Пусть дано комплексное линейное пространство Xn . Говорят, что в X n определена операция скалярного умножения векторов, если любой паре векторов х и у из X n поставлено в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением векторов х и у и обозначаемое символом (x, у) , и если для любых x,y,z из Xn и любого комплексного
186
- (ар")* = ар* при любом комплексном числе а ,
- {φψy=φtψ*.
Матрицы А и A1 соответственно операторов р и р* в произвольном базисе е унитарного пространства U n связаны соотношением
A = АГ "1 Ат Г
где Г -матрица Грама в базисе е. В частности, если базис ортонормированный, то A1 = А = А*,
т.е. в ортонормированном базисе матрицей сопряженного оператора р* является матрица, сопряженная к матрице оператора φ.
Собственные значения сопряженных операторов являются комплексно сопряженными числами. Область значений сопряженного оператора является р* подпространством, ортогональным к ядру оператора P.
Основное свойство сопряженного оператора состоит в следующем:
Если некоторое подпространство L инвариантно относительно оператора р, то ортогональное дополнение L1 этого подпространства инвариантно относительно сопряженного оператора р*.
Определение: Линейный оператор р , действующий в унитарном пространстве, называют самосопряженным или эрмитовым, если он совпадает со своим сопряженным оператором, т.е. если р = р* , или, что то же самое, для любых векторов х и у (рх, у) = (х, ру)
Если р – самосопряженный оператор, то при любом векторе х скалярное произведение (рх, х) является действительным числом. Матрицей самосопряженного оператора в ортонормированном базисе является эрмитова матрица, т.е матрица А = Ат = А*. Все собственные значения самосопряженного оператора являются действительным числами. Все собственные векторы самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.
Для любого самосопряженного оператора, действующего в унитарном пространстве, существует в этом пространстве одномерное инвариантное подпространство. Если L - инвариантное подпространство относительно самосопряженного оператора р, то ортогональное дополнение L1 - этого подпространства также инвариантно относительно р.
Основным свойством самосопряженного оператора является то, что в унитарном пространстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.
Правило построения унитарной матрицы Т остается таким же, как в случае симметрических матриц.
Определение: Эрмитов оператор р называют неотрицательным (положительно определенным), если для любого ненулевого вектора х ≠ 0 выполняется неравенство (φx, x) ≥ 0((φx, x) › 0) . Неотрицательный и положительно определенный операторы обозначают соответственно через φ ≥ 0 и φ › 0 . Эрмитов оператор является неотрицательным (положительно определенным) тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательные (положительные). Для любого неотрицательного эрмитова оператора φ существует такой неотрицательный Эрмитов оператор f, что fm =φ .Эрмитов оператор f , удовлетворяющий условию f m = φ, называют арифметическим корнем m- ой степени из оператора φ.
Определение: Линейный оператор φ , действующий в унитарном пространстве, называют унитарной, если он не изменяет скалярного произведение векторов, т.е. если для любых векторов х и у
(φ-x,φy ) = Cx, y).
Отсюда следует, что унитарный оператор сохраняет длины векторов. Унитарный оператор любую ортонормированную систему векторов переводит в ортонормированную систему векторов, ортонормированный базис- в ортонормированный базис.
Линейный оператор φ тогда и только тогда является унитарным, когда
* * φ φ = φφ = ε
Отсюда следует, что унитарный оператор φ - невырожденный и φ" φ '. Действительный унитарный оператор является ортогональным.
Собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице; собственные векторы унитарного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. В ортонормированном базисе пространства матрицей унитарного оператора является матрица, м обратно, если в ортонормированном базисе оператор имеет унитарную матрицу, то этот оператор унитарный. Произведение унитарных операторов является унитарным оператором.
Основное свойство унитарного оператора состоит в том, что в унитарном пространстве, в котором он действует, есть ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Это означает, что унитарный оператора является оператором простой структуры, а среди матриц, приводящих унитарную матрицу к диагональному виду с диагональными элементами, равными по модулю единице, есть унитарная матрица или, что то же самое, унитарная матрица обладает каноническим разложением с унитарной трансформирующей матрицей и диагональной матрицей с диагональными элементами, равными единице по модулю.
Определение: Линейный оператор φ называют нормальным, если он перестановочен со своим сопряженным, т.е. если φφ* = φ*φ
В ортонормированном базисе матрицей нормального оператора является матрица А , перестановочная со своей сопряженной матрицей А.., т.е.удовлетворяющая условию AA* = A*A Такие матрицы называют нормальными.
Основным свойством нормального оператора, действующего в унитарном пространстве, является то, что в этом пространстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Верно и обратное утверждение, т.е. если в унитарном пространстве существует базис, состоящий из собственных векторов оператора, то этот оператор нормальный.
Если оператор φ - нормальный, то всякая ортонормированная система собственных векторов оператора φ является ортонормированной системой собственных векторов оператора φ*, и наоборот.
Если оператор φ - нормальный, то собственные значение операторов φ и φ* ,соответствующие общему собственному вектору, комплексно сопряжены.
Примерами нормальных операторов являются эрмитовы и унитарные операторы.
Таблица 1 - Сравнительный анализ евклидово пространства и унитарного пространства
|
Евклидово пространство |
Унитарное пространство |
|
Правило выноса константы из первого сомножителя в скалярном произведении: (ax, y) = a( x, y) |
Правило выноса константы из первого сомножителя в скалярном произведении: (ax, y) = a( x, y) |
|
Скалярное произведение xy = xM + x2 У2 + •••+IJņ |
Скалярное произведение xy = xι Уì + x2 у 2 + •••+Wn |
|
Угол между векторами cosφ = →y→ 1 x 11 y 1 |
Угол между векторами Не определяется |
|
Сопряженный оператор в пространстве Қ ((φ(x), y) = (x, φ* (y)) |
Сопряженный оператор в пространстве Un ((φ(x),y) = (x,φ(y)) |
|
Матрицы А и А1 соответственно операторов φ и φ* в произвольном базисе е пространства Е связаны соотношением A = 1 At Г |
Матрицы А и Аì соответственно операторов φ и φ* в произвольном базисе е пространства U связаны соотношением A = Г 1A Г |
|
Симметрический или самосопряженный оператор jφx,y)=(xφ(y)) |
Самосопряженный или эрмитовый оператор φ x>, у) = (x,φ у)) |
|
Симметрическая матрица: AT = A |
Эрмитова матрица: Aτ = A |
|
В ортонормированном базисе в E n самосопряженный оператор имеет симметрическую матрицу |
В ортонормированном базисе в U n эрмитов оператор имеет эрмитову матрицу |
|
Из собственных векторов самосопряженного оператора в E n можно образовать ортонормированный базис |
Из собственных векторов эрмитова оператора в U n можно образовать ортонормированный базис |
|
Ортогональный оператор φ в пространстве Е : (φ(x),φ(y)) = (x,y) |
Унитарный оператор φ в пространстве Un: (φ(χ),φ(y)) = (x, у) |
сохраняет длины векторов
сохраняет углы между векторами |
Унитарный оператор сохраняет длины векторов |
|
Ортогональная матрица: Aτ A = E |
Унитарная матрица:AT A = E |
|
В ортонормированном базисе в E n ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу |
В ортонормированном базисе в U n унитарный оператор имеет унитарную матрицу |
Литература
- Шевцов Г.С. Линейная алгебра..- М.: Гардарики, 1999.-С.359.
- Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.:Наука, 1974.-С.314.
- Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.-М, Наука, 1971.-С.71.
- Фадеев Д.К. Лекции по алгебре.- Санкт-Петербург,2002.-С.432.