Другие статьи

Цель нашей работы - изучение аминокислотного и минерального состава травы чертополоха поникшего
2010
Теги: Анализ

Слово «этика» произошло от греческого «ethos», что в переводе означает обычай, нрав. Нравы и обычаи наших предков и составляли их нравственность, общепринятые нормы поведения.
2010

Артериальная гипертензия (АГ) является важнейшей медико-социальной проблемой. У 30% взрослого населения развитых стран мира определяется повышенный уровень артериального давления (АД) и у 12-15 % - наблюдается стойкая артериальная гипертензия
2010

Целью нашего исследования явилось определение эффективности применения препарата «Гинолакт» для лечения ВД у беременных.
2010

Целью нашего исследования явилось изучение эффективности и безопасности препарата лазолван 30мг у амбулаторных больных с ХОБЛ.
2010
Теги: ХОБЛ

Деформирующий остеоартроз (ДОА) в настоящее время является наиболее распространенным дегенеративно-дистрофическим заболеванием суставов, которым страдают не менее 20% населения земного шара.
2010

Целью работы явилась оценка анальгетической эффективности препарата Кетанов (кеторолак трометамин), у хирургических больных в послеоперационном периоде и возможности уменьшения использования наркотических анальгетиков.
2010

Для более объективного подтверждения мембранно-стабилизирующего влияния карбамезапина и ламиктала нами оценивались перекисная и механическая стойкости эритроцитов у больных эпилепсией
2010

Нами было проведено клинико-нейропсихологическое обследование 250 больных с ХИСФ (работающих в фосфорном производстве Каратау-Жамбылской биогеохимической провинции)
2010

C использованием разработанных алгоритмов и моделей был произведен анализ ситуации в системе здравоохранения биогеохимической провинции. Рассчитаны интегрированные показатели здоровья
2010

Специфические особенности Каратау-Жамбылской биогеохимической провинции связаны с производством фосфорных минеральных удобрений.
2010

Линейные операторы в унитарных пространствах

Пусть дано комплексное линейное пространство Xn . Говорят, что в X n определена операция скалярного умножения векторов, если любой паре векторов х и у из n поставлено в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением векторов х и у и обозначаемое символом (xу) , и если для любых x,y,z из Xn и любого комплексного

186

  1. (ар")* = ар* при любом комплексном числе а ,
  2. {φψy=φtψ*.

Матрицы А и A1 соответственно операторов р и р* в произвольном базисе е унитарного пространства U n связаны соотношением

A = АГ "1 Ат Г

где Г -матрица Грама в базисе е. В частности, если базис ортонормированный, то A1 = А = А*,

т.е. в ортонормированном базисе матрицей сопряженного оператора р* является матрица, сопряженная к матрице оператора φ.

Собственные значения сопряженных операторов являются комплексно сопряженными числами. Область значений сопряженного оператора является р* подпространством, ортогональным к ядру оператора P.

Основное свойство сопряженного оператора состоит в следующем:

Если некоторое подпространство L инвариантно относительно оператора р, то ортогональное дополнение L1 этого подпространства инвариантно относительно сопряженного оператора р*.

Определение: Линейный оператор р , действующий в унитарном пространстве, называют самосопряженным или эрмитовым, если он совпадает со своим сопряженным оператором, т.е. если р = р* , или, что то же самое, для любых векторов х и у (рх, у) = (хру)

Если р – самосопряженный оператор, то при любом векторе х скалярное произведение (рх, х) является действительным числом. Матрицей самосопряженного оператора в ортонормированном базисе является эрмитова матрица, т.е матрица А = Ат = А*. Все собственные значения самосопряженного оператора являются действительным числами. Все собственные векторы самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Для любого самосопряженного оператора, действующего в унитарном пространстве, существует в этом пространстве одномерное инвариантное подпространство. Если L - инвариантное подпространство относительно самосопряженного оператора р, то ортогональное дополнение L1 - этого подпространства также инвариантно относительно р.

Основным свойством самосопряженного оператора является то, что в унитарном пространстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Правило построения унитарной матрицы Т остается таким же, как в случае симметрических матриц.

Определение: Эрмитов оператор р называют неотрицательным (положительно определенным), если для любого ненулевого вектора х ≠ 0 выполняется неравенство (φx, x) ≥ 0((φx, x) › 0) . Неотрицательный и положительно определенный операторы обозначают соответственно через φ ≥ 0 и φ › 0 . Эрмитов оператор является неотрицательным (положительно определенным) тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательные (положительные). Для любого неотрицательного эрмитова оператора φ существует такой неотрицательный Эрмитов оператор f, что fm =φ .Эрмитов оператор f , удовлетворяющий условию m = φ, называют арифметическим корнем m- ой степени из оператора φ.

Определение: Линейный оператор φ , действующий в унитарном пространстве, называют унитарной, если он не изменяет скалярного произведение векторов, т.е. если для любых векторов х и у

(φ-x,φy ) = Cx, y).

Отсюда следует, что унитарный оператор сохраняет длины векторов. Унитарный оператор любую ортонормированную систему векторов переводит в ортонормированную систему векторов, ортонормированный базис- в ортонормированный базис.

Линейный оператор φ тогда и только тогда является унитарным, когда

* * φ φ = φφ = ε

Отсюда следует, что унитарный оператор φ - невырожденный и φ" φ '. Действительный унитарный оператор является ортогональным.

Собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице; собственные векторы унитарного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. В ортонормированном базисе пространства матрицей унитарного оператора является матрица, м обратно, если в ортонормированном базисе оператор имеет унитарную матрицу, то этот оператор унитарный. Произведение унитарных операторов является унитарным оператором.

Основное свойство унитарного оператора состоит в том, что в унитарном пространстве, в котором он действует, есть ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Это означает, что унитарный оператора является оператором простой структуры, а среди матриц, приводящих унитарную матрицу к диагональному виду с диагональными элементами, равными по модулю единице, есть унитарная матрица или, что то же самое, унитарная матрица обладает каноническим разложением с унитарной трансформирующей матрицей и диагональной матрицей с диагональными элементами, равными единице по модулю.

Определение: Линейный оператор φ называют нормальным, если он перестановочен со своим сопряженным, т.е. если φφ* φ*φ

В ортонормированном базисе матрицей нормального оператора является матрица А , перестановочная со своей сопряженной матрицей А.., т.е.удовлетворяющая условию AA* = A*A Такие матрицы называют нормальными.

Основным свойством нормального оператора, действующего в унитарном пространстве, является то, что в этом пространстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Верно и обратное утверждение, т.е. если в унитарном пространстве существует базис, состоящий из собственных векторов оператора, то этот оператор нормальный.

Если оператор φ - нормальный, то всякая ортонормированная система собственных векторов оператора φ является ортонормированной системой собственных векторов оператора φ*, и наоборот.

Если оператор φ - нормальный, то собственные значение операторов φ и φ* ,соответствующие общему собственному вектору, комплексно сопряжены.

Примерами нормальных операторов являются эрмитовы и унитарные операторы.

Таблица 1 - Сравнительный анализ евклидово пространства и унитарного пространства

Евклидово пространство

Унитарное пространство

Правило выноса константы из первого сомножителя в скалярном произведении:

(ax, y) = a( x, y)

Правило выноса константы из первого сомножителя в скалярном произведении:

(ax, y) = a( x, y)

Скалярное произведение

xy = xM xУ+ •••+IJņ

Скалярное произведение

xy = xι Уì xу 2 + •••+Wn

Угол между векторами cosφ = →y

x 11 y 1

Угол между векторами Не определяется

Сопряженный оператор в

пространстве Қ ((φ(x), y) = (xφ* (y))

Сопряженный оператор в

пространстве Un ((φ(x),y) = (x,φ(y))

Матрицы А и А1 соответственно операторов φ и φ* в произвольном базисе е пространства Е связаны соотношением A = 1 At Г

Матрицы А и Аì соответственно операторов φ и φ* в произвольном базисе е пространства U связаны соотношением A = Г 1A Г

Симметрический или

самосопряженный оператор jφx,y)=((y))

Самосопряженный или эрмитовый оператор

φ x>, у) = (x,φ у))

Симметрическая матрица: AT = A

Эрмитова матрица: Aτ A

В ортонормированном базисе в самосопряженный оператор имеет симметрическую матрицу

В ортонормированном базисе в эрмитов оператор имеет эрмитову матрицу

Из собственных векторов самосопряженного оператора в можно образовать

ортонормированный базис

Из собственных векторов эрмитова оператора в n можно образовать ортонормированный базис

Ортогональный оператор φ в пространстве Е : (φ(x),φ(y)) = (x,y)

Унитарный оператор φ в

пространстве Un: (φ(χ),φ(y)) = (xу)

  1. Ортогональный оператор

сохраняет длины векторов

  1. Ортогональный оператор

сохраняет углы между векторами

Унитарный оператор сохраняет длины векторов

Ортогональная матрица: Aτ A = E

Унитарная матрица:AT A = E

В ортонормированном базисе в ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу

В ортонормированном базисе в унитарный оператор имеет

унитарную матрицу

Литература

  1. Шевцов Г.С. Линейная алгебра..- М.: Гардарики, 1999.-С.359.
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.:Наука, 1974.-С.314.
  3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.-М, Наука, 1971.-С.71.
  4. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре.- Санкт-Петербург,2002.-С.432.