Симметрические многочлены от двух переменных

Аннотация. В статье рассмотрен метод решения симметрических многочленов от двух переменных, автором разобраны несколько задач этого типа. Среди задач есть и весьма трудные, которые предлагались на математических олимпиадах. 

Цель данной статьи – познакомить интересующихся читателей с одним довольно общим методом решения систем уравнений высших степеней, который основан на использовании  теории симметрических многочленов. Сама теория очень проста, она позволяет решать не только многие системы алгебраических уравнений, но и различные другие алгебраические задачи (решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители и т.д.). С помощью теории симметрических многочленов решение этих задач заметно упрощается и, что самое главное, проводится стандартным приёмом.

Примеры  симметрических  многочленов.  Многочлены,  в  которые   x  и   y   входят  одинаковым образом, называют симметрическими. Точнее говоря: многочлен от x и y называют симметрическим, если он не меняется при замене  x на  y  и  y  на  x .

Многочлен

x 2 y

x y 2

–   симметрический.   Напротив,   многочлен

x3         3y 2

не   является

симметрическим: при замене x на y , y на x он превращается в многочлен совпадает с первоначальным.

y3     3x2 ,  который не

Приведем важнейшие примеры симметрических многочленов. Как известно из арифметики, сумма

двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т.е.

x     y     x    y

Для   любых   чисел     x    и     y .   Это   равенство   показывает,   что   многочлен     x

симметрическим.

Точно так же из закона коммутативности умножения

y   является

следует, что произведение  xy  является симметрическим многочленом.

Симметрические   многочлены     x

y    и      x y

являются   самыми   простыми.   Их    называют

элементарными   симметрическими   многочленами   от    x  и      y .   Для   них   используют  специальные обозначения:

1          x     y ,      2

xy .

2              2

Кроме

и        2 ,  нам  часто  будут  встречаться  степенные  суммы,  т.е.  многочлены  x       y  ,

x3          y3 , …,  xn

yn ,… Принято обозначать многочлен xn

yn  через  s  . Таким образом,

s1     x

s       x2

s      x3

s       x4

…….

y ,

y 2 ,

y3 ,

y 4 ,

Основная  теорема:  Любой  симметрический  многочлен  от   x  и   y   можно  представить  в виде

многочлена от

• y и 2

x y [1].

Существует простой прием, позволяющий получать симметрические многочлены. Итак, если взять

любой  многочлен от            и

и  подставить  в  него вместо            и

их выражение

1

x     y ,

xy , то получится симметрический многочлен от  x  и  y .

Возникает вопрос, является ли этот прием построения симметрических многочленов общим, т.е.

можно ли с его помощью получить любой симметрический многочлен?

Рассмотрение примеров делает это  предположение вероятным. Например, степенные   суммы

s1 ,

s2 ,  s3 ,  s4  без труда выражаются через

2

и       2 :

s1            x    y      1 ,

2                                2                                      2

s 2        x      y

3              3                                       2

(x    y)

2

• x y

1          2   2 ,

2                                                     2

s3           x      y

(x    y) (x

x y    y  )

(x     y) ((x     y)

3  x y)

1  (  1

3   2 ) ,

s4     x

y 4            (x2

y 2 )2

2x2 y 2

1                      2 )

2   2 .

В качестве следующего примера рассмотрим олимпиадную задачу, где нужно доказать, что при любых значениях  x и  y  справедливо неравенство:

x 2         x y    y 2

3(x

• 1)

Для начала представим симметрический многочлен от  x  и  y  в виде многочлена от

2           xy . Мы получим:

x    y и

(x 2

2 x y

y 2 )    x y

3 (x

y   1)

(x    y) 2         x y

2

1                2                    1

2

1                    1

3 (x

3

2

1. y) 3

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши, где

x    y

xy               ,

2

заметим, что неравенство Коши можно представить в виде многочлена от

отсюда следует, что

2

1

2

      1     или

4

x     y и

2

2

      1  ,

2

xy .

Из полученных нами неравенств составляем систему от двух переменных:

2

1                   1                           2

2

1                    2

2         12

2

1

1        12    4  2         0

4  2          0

Чтобы решить систему найдем корни квадратного уравнения:

Мы привели нашу систему уравнений от двух переменных к уравнению от одной переменной:

2

3  1         12  1

D    (  b)2

12

4ac

0

(  12)2

4  3 12    0

Так как дискриминант равен нулю, мы получаем два одинаковых корня:

 12     2 ,

отсюда 3(  1

2)2         0

1          2 3

1 - имеет множество  решений.  А это  означает, что  симметрический многочлен      x

y  так же

имеет  множество  решений.  Следовательно,  что  для  любых  значений   x   и   y   справедливо   данное

неравенство, что и требовалось доказать.

Разбор дальнейших приемов дает тот же результат: какой бы симметрический многочлен мы бы не взяли,   после   более   или   менее   сложных   выкладок   его   удается   выразить   через      элементарные

симметрические многочлены

и        2 . Таким  образом, примеры приводят  нас к  предположению    о

справедливости, основной теоремы: Любой симметрический многочлен от  x  и  y  можно представить  в

виде многочлена от

1

x    y и

xy .

Переходим к доказательству основной теоремы. Мы проведем его в два приема. Во-первых:

сумм.

1. Выражение степенных сумм через

Теорема: [1]

и        2 .  Сначала  мы  докажем  теорему для степенных

В каждую степенную сумму sn

xn      yn  можно представить в виде многочлена от

С этой целью мы умножим обе части равенства  sk  1

xk-1

yk  1  на

x    y . Получим:

1 sk 1

sk

(x

2 sk

y)(x

2

k-1

y k  1 )    xk

xy k 1

xk  1 y    y k

xk        y k

xy(x k 2

y k   2 )

Таким образом,

sk                  1 sk 1

2 sk  2

(1)

Из этой формулы вытекает справедливость нашего утверждения. В самом деле, мы уже знаем, что

степенные суммы

s1 , s2 ,..., sk

2 , sk 1

выражаются  в  виде  многочленов от       1   и       2 ,  подставляя эти

выражения в формулу (1), мы получим выражение степенной суммы  sk

через         1  и      2 . Далее методом

математической индукции мы можем последовательно находить выражения степенных сумм через         и

2 : зная

s1   и

s2 , находим по формуле (1) s3 ,    затем

s4 , s5

и т. д. Ясно, что рано или поздно мы

получим выражение любой степенной суммы    sn

доказано.

через

и       2 . Таким образом, наше   утверждение

Формула  (1),  составляющая  основу изложенного  доказательства  Теоремы,  позволяет  не только

утверждать, что  sn

выражается через

и       2 , но и позволяет последовательно вычислять выражения

степенных сумм  sn через      1  и      2 . Так, с помощью формулы (1) мы последовательно находим:

s3                 1 s2

2 s1

3

1          1                      2 )      2     1

2

3

1                     1      2 ,

4                     2                              2

s4                1 s3

2 s2

1 (  1          3  1      2 )

4                    2                             2

2 (  1           2  2  )

3

1          4  1         2

5                    3

2   2 ,

2

s5                1 s4

2 s3

1 (  1

4  1        2

2   2 )

2 (  1

3  1      2 )

1          5  1        2

5  1     2

и т.д. В ниже приведенной таблице сведены выражения степенных   сумм

s1 , s2 ,..., s10 через      1  и       2 ,

эти выражения будут нам полезны при решении задач. Читателю можно самому построить таблицу с помощью формулы (1).

Выражения стенных сумм sn          x

2. Доказательство основной теоремы. Теперь нетрудно завершить доказательство основной теоремы. Любой симметрический многочлен от x и y содержит (после приведения подобных членов)

слагаемые двух видов.

Во-первых, могут встретиться одночлены, в которые  x  и   y  входят в одинаковых степенях,    т.е.

одночлены вида  axk yk . Ясно, что

axk yk

a(xy)k

a   2  ,

т.е. одночлены этого вида непосредственно выражаются через     2 .

Во-вторых,  могут  встретиться  одночлены,  имеющие  разные  степени  относительно   x  и   y т.е.

одночлены вида

bxk yl , где   k

l . Ясно, что вместе с  одночленом

bxk yl

симметрический многочлен

содержит также и одночлен  bxl yk , получаемый из  bxk  yl

перестановкой букв  x и  y . Иными словами,

в симметрический многочлен входит двучлен  вида

b(xk yl

xl yk ) . Предполагая для  определенности

k     l , мы сможем переписать этот двучлен следующим образом:

b(xk yl

xl yk )

bxk yk ( yl k

xl  k )

k

2     l  k

Так  как  по  доказанной теореме  степенная сумма

sl-k

представляется  в  виде многочлена           и

2 , то и рассматриваемый двучлен выражается через

и       2 .

Итак,  каждый  симметрический  многочлен  представляется  в  виде  суммы  одночленов      вида

axk yk

и   двучленов  вида

b(xk yl

xl yk ) ,   каждый   из   которых   выражается через              и           .

Следовательно,  любой  симметрический  многочлен,  представляется  в  виде   от             и полностью доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Теорема

1. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. - М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит.