Информатика пәнін оқытуда-инновациялық оқыту технологиясын қолдану-студенттердің білімдерін нақтылауда және бақылау, бағалау сондай-ақ білім нәтижелерін өңдеу үшін аса маңызды роль атқарады.
Проективті геометрия математиканың басқа салалары сияқты өзінің пайда келесі практикалық мәселеге тиісті: жазықтықта үш өлшемді затты суреттегенде, оның әртүрлі бөлшектерінің бейнеленуі мен өзара жайғасуы, оның көрінетін бөлігінде болуы керек. Осы мәселені ғылым тұрғыдан бірінші рет зерттеген Леонардо да Винчи болатын. Біз ол кісіні атақты суретші екенін білер едік. Қазір болса оның ғылымның осы мәселе бойынша ұлы пионері екендігін біліп отырмыз. Геометриялық тұрғыдан бұл мәселені Леонардо төмендегіше қалыптастырды. Әрбір үшөлшемді обьекттен көрінетін нүктесінен жарықтың сәулесі күзетішінің көзіне түсуі мүмкін, егер көзбен обьекттің арасында тынық пластинка қойылса, онда әрбір сәуле белгілі бағытта бір нүктеден өтеді. Бұл обьекттің нүктесін сәйкестілікпен, ұйқастылықпен суреттеуге болатынын дәлелдеді. Тынық пластинкада осындай нүктелердің жиынтығынан суреттеу жасалынады. Алдымыздағы мақсат тынық пластинкасыз суреттеу әдісін табу болып табылады. Бұл мәселені фотографиялық камера арқылы шешу мүмкін, себебі онда линза арқылы жарықтың сәулесін жарықсезгір пластинкаға жинау мүмкін. Мұнда тынық пластинка көздің алдында емес артқы жағында болады, яғни бұл жұмысқа кедергі етпейді.
Жоғарыда жазылған процесті терең зерттеудің арқасында біздер кеңістікті геометрияның негізгі бір процесімен танысумен бірге ол геометрияның мектепте оқыған өлшемді геометриядан айырмашылығы туралы мәлімет аламыз[1].
Леонарда ұсынған геометрия екі бөлімнен тұрады: О нүктесінен әрбір геометриялық фигура нүктелеріне тура сызықтар өткізіледі: бұл О нүктеден өткізілген тура сызықтар СО жазықтығымен қиылысады. Енді осы процеске толық анықтама берейік. О нүктесіне F фигураның басқа нүтелерімен байланысқан F фигураны жобалау деп атаймыз. Егер О нүктесінен басталатын тура сызықтар О жазықтығын О нүктесінен өтетін жызықтықтың тура сызықтар қимасы дейміз. Қима мен жобалау кеңістікті геометрияны құрудың негізі болып табылады.
Осындай құрылған F фигураның әрбір нүктесіне О нүктесінен өтетін сызық тура келеді және О нүктесіне байланыс жазықтықтың белгілі нүктесіне сәйкес болады. Екі геометриялық фигураның элементтерінің арасында өзара мәндік сәйкестілік белгіленсе, онда бірінші фигураның әрбір элементіне, екінші фигураның бір элементіне сәйкес келеді. Егер біз болашақ сурет салу мәселесіне келсек тынық пластинкадағы суреттеу (бейнелеу, кіскіндеу) екі обьекттің арасында орналасқан және сурет салатын адамның көзімен қарағанда онда алынған фигура күзетуші көзбен жобалаумен және тынық пластинкадағы жобалаушы сәулелердің қимасы болып табылады.
Егер оқушы болашақ суреттеуді тереңірек зерттесе, мысалы осы жұмыста келтірілген Флоренциядағы Палаццо ауласының фотографиясын, онда ол кейбір ерекшіліктерді көреді. Мұнда төлнұсқадағы тура сызықтар, фотографиядада тура сызықтар болып суреттелген. Бұл табиғи, себебі төлнұсқадағы барлық нүктелер, қандайда тура сызықта жататынын сонымен бірге орталығы О болған осы жазықтықтан өтетін тура сызықта жатады, басқа жазықтықтағы олардың қимасыда тура сызықтар болады. Екі тура сызықтың бір-бірімен қиылысуы, яғни төлнұсқадағы нүктелер фотографиядада сол екі тура сызықтың қиылысуына сәйкес келеді. Төлнұсқадағы бұрыш фотографиядада бұрыш болып көрінеді, бірақ басқа мәнде. Мысалы төлнұсқадағы тура бұрыш кескінде доғал немесе өткір бұрыш болып көрінеді.
Студент фотографияда осының көп үлгілерін көруі мүмкін оқушы өзінің қарапайым күзетуінің нәтижелерімен қанағаттанып қалмауы керек ол кескіндері осындай жобалау процесінің себебін жақсы ұғынып түсінуі керек. Мұндай ескертулер кейінгілергеде тиісті.
Төлнұсқадағы екі параллель сызықтар, суретте параллель сызықтар болмауы мүмкін, төлнұсқадағы ара қашықтық, суреттегі ара қашықтыққа тең болмайды. Болашақ дөнгелекті бейнелеу әдетте суретте дөнгелек болмайды дөнгелектің орнында эллипс және т.б. фигуралар болуы мүмкін. Осыдан білеміз обьектті перспективтік бейнелеуде айтарлықтай бұрмалау болады, бірақ барлық уақытта, егер түзу сызықтар О нүктеден басталмаса, суретте нүкте, нүкте есебінде, түзу сызық түзу сызық болып қалады. Ұқыпты оқушы жоғарыда келтірілген үш өлшемді, обьектті жазықтықта бейнелеу барлық уақытта объект нүктелермен суреттегі нүктелер бір-біріне (өзара) сай және бірмағыналы болмайтынын байқайды. О нүктесінен өтетін тура сызықта жатқан обьекттегі екі нүктеге, бейнеде (кескінде) бір нүкте сәйкес келеді. Сондай О нүктеден өтетін жазықтықта жататын обьекттің екі тура сызығына кескінде бір тура сызық сәйкес келеді.
Алайда, егер алғашқы (бастанқы) фигуралардың барлық элементтері бір жазықтықта жататын болса, онда жобалау, кескіндеу процестері екі фигураның элементтерінің аралығындағы бір мағыналық сәйкестікпен орналастырады. Мұндай сәйкестіктер келесі параграфтарда өзінің нақты аңықтамасын алады. Осыған мысал фотографияда жазықтықта бейнеленетін обьектті ұқыпты көңіл бөлінсе, оларды көруі мүмкін.
Мейлі О нүктеден шыққан әлдебір F фигураны жобалайық, бірақ ол фигура жазықтығында жатпайды. Әлдебір жазықтықта тура сызықты жобалаушы қимадан жаңа F фигураны аламыз. F және F’ фигуралар арасындағы элементтердің осындай орнатылған сәйкестілік дейміз. Егер біз О’ жаңа орталықтан F’ фигураны үшінші бір жазықтыққа жобаланса, онда біз жаңа F” фигураны үшінші бір жазықтыққа жобаланса, онда біз жаңа F” фигураны аламыз. Фигура F” F’ фигурадан перспективалық өзгерістен алынған болады. Бұл келесі анықтамаға алып келеді. Тізбектелген перспективалық өзгерістердің кейбір нәтижелерді кеңістікті сәйкестілік кеңістікті геометрияның негізінде жатыр.
Осы ұғымды анықтағаннан кейін кеңістікті геометрияға біз төмендегі анықтама беруге болады кеңістікті геометрия бұл кеңістілік өзгерістер өзгермейтін фигуралардың қасиеттерін үйрететін ғылым.
Осыған тікелей тиісті түзу сызықтардың бір бірімен теңдігі кеңістікті геометрияда болмайды себебі мұндай қасиеттер кеңістікті геометрияда сақталмайды. Параллельді түзу сызықтар өзгереді жалпы айтқанда қиылысатын бір бірімен тең ара қашақтықтар - тең емес ара қашықтықтарға, тік бұрыштар -өткір немесе доғал бұрыштарға және т.б.
Екінші жағынан кеңістікті геометриядағы нүктелер мен түзу сызықтар қаншалықты өткізілмесін, операциялар жобалаулар кескіндер өткізілмесін олар кеңістіктегі өзгерістегі жобалар мен кескіндерде сол нүкте немесе тура сызық болып қалады. Егер фигура түзу сызығында А нүктесі жататын болса ол кеңістіктігі өзгерісте L түзу сызығында АІ нүктесі болып түседі яғни егер А нүктесі түзу сызық L де жатпаса АІ нүктесі L1 түзу сызығында жатпайды. Екі бір-бірімен қиылысатын тура сызыққа екі бір - бірімен қиыласатын түзу сызық үшбұрышқа үшбұрыш, төртбұрышқа төртбұрыш және т.б. тура келеді. Ұқыпты оқушы тура келмейтін жерлерін байқауы мүмкін оларды кейінерек қарастырамыз. Осыдан білеміз кеңістіктегі нүктелер мен түзу сызықтардың қасиеттері өлшеумен байланысты, яғни өлшемді қасиеттердің кейбір қасиеттері кеңістікті қасиеттердің арналуы процесінен алынғанын көреміз. Жоғарыда айтылғандай, үшбұрыштардың қасиеттері кеңістікті өзгерістерде сақталмайды. Төртқабырғалы фигура, кеңістікті геометрияның образы ал паралелограмм, төртбұрыш, квадрат және бақалар нобайларға жатпайды[2].
Төменде біздер көреміз конус тәрізді қималар кеңістікті геометрияның бейнесі болса гипербола, эллипс және параболалар кеңістікті жолдармен жасауға болмайды. Алғашқыда кеңістікті қасиеттер кеңістікті геометрияда шектелген көрінеді. Бірақ бұл ондай емес, кеңістікті қасиеттер шектелгенмен айтарлықтай көбірек қарапайым структураларды ала аламыз, фигуралардың қасиеттерін қосымша геометрияда қарағандай өлшейді.
Бір қарағанда, тек қана проективті қасиеттерін қарастырумен шектелу біздің операциялардың көлемін соншалықты қысқартуға алып келеді, нәтижеде проективтік геометрияның мазмұны айтарлықтай шектелген болып көрінеді. Бірақ, жуық арада бұл ондай еместігі анық болады. Проективті қасиеттерін қарастырумен шектеліп, біз қосымша және фигуралардың метрикалық қасиеттерін де қарастыратын геометриядан басқаша едәуір қарапайым құрылымды геометрияны аламыз.
Шын мәнінде, көрсетіп өтілгендей, оның ұсыныстарын сәйкесінше мамандандырылғандағы проективті геометрия толығымен әдеттегі эвклид геометриясының мазмұнын және кейбір эвклидтік емес геометрияның да мазмұнын да қамтиды. Бұл текті пайымдаулар, олардың мағынасын оқушы қазірше түсінбеседе, кітаптың соңына жеткенде жақсы түсінетін болады, ағылшын математигі Кэли «Проективтік геометрия бұл барлық геометрия ғой» деуге мәжбүрледі.
Проективті геометрияны алғаш үйренуге кіріскен оқушыға метрикалық қатынастар жоқ геометриялық сөйлемдер бір түрлі көрінуі мүмкін. Перспективалық үшбұрыштар туралы Дезарг теоремасы деп аталатын келесі сөйлем проективтік геометрияның кейбір бөліктерін жүйелі түрде құру үшін фундаменталды мәніне ие.
Егер берілген екі АВС және A1B1C1 үшбұрыштарының АВ және A1B1, ВС және B1C1, СА және C1A1 сәйкес қабырғаларының жұптық қиылысуындағы үш нүктесі бір түзуде орналасатын болса, онда осы үшбұрыштардың сәйкес төбелерін қосатын AA1, ВВ1 және СС1 түзулері бір және сол нүктеден өтеді (немесе өзара параллель болады). Жақшаға алынған сөз, әдеттегі геометрияның метрикалық кеңістігі үшін теореманы құрастырғандықтан қажет, ал келесі тарауда енгізілетін проективтік кеңістікте ол артықша болады; теореманың өзі мұнда үлкен жалпыламалыққа ие болады.
Байқаймыз, мұнда тең нүктелер және түзулер инцидентігіне қатысты ұйғарымды өзінде қалыптастырған сөйлемнен негізделіп отырмыз, ол ешқандай метрикалық қатынастарға ие емес. Бұл теореманың нақты дәлелін соңырақ береміз. Кеңістіктік елестетулер үшін, үшбұрыштар әртүрлі жазықтықта орналасқан жағдайды қарастыру жақсы жаттығу болып табылады. Бұл жағдайда теорема дерлік айқын болады. Егер оқушы жаттығу жолымен сәйкес қабырғалары бір түзу бойында жататын нүктелерде қиылысатын, үшбұрыштар орналасқан, қиылысатын екі жазықтықты айқын көз алдына келтіретін болса, онда теореманың қорытындысы дерлік тікелей келіп шығады. Шынында, ААІ, ВВІ ССІ түзулерінің әрбір жұбы қандай-да бір жазықтықта жатады, ал бұл үш жазықтық бір нүктеде қиылысуы керек (немесе параллель түзулер бойынша, немесе бір түзу бойынша). Көз алдымызға келтіріп көрейік, үшбұрыштар орналасқан екі жазықтықтың бірі олардың қиылысу түзуі төңірегінде оның екінші жазықтықпен дәлме-дәл келгеніне дейін айналады. Бұл теореманы, кемінде, ықтималды етеді және үшбұрыштар бір жазықтықта орналасатын жағдай үшінде.
Проективті геометрия он бесінші ғасырдың екінші жартысында келіп шығуына және бұл түрдегі геометрияның кейбір сөйлемдері Дезарг (1593-1662) және Паскаль (1623-1662) тарапынан дәлелденгеніне қарамастан, проективтік геометрия жеке пән ретінде өзінің дамуын тек ұлы француз математигі Понселенің (1788-1867) 1822 жылы жариялаған «Фигуралардың проективтік қасиеттері туралы трактат» атты классикалық енбегінде алды. Бұл шығарманың жарыққа шығуынан соң проективті геометрия жылдам дамыды және қазіргі уақытта математиканың басқа салаларымен әртүрлі және маңызды байланыстарымен ғана емес, сондай-ақ өзінің құрылымының әдемілігімен және қорытындысымен заманауи математиканың негізгі салаларының бірі деп есептелуі мүмкін[3].
«Проективті» кеңістік ұғымының анықтамасы келесі тараудың мазмұнын құрайды, сонан соң біз бұл шығарманың кішігірім көлемі мүмкіндік беретін шекарада пәнді жүйелі баяндауға кірісуіміз мүмкін.
ӘДЕБИЕТТЕР
- Беклемишев А.В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. - М.: Наука, 2002. -347 с.
- Джод Д. Внитецки Дж. Цвет в науке и технике - М. 2000 г.
- Компьютерный практикум. Программирование в среде Турбо-Паскаль и СУБД типа Fox. Методические указания к выполнению курсового проекта. /Сост.: О.Н.Леонова, И.А.Несмеянов; ГАУ, М.,1998.