Моделирование оценки логистического уравнения динамики долга

Моделирование оценки логистического уравнения динамики долга

Бесспорно, финансирование бюджетного дефицита с помощью эмиссии долга напоминает многочисленные игры в "финансовые пирамиды", обусловленные отсутствием регулирования рынка негосударственных ценных бумаг и недостатком опыта у мелких инвесторов. Аргумент в поддержку мнения о том, что выпуск государственных краткосрочных долговых инструментов стал очередной "финансовой пирамидой", базируется на известном факте: погашение предыдущих выпусков происходило за счет новой эмиссии и расширения круга держателей бумаг. Но данная аналогия, вообще говоря, заимствования, когда основным источником его финансирования являются краткосрочные обязательства.

В теории вопрос о возможности финансирования государственного долга посредством такого рода схем обычно ставится в несколько иной плоскости. Осуществимо ли в течение длительного временного интервала дефицитное финансирование бюджета в условиях неинфляционной политики государства? Иными словами, может ли государство обеспечивать расходы на погашение и обслуживание долга не на основе налоговых источников, а за счет постоянного выпуска новых обязательств?

Ответ на данный вопрос неоднозначен. Например, государственные финансы в закрытой экономике вполне могут быть жизнеспособными при сохранившемся первичном дефиците при условии, что темп прироста еще устойчиво превышает величину реального процента. Если долг растет медленнее доходов населения, то всегда имеется источник для привлечения новых займов. В противном случае неизбежно возникает ситуация, когда финансовые ресурсы в экономике оказываются исчерпанными. Это верно и для открытой экономики, поскольку существует довольно тесная связь между размерами инвестиций и внутренних сбережений.

Режим, при котором отдача на капитал находится на более низком, чем темпы экономического роста, уровне, характеризуется как динамически неэффективный - в таком случае запас капитала в экономике является слишком большим по сравнению с диктуемым "золотым правилом" накопления. При подобном режиме не только возможно, но и целесообразно дефицитное финансирование бюджета в условиях неограниченной эмиссии государственного долга. Кроме того, если экспансия долга позволяет сконцентрировать государственные вложения на направлениях, стимулирующих долговременный рост экономики, то режим дефицитного финансирования носит самоподдерживающийся характер. Дополнительная эмиссия государственного долга ведет к увеличению ВВП, что позволяет откладывать погашение обязательств на неопределенное будущее. Важно подчеркнуть, что в данном случае речь идет о странах с эффективным общественным сектором и устойчиво высокими темпами экономического роста.

В переходных экономиках, особенно в условиях макроэкономической стабилизации, наблюдается прямо противоположная ситуация: реальный процент, как правило, существенно превышает темп роста ВВП. При этом унаследованный от социализма общественный сектор не только не способствует экономическому росту, но создает стимулы к непродуктивной деятельности благодаря огромным возможностям для извлечения ренты. Поэтому дефицитное финансирование бюджета не может дать долговременного выигрыша. Поддержание такого режима без денежной эмиссии возможно только благодаря привлечению внешних инвестиций в государственный сектор. Именно приток иностранных кредитных ресурсов в экономику стал основным фактором преодоления долгового кризиса. В макроэкономической теории используется модель, близкая по смыслу к тому, что обычно понимается под "финансовой пирамидой". Это, так называемая схема Понци, при которой заемщик осуществляет рефинансирование расходов на погашение и обслуживание предыдущих кредитов исключительно за счет новых заимствований. При такой схеме темп увеличения реальной стоимости долга не меньше реальной ставки процента. Допустим, уравнение накопления долга имеет вид:

Δ bt = rtbt + dt

где: bt - реальный долг; Δbt, = bt+1 - bt; rt - реальный процент; dt - реальный первичный дефицит бюджета. Накопление долга по схеме Понци предполагает, что dt ≥ 0 при любых значениях t, то есть дефицит бюджета не погашается на сколь угодно длительном временном интервале. При постоянном реальном проценте это равносильно экспоненциальному или более быстрому росту долга. Его наращивание происходит как за счет расширения круга заемщиков, так и благодаря увеличению доли государственных обязательств в инвестиционных портфелях.

Данная схема отражает долгосрочную политику дефицитного финансирования бюджета с помощью эмиссии государственного долга. Если темп экономического роста ниже реального процента, то такая политика может дать только временный выигрыш за счет потерь населения в будущем. В итоге неизбежно инфляционное обесценение государственных обязательств или полный (частичный) дефолт. При рациональных ожиданиях инвесторов подобная возможность принимается во внимание с самого начала. Поэтому схема Понци либо вовсе не реализуется, либо достаточно быстро прекращает существование, оставляя последних держателей долговых обязательств в проигрыше.

Более реалистичным с точки зрения анализа долговой политики государства является понятие "рулетки Понци". В отличие от схемы Понци, где долг никогда не гасится, "рулетка Понци" допускает возможность его погашения за счет увеличения налогов, начиная с момента, когда отношение долга к доходам населения превышает некоторое критическое значение.

Если речь идет о дефолте по краткосрочным обязательствам, тο не всегда можно однозначно судить a posteriori, реализовывалась ли долговая экспансия по схеме Понци или она была эмиссией, рассчитанной на погашение в рамках среднесрочного периода. В подобной ситуации эмпирическим критерием может служить наличие или отсутствие признаков стабилизации реального долга к моменту дефолта, так как снижение темпов накопления обязательств повышает вероятность их погашения в будущем за счет налоговых поступлений.

При анализе быстроменяющихся экономических процессов обычно встает вопрос о наличии "пузырей", то есть о влиянии нефундаментальных факторов. Для проверки данной гипотезы нередко применяются тесты коинтеграции, соотносящие динамику наблюдаемого процесса с динамикой какой-либо объясняющей экономической переменной, играющей роль фундаментального фактора. Нарушение условия коинтеграции означает отсутствие линейной свя- зи между данными переменными и интерпретируется как результат действия экономико- психологических механизмов, таких, как самосбывающиеся прогнозы и "стадное" поведение. Основная проблема с применением тестов на коинтеграцию заключается в том, что не всегда удается четко выделить набор фундаментальных факторов, влияющих на рассматриваемый процесс.

Мы не ставили целью осуществить анализ экономических механизмов, обусловливающих ускоренную экспансию государственного долга. По этой причине мы не рассматриваем действие фундаментальных факторов накопления долга, таких, как реальный процент и первичный дефицит. Вместо этого предлагается прямой способ проверки гипотезы о "пирамидальности" долга, основанный на следующем соображении.

Известно, что развитие многих социальных и естественных процессов описывается логистической функцией времени. На начальных этапах развития она растет подобно положительной экспоненте, а в дальнейшем - как отрицательная экспонента, сходящаяся к некото- рому предельному значению. Используя эту функцию, можно попытаться ответить на вопрос, происходила или нет стабилизация реального государственного долга.

Итак, рассматриваются две альтернативные гипотезы, описывающие динамику долга в рыночных инструментах. Гипотеза (а) - долг рос по экспоненциальной кривой; гипотеза (б) - долг рос по логистической кривой. Гипотеза (а) является достаточным условием для предположения об эмиссии по схеме Понци, гипотеза (б) - достаточным условием для предположения о том, что реальный долг не рос по такой схеме и стабилизировался, приближаясь в пределе к постоянному значению.

Статистический тест основан на том, что обе кривые в непрерывном времени являются решением логистического дифференциального уравнения:

b = atb + агb при a1 > 0, аг ≤ 0. (1) Решением данного уравнения служит экспоненциальная функция b(t) = b0 exp(a1t), если параметр а2 = 0, и логистическая функция b(t) = (b0e-a1t - a2/a1)-1 , если а2 < 0. Логистическая функция при t = ∞ стремится к пределу b* = -a1/а2.

Примем в качестве нулевой гипотезы а2 = 0, то есть экспоненциальный рост реального долга. Альтернативной гипотезой может быть а2 < 0, или логистический рост. Для проверки этих гипотез рассмотрим эконометрическое уравнение, выступающие разностным аналогом (1):

Δbt =a0 + a1b1 + a2b2 2 + εt (2)

где bt - реальный государственный долг обращении на конец месяца в ценах мая 2007 г.; εt -

случайная ошибка. Период наблюдений охватывает 61 месяц, с мая 2005г. по май 2008г.

Поэтому мы вводим в эконометрическое уравнение (2) дополнительную логическую переменную. Кроме того, для устранения автокорреляции остатков мы моделируем их в виде скользящей средней первого порядка. Модифицированное уравнение регрессии принимает вид:

Δ bt = а0 + a1bt + агbt + δdt+ εt + λεt-1

где: dt = 1 для t= март 1997 г. и в остальных случаях; δ - коэффициент при логической переменной; λ - параметр скользящей средней, отражающий автокорреляцию не учтенных в модели факторов.

Результаты оценки уравнения (3) представлены в табл. 1.

Т а б л и ц а 1

r2 = 0,94; DW= 1,88; N = 61.

Таким образом, коэффициент а2 отрицателен и статистически значимо отличается от нуля. Данный факт позволяет отвергнуть гипотезу об экспоненциальном росте реального внутреннего долга. Напротив, статистически подтверждается гипотеза о его стабилизации согласно логистической кривой.

Заметим, что оценка коэффициента при логической переменной (δ = 2072,03) довольно точно отражает изменение номинального объема. Размерность δ - миллиарды неденоми- нированных тенге. Если умножить эту величину на темп роста инфляции с 2003 по 2007 г., равный 3927%, получаем 81,4 трлн. тенге, что близко к величине переоформленных обязательств.

Оценки регрессионного уравнения (2) позволяют вычислить предельное значение внутреннего долга по формуле 6* = -α,/ΰ2 + δ. Мы получаем b* = 0,10/8,74х10-6 + 2072,03 = 13,47 трлн. тенге.

Таким образом, к началу кризиса на рынке государственных бумаг ни о каком перенакоплении внутреннего долга не могло быть и речи, налицо была тенденция стабилизации долга. Главные факторы замедления его накопления - снижение реальных процентных ставок и уменьшение отношения первичного дефицита к долгу.

Уравнение (3) может быть оценено для суммарного государственного долга в рыночных инструментах, включающего помимо ГКО-ОФЗ и еврооблигации. Результаты приведены в табл. 2.

Таблица 2

R2 = 0,93; D\V = 1,95; N = 0,61.

Оценки параметров и их значимость для логистического уравнения, описывающего накопление общего государственного долга в рыночных инструментах, оказываются примерно такими же, как и для внутреннего долга. Поэтому гипотеза об экспоненциальном росте общего долга также должна быть отвергнута.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике. –М.:2007.
2. Бережная, В.И.Бережной. Математические методы и моделирования экономических систем. –М.:Финансы и статистика.2005.
3. Гришин А.Ф., Кочерова Е.В. Статистические модели: построение, оценка, анализ. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 416 с.
4. Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике. –Ростов-на-Дону: Феникс, 2007.