О сумме углов многоугольника с самопересечением

Замкнутые многоугольники с самопересечением не столь часто встречаются в задачах элементарной геометрии. С примерами таких самопересекающихся многоугольников приходится встречаться систематически при изучении замкнутых бильярдных траекторий на плоскости. Через каждую вершину любого замкнутого многоугольника можно провести прямую, с которой две его смежные стороны будут составлять равные углы. И потому любой такой многоугольник может представлять некоторую замкнутую бильярдную траекторию, «бортами бильярда» для которой служат прямые, построенные указанным образом.

В общем случае прямые, служащие «бортами бильярда», при пересечении между собой могут не образовать многоугольника, в котором указанная бильярдная траектория была бы возможна. Замкнутую бильярдную траекторию с нечетным числом вершин мы называем траекторией второго рода. Характерной особенностью замкнутой бильярдной траектории второго рода является наличие множества (мощности континуума) сопутствующих ей траекторий с числом вершин в два раза большим. На рис.1а изображена (красным цветом) такая траектория с пятью вершинами и сопутствующая ей траектория с десятью вершинами.

На рис.1б показана (красным цветом) траектория с четным числом вершин, траектория первого рода. «Бортами бильярда» для этой траектории В₁В₂В₃В₄ служат прямые m₁, m₂, m₃, m₄. Характерной особенностью траектории первого рода является наличие множества (мощности континуума) «параллельных» ей траекторий.

Итак, замкнутые многоугольники с четным и нечетным числом вершин, если их рассматривать как бильярдные траектории, имеют существенные отличия. Отличаются эти многоугольники и особенностями в значении сумм их углов. На этом отличии многоугольников с четным и нечетным числом вершин мы и остановимся.

Замкнутые бильярдные траектории в многоугольниках, за небольшим исключением, являются самопересекающимися многоугольниками. Как для многоугольников с самопересечением, так и для многоугольников без самопересечения справедлива рассматриваемая ниже теорема о сумме углов.

В основе теории бильярдных траекторий в многоугольниках лежат изометрические преобразования плоскости. В этой теории систематически используются представления изометрий произведениями заданных симметрий. В ней также часто приходиться иметь дело и с преобразованиями, являющимися поворотами плоскости. Естественно, что углы между прямыми на плоскости в этой теории следует рассматривать как углы поворота.

170

Известно, что множество поворотов плоскости вокруг заданной её точки образуют группу.

Возможность сравнивать повороты вокруг различных вершин позволяет рассматривать их сложение.

В изометрических преобразованиях плоскости поворотам приписывается направление, а соответствующим углам поворота знак. За положительное обычно принимается направление поворота против хода часовой стрелки.

Говорят, что плоскость ориентирована, если на ней указано положительное направление углов.

При заданном центре поворота один и тот же результат может быть достигнут двумя способами – поворотом, скажем, на угол α в одном направлении и на угол 2π - а в другом. Два таких различных поворота показаны дугами – стрелочками на рис.2*

В описании группы поворотов используются значения углов из интервала

[〇, 2π[. В случае необходимости (возникающей, например, при сложении поворотов) значение угла поворота приводится к указанному интервалу вычетом по mod 2π. Дальнейшее изложение [в этом параграфе] будет вестись с учетом этого правила. Заметим, что поворот на угол α в одном направлении и поворот на угол 2π -а в другом при использовании вычета по mod 2πв численном отношении совпадают.

В аддитивной группе поворотов нейтральным элементом является поворот на угол, равной 0. Выделяется также поворот на угол величины π (см., например, Г.Шоке [1], Ж.Дведонне [2], М.Берже [3]). Как элемент группы поворотов он является одним из двух решений уравнения

2 х = 0

и обозначается г (другим решением уравнения 2х = 0 является х = 0). Таким образом, величина развернутого угла, обозначается символом г: r = π.

Дадим определение угла поворота между двумя прямыми относительно их точки пересечения.

Пусть А′А и В′В – прямые, пересекающиеся в точке 0. Угол между прямыми А′А и В′В называют углом поворота вокруг точки 0, при котором прямая А′А переводится в прямую В′В. Точка 0 разбивает прямые А′А и В′В полупрямых (соответственно, на полупрямые 0А и 0А′ , а также 0В и 0В′) на пары.

Важно отметить, что существует два угла, при которых прямая А′А переводится в прямую В′В. Это углы , образованные одной из полупрямых А′А с каждой из двух полупрямых В′В, то есть углы А0В и А0В′ (см. рис. 3а и 3б). Разность между ними равна г. На рис. 3а и 3б показаны два эквивалентных представления одних и тех же поворотов.

То обстоятельство , что существует два поворота (скажем, на угол α в одном направлении и на угол 2π - а в другом), совмещающих два две пересекающиеся прямые, приводит к разным результатам при подсчете суммы углов замкнутого многоугольника. Однако, если использовать в указанном подсчете вычеты по mod 2π, приводя результат к интервалу [0.2π[, то этот результат оказывается однозначным.

В элементарной геометрии имеет место теорема относительно суммы углов замкнутого многоугольника (см., например, Шоке [1]).

Теорема. Сумма углов любого замкнутого многоугольника равна 0 или г в зависимости от четности или нечетности числа его вершин.

Для многоугольника без самопересечения, эта теорема является простым следствием известной формулы для суммы его углов. Для многоугольников с самопересечением утверждение теоремы не столь очевидно. Но именно для таких многоугольников теорема интересна.

Приводимое в книге [1] доказательство теоремы без каких-либо оговорок справедливо как для многоугольников с самопересечением, так и для многоугольников без самопересечения.

Интересен, однако, тот факт, что в книге [1] не содержится упоминания о многоугольниках с самопересечением.

Излагаемое нами доказательство теоремы имеет некоторое отличие от доказательства в книге [1].

В основу предлагаемого доказательства положена последовательность преобразований (поворотов), приводящих к необходимому результату.

Итак, пусть A₁A₂.A_n - замкнутый n-угольник. Будем называть внешним при вершине A_i угол такого поворота с центром A_i, при котором полупрямая A A ложится на полупрямую A A . Величину этого угла обозначим через βi . Внутренним при вершине Ai назовем угол поворота с центром Ai, при котором полупрямая A A переходит в полупрямую A A . Таким образом, внутренний угол при вершине A_i есть угол A A A . Величину этого угла обозначим через α_i. Повороты, с помощью которых определяются внутренний и внешний углы при заданной вершине Ai противоположно направлены. Для указанных углов αi и βi справедливо равенство: а - β_ι = г.Для наглядности рассуждений обратимся к примеру четырехугольника с самопересечением A1A2A3A4 , см. рис 4.

На этом конкретном примере рассмотрим последовательные повороты прямой l1, на которой лежит сторона А1А4 четырехугольника, относительно его вершин А1, А2, А3, А4.

Поворот прямой l₁ вокруг вершин А₁ проведем по последующему правилу. Повернем ее таким образом, чтобы лежащая на ней полупрямая А1А4 легла на полупрямую А2А1 . При этом повороте прямая l1 перейдет в прямую l2, на которой лежит сторона А1А2 четырехугольника А1А2А3А4 . На рис.** показана точка А′₄ , в которую переходит точка А₄ при указанном повороте. При проведенном повороте полупрямая А1А4 опишет угол А4А1А4′, являющийся внешним углом многоугольника А1А2А3А4 при вершине А1. Затем прямую l2, вместе с лежащей на ней прямой l1 повернем вокруг вершины А₂ четырехугольника так, чтобы полупрямая А₂А₄′ легла на полупрямую А3А2. Точки А4′ и А1 полупрямой А2А4′ перейдут при этом соответственно в точки А4′′ и А1′ полупрямой А3А2. При этом повороте полупрямая А2А4′ опишет угол А1А2А1′, являющийся внешним углом четырехугольника А₁А₂А₃А₄ при вершине А₂. Углы А₄А₁А₂ и А₁А₂А₃ являются внутренними углами четырехугольника соответственно при вершинах А1 и А2.

Соответствующие повороты совершим также вокруг вершин А₃ и А₄ . В результате четырех поворотов прямая l₁ совпадает сама с собой. Более точно, в результате четырех последовательных поворотов вокруг вершин четырехугольника А1А2А3А4 прямая l1 сдвинется вдоль самой себя на расстояние, равное его периметру. Сдвиг прямой l₁ несложно обнаруживается по точкам – меткам на ней А₁′′′, А₂′′, А₃ ′, совпадающим с вершинами А1А2А3 в момент соответствующего поворота.

Таким образом композиция четырех описанных поворотов плоскости вокруг вершин А₁, А_2, А_3, А₄ четырехугольника А₁А₂А₃А₄ есть параллельный перенос с вектором А А параллельным прямой l₁, и модулей, равным периметру четырехугольника.

Неоднозначность, обусловленную наличием двух поворотов, приводящих плоскость к определенному положению, можно устранить, наложив на повороты некоторое дополнительное требование. Можно рассматривать, например, повороты плоскости только с такими значениями угла α, для которых ∖α∖< π.

На рис. 6а и 6в показаны два вида пятиугольников, сумма углов которых равна π. Такое значение для сумм углов указанных пятиугольников получено с использованием правила: ∖α_i∖<π, i=1, 2, ..5, где α.∣ - величина угла при соответствующей вершине А_İ. В пятиугольнике на рис. 6а величины углов имеют одинаковый знак. В пятиугольнике на рис. 6в знаки двух углов (при вершинах А₃ и А₄) противоположены знакам других углов. Значение суммы углов может быть проверено измерением углов (с последующим сложением) с помощью циркуля или просто транспортира.

Может случиться, что при практическом измерении углов многоугольника и подсчете их суммы это сумма оказывается отрицательной. Результат в таком случае может быть приведен к положительному значению (при той же его абсолютной величине) заменой последовательности обозначений вершин многоугольника с обратным обходом их. Другими словами, в таком случае для получения положительного значения суммы углов достаточно перейти к противоположной «ориентации» многоугольника.

Подсчет суммы углов многоугольника упрощается в том случае, когда его углы имеют одинаковую ориентацию (т.е. когда величины углов имеют одинаковый знак). По используемому определению угла в многоугольнике ориентации его углов взаимосвязаны. Единственным n- угольником, у которого углы имеют одинаковую ориентацию при любых положениях его вершин на плоскости, является треугольник.

В курсах элементарной геометрии используются различные определения угла. В примечаниях И.М. Яглома к книге [1] перечислены четыре наиболее распространенных определения понятия «угол».

Понятие направленного угла естественно в теории изометрических преобразований плоскости. Оно выступает как необходимый элемент в группе поворотов. Направленные углы фигурируют в книге выдающегося

175 математика Ж. Адамара «Элементарная геометрия», написанной в конце ХІХ столетия (см.IV русское издание этой книги [4]). И в этом издании элементарной геометрии направленные углы рассматриваются в их связи с изометрическими преобразованиями плоскости. Во многих по следующих учебных курсах элементарной геометрии, более приспособленных к возможностям средней школы, изложение темы изометрических преобразований плоскости или отсутствует или вынужденно дается фрагментарно. В известном американском курсе геометрии для ср едней школы [5] отмечается: «В этом курсе направленные углы не используются, потому что в элементарной геометрии они не нужны». Рассмотренная теорема подтверждает, что это не так.

Мы не касаемся вопроса о том, каким должен быть школьный курс элементарной геометрии. Формирование такого курса (определение его объема и содержания) представляет педагогическую и социальную задачу. По этой проблеме существует обширная литература (см. например, книги [1], [2], [5] и помещенные в них в качестве дополнений статьи И.М.Яглома).

В книге известного популяризатора науки М. Гарднера [6] как занимательной отмечается тот факт, что суммы углов самопересекающихся многоугольников кратны π. Но в этой книге не отмечена зависимость суммы углов самопересекающегося многоугольника от того, четное или нечетное число вершин он имеет.

Литература

1. Г.Шоке. Геометрия. Пер. с франц. Родман Н.Н. Под ред. И.М.Яглома. – М.: Мир, 1970. – 270 с.
2. Ж.Дведонне. Линейная алгебра и элементарная геометрия. Пер. с франц. Дорофеева Г.В. Под ред. И.М.Яглома. –М.: Наука, 1972. – 360 с.
3. М.Берже. Геометрия. т. 1,2. Пер. с франц. Ю.Н.Сударева, А.В.Пожитнова, С.В.Чмутова. Под ред. И.Х.Сабитова. – М.: Мир, 1984. – 405 с.
4. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. I. Чётвёртое русское издание, с приложением составленных проф. Пчёлкиным Д. И. решений всех помещённых в тексте задач. - М.: Учпедгиз, 1957. – 383 с.
5. Моиз Э.Э., Даунс Ф.Л., мл. Геометрия. Пер. с англ. Вейнштейна И.А. Под ред. Яглома И.М. – М.: Просвещение, 1972. – 378 с.
6. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. Пер. С англ. Данилова Ю.А. Под ред. Смородинского Я.А. – М.: Мир, 1971. – 270 с.