка /1/, он был систематически  развит и приложен к течениям вязкой жидкости, были введены формальные внутренний и внешний переходы для теории пограничного слоя и соответствующие внутренние и внешние разложения. После этого развития метод сращиваемых асимптотических разложений был приложен к множеству проблем механики жидкости и  газа. Большая часть ранних приложений относилась к вязким течениям.

Развитие вихрей Гертлера в сжимаемых, в частности гиперзвуковых потоках, привлекает в настоящее время значительный интерес в связи с разработкой новых технологий. Ниже формулируется математическая модель, описывающая нелинейную фазу развития возмущений в сжимаемом пограничном слое в поле центробежных сил при больших, но докритических значениях Рейнольдса и Гертлера. Эта модель предназначена как для описания развития вихрей Гертлера, так и для описания возмущенных течений около локальных  или  периодических  в трансверсальном направлении  неровностей   или других пространственных течений. При малых амплитудах возмущений нелинейные краевые задачи сводятся к линейным задачам теории устойчивости, которая к настоящему времени разработана лишь фрагментарно. Так в работах /1,2/ на основе метода сращиваемых асимптотических разложений исследованы некоторые линейные режимы развития возмущений в поле центробежных сил. В частности, выявлена роль переходного температурного слоя в развитии возмущений в гиперзвуковых потоках. В то же время имеющиеся экспериментальные исследования свидетельствуют о возникновении других возможных форм возмущенного вихревого движения газа, что требует проведения дальнейших исследований.

Рассмотрим режим, соответствующий длинам волны вихрей Гертлера fi сравнимые с  толщиной  пограничного  слоя  ð.  В  этом  случае  характерные  размеры  возмущенной области  течения  совпадают  по  порядку величины,  следовательно,  одинаковые порядки будут иметь  и возмущенные величины вертикальной и трансверсальной скоростей P ~ m, что следует  из  уравнения неразрывности и принципа минимального вырождения.     Если предположить, что вихри вызывающи нелинейные изменения основного течения, тогда:

 

Отличие  полученной  системы  уравнений  от  обычной  системы  уравнений Эйлера состоит в наличии члена в уравнении поперечного импульса, учитывающего влияние центробежных сил. Этот член появляется вследствии перехода к криволинейной системе координат, связанной с поверхностью тела. Вторая особенность связана с отсутствием градиента давления в уравнении продольного импульса. Из второго  уравнения полученной системы следует тогда сохранение продольной составляющей вектора скорости вдоль линии тока. Аналогичным первым интегралом обладает и уравнение для полной энтальпии. Для возмущенной малой амплитуды решение уравнений можно представить в виде разложений по экспоненте.

Тогда задача сводится к дифференциальному уравнению на собственные значения. Такое уравнение с соответствующими граничными условиями можно решить двумя путями: как поиск собственных значений матрицы, получающейся при разностном представлении уравнения, или как результат решении дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.

Таким образом, с помощью асимптотических методов можно провести нелинейный анализ  уравнений  для  сжимаемой  жидкости  при  больших  значениях  Рейнольдса и Гертлера и получить краевую задачу на собственные значения и определить параметры подобия.

 

Литература 

  1. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике. -Москва, изд-во Мир, 1967 г.
  2. Бийбосунов А.И. Гидродинамическая неустойчивость течения в поле центробежных сил. Материалы международной конференции «Проблемы механики и технологий», г. Бишкек, 1994г.
Фамилия автора: Бозгунчиев Т.М.
Год: 2011
Город: Алматы