Комбинаториканың ықтималдықты табуға берілген есептерді шешуде атқаратын ролі

Мектепте комбинаториканы оқытуда кездесетін негізгі қателік ең алдымен комбинацияларды құрып үйретпей олардың санын есептеуге үйрету болып табылады. Комбинацияны құру есептері олардың санын есептеу есебінің алдында немесе онымен параллель жүруі керек. Осы мақсатта ағаштарды қолдану немесе таңдау логикасын талқылау, әртүрлі комбинациялардың түрлерін қарастыру керек (оларды есептеуге арнайы терминдер мен формулаларды қолданбай).

Қарапайым комбинацияларды құрумен біз тәжірибенің барлық мүмкін тәжірибелерін қарастырғанда айналысамыз, онда бірнеше объектілер (шарлар, кубиктер, тиындар, перчаткалар т.б.) қатысады.

Комбинацияларды атап шығу стихиялы түрде болмас үшін біз комбинацияларға реттік қатынас енгізуді ұсынамын, себебі біз кейбір комбинацияларды тастап кетуіміз мүмкін. Онда ең дұрысы лекцикографикалық рет, ол оқушыларға сөздікпен жұмыс істеуден таныс.

Жұмыс құралы ретінде, бұрын қарастырылған классикалық ықтималдыққа есеп шығару схемасына ұқсас таңдау есебінің шығарудың мына жалпы схемасын ұсынамыз:

  1. Комбинацияға қатысатын элементтердің белгілеуін ойлап табу.
  2. Бірінші комбинацияны және одан кейінгі бірнешеуін жазу.
  3. Соңғы комбинацияны және оның алдындағы бірнеше комбинацияны жазу.
  4. Кез келген бір комбинацияны жазу. Оның алдыңдағы және соңындағы комбинацияны жазу.
  5. Жалпы жағдайда келесі комбинация ізделінетін ережені құру.

Бұл схемада үшінші қадамды жарыс түрінде ұйымдастырған дұрыс болады: кім келесі комбинацияны тез табады. Оқушылар ұсынған жауаптар бірден қабылданбайды немесе жауапқа претендент ретінде кейінге қалдырылады. Осылайша дұрыс жауап табылғанға дейін жалғасады. Төртінші қадам ең күрделі және оқушылардың математикалық және алгоритмдік мәдениетінің ең жоғары болуын талап етеді.

Жоғарыда біз айтқанымыздай комбинацияларды атап шығу үшін ағаштарды қолдануға болады, бірақ ол ондай ерекше болмайды. Себебі элементтер аз болғанда комбинацияларды ағаштарды қолданбай-ақ атап шығуға болады, ал элементтер көп болса, онда ағаш бұтағы өте көп болып тез тармақталып кетеді.

Бұл бөлімде комбинацияларды есептеудің негізгі ережесі енгізіледі: көбейту ережесі және қосу ережесі. Қосу ережесі комбинаторикалық есепті шешу әдістерінің бірі. Егер комбинацияларды есептегенде көбейту ережесі қолданбаса, онда оған қосу ережесін қолданып көру керек: комбинацияларды беттеспейтін кластарға бөліп, әр кластың ішіндегі комбинациялар санын есептеп, содан соң ол сандарды қосу керек [1].

Комбинацияларды таңдап алу және олардың санын көбейту және қосу ережелері көмегімен есептеуге үйрену мектеп оқушыларының комбинаторикалық мәдениетінің негізі және көптеген комбинаторикалық есептерді табысты шешуге мүмкіндік туғызады.

Комбинацияның негізгі түрлерімен таныстыру алмастыруан басталады. Алматырудың санын есептеу оқушыларға қиындық туғызбайды және көбейту ережесін қолданудың тамаша мысалы болады.

Барлық алмастыруларды таңдау есебі күрделі болады. Егер оқушылар алмастыруларды таңдаудың негізгі ережесін өз беттерінше тұжырымдаса жақсы, ал егер сыныпта программалаумен айналсатын оқушылар болса, онда оларға комбинацияларды таңдаудың бағдарламасын жасауды ұсынуға болады.

Орналастырулар алмастырулар ұғымын жалпылайды. Ықтималдық есептерін шешуге алмастыруға қарағанда орналастырулардың ролі зор, себебі олар арқылы қайталанбайтын таңдау схемасын құрылады: М объектіден біртіңдеп қайтып салмай N объект алады. Мұндай тәжірибенің әрбір нәтижесі М-нен N бойынша орналастырулар болады. Алмастырулар сияқты орналастырулар санын да көбейту ережесімен жеңіл табылады.

Алмастырулар және орналастырулар санын есептегенде оқушылар алғаш рет факториал ұғымымен танысады. Осы уақытта оларға көңіл бөліп оның уақытта оларға көңіл бөліп оның тамаша қасиетті туралы сөз қозғауға болады. Оқушыларға міндетті түрде N! мәні қаншалықты тез өсетінін алғашқы бірнеше мәнін есептеп көрсетіп және Л-нің үлкен мәндерінде олардың шамасын бағалау қажет. Программисттер үшін 100! Санының барлық цифрларын жазатын программа жазу жақсы тапсырма болады. (математиктер үшін осы санның соңында неше ноль болатынын есептеу).

Бұл тарауда біз дәстүрлі қосу және көбейту ережелерімен қатар комбинаториканың қалған екі ережесін азайту және бөлуді қарастырамыз. Қосу ережесі сияқты бұл есеп шығарудың жалпы әдістері: азайту әдісін берілген қасиетті иеленбеген комбинацияларды есептеу жеңіл болғанда қолдану қажет, ал бөлу ережесін бір комбинацияны бірнеше рет есептегенде қолданады. Тарауда әрі қарай ықтималдық есептер үшін ең маңызды комбинация терулер еңгізіледі.

Алмастырулар және орналастырулар санын формуланы қолданбай есептеуге болады (ол үшін көбейту ережесін білу керек), ал көп ықтималдықты есептегенде терулер санын формуласыз есептеу өте қиын болады. Бірден таңдап алу схемасы терулер негізінде құрылады: М объектіден бірден М объект алынады. Осы тәжірибедегі әрбір нәтиже М- нен N бойынша терулер болады.

Терулерді таңдағанда терулер бір-бірінен тек құрамымен ажыратылатынын ескеру қажет, яғни терулер ішінде элементтердің реті маңызды емес. Сондықтан терулерді жазғанда оның барлық элементтерін өсу ретімен орналастыру керек [2].

Бұл тараудың материалы комбинаториканы оқығандағы қиындықтарды ақтау сияқты болып табылады. Бұл тарауда тривиальды емес шешімдері бар қызықты ықтималдық есептер көп және олар практикалық мазмұнды болып табылады.

Осы тараудың материалдарында оқушылар ықтималдықты есептеуге комбинаторика ережелері мен формулалары түрінде қаншалықты қуатты құрал тапқандарын сезінуі керек.

Келтірілген мысалда нәтижелері жоғарыда қарастырылған комбинация түрлері: алмастырулар, орналастырулар, терулер болатын кездейсоқ тәжірибелер қарастырылады. Бұл есептерді шешудің шешуші қадамы комбинация түрін анықтау, одан соң ықтималдықты есептеу жеңіл болады.

Соңында кездейсоқ тәжірибелердің моделі жалпыланады. Олардың көпшілігінің ақырлы жиыннан элемент таңдаудың үш классикалық модельдерінің біріне келтірілетіні анықталады. Оны түсіну үшін оқушының абстрактілі ойлау қабілеті жоғары болуы қажет. Мұнда математикалық мәдениеттің ең маңызды жағы: бірдей нәрсені әртүрлі етіп және әртүрліні бірдей етіп көрудің негізі қаланады.

Бұл үшін ықтималдықтар теориясы математиканың ешқандай басқа облыстары бермейтін бай материалды береді. Ол таңдалған модельді практикада тексерудің нақты мүмкіншілігін береді: ол үшін сәйкес эксперименттердің сериясын жүргізіп және табылған ықтималдықты жиілікпен салыстыру қажет. Мұнда сәйкес программалармен қамтамасыз етілген компьютердің көмегі зор.

 

Әдебиеттер:

  1. Елисеева И.И. және т.б. Теория статистики с основами теории вероятностей. 2002. - 490 б.
  2. Баженов М.А. Из опыта преподавания теории вероятностей - Математика в школе, 1972 №2., С. 143-215.
Жыл: 2011
Қала: Қостанай
Категория: Математика