Әл-Фараби және Геометрия

Әл-Фараби және Геометрия

Егер барлық халық бақытты болуы үшін біріне-бірі көмектессе, онда «қой үстіне бозторғай жұмыртқалайтын» заман туар еді.

Әл-Фараби

Ғұлама ғалым, әлемдік ұстаз Әбунасыр әл-Фарабиді жерлесіміз және бабамыз деп мақтана бастағанымызға да жарты ғасырдан асып кеткен екен. Ұлы мақтанышымыздың 160-тан аса трактаттарымен танысып, сол кездегі ғылымның барлық саласын терең меңгеріп қана қоймай, бүгінгі күнге дейін маңызын жоймаған жаңалықтар ашып кеткеніне таң қалмау қиын [1]. Әсіресе, әл-Фараби еңбектерінің пәлсапалық, тәлім-тәрбиелік маңызы зор. Сондықтан, Қазақстандағы жоғары оқу орындарына арналған оқулықтарды әл-Фарбидің өмірбаянынан, оның ғылымның осы саласын дамытуға қосқан маңызды жаңалықтарынан бастауды ұстанар едік [2,3].

Әл-Фарабидің киелі деп санаған ғылымы – геометрия. Ол барлық ғылымдар тек геометрияның тармақтары, ал геометрияны олардың түп тамыры деп есептейді. Әл-Фарабидің геометрия туралы көз қарасын модельдесек, ол үлкен бәйтерек сияқты болар еді (1-сурет).

Бәйтеректің жер астында көрінбей жатқан бөлігі геометрияны бейнелесе, ал сырығын (бағанасын) табиғаттану, технология, экономика, политология және т.б. ілімдердің ірге тасы болып есептелетін математика, физика және химия ғылымдары анықтайды. Ағаштың бұтақтарына жасыл жапырақтар өсіп, олардың күзге қарай алтын түске боянып, сарғаятыны белгілі. Әсіресе, жеміс ағаштары гүлдеп, түрлі жемістер: алма, алмұрт, өрік, шие, ... бергенде сәбиден бастап қарияға дейін қуанатыны жасырын емес. Біздің Қ.И. Сәтпаев атындағы ҚазҰТУ бәйтерегінде өсетін жемістер (мамандар): геологтар, тау-кен инженерлері, маркшейдерлер, металлургтар, машинажасау мамандары, мұнайшылар, сәулетшілер, құрылысшылар, т.б. Ағаш бұтақтарындағы әдемі жемістердің дәмді, тәтті және көп болуы үшін қандай технология қолданылатыны баршаға аян. Ол үшін ең бастысы – мезгілімен ағашты суарып, тиісті тыңайтқыштарды пайдаланады. Күн ыссы болып, тамырларға пайдалы минералдармен ылғал жетіспей қалса, ағаш көктемейді, гүл шашпайды, тіпті қуарып қалуы да мүмкін. Сол сияқты мамандықтардың оқу жоспарларында сызба геометрияға жеткілікті кредит бөліп, оны студенттердің ынта-ықыластарымен оқып меңгеруіне жағдай жасау керектігі анық, басы ашық мәселе. Техникалық мамандықтардың оқу жоспарларынан сызба геометрияны алып тастау немесе бөлінетін кредитті азайту – ол өсіп тұрған бәйтеректің тамырын кесіп тастаумен пара-пар. Тамырсыз ағаш сияқты геометриясыз жас өспірімдерге сапалы білім береміз деп талпынушылық – босқа уақыт өткізу, бекер әуре болу. Тамырсыз ағаш әуелі қурайды, содан кейін құлап жоқ болады. Сондықтан әл-Фараби: «егер ғылымды меңгергің келсе, алдымен һандисатпен (геометриямен) таныс бол» − дейді. Бұны аруақты бабамыздан қалған өсиет деп біліп, оған нұқсан (кір) келтірмейік.

1-сурет. Әл-Фарбидің ғылымдар ағашы

Бүгінгі геометрия етегін кең жайған, ең дамыған ғылым. Бұған көз жеткізу үшін геометрияның түрлерін атаудың өзі жеткілікті сияқты: элементар (Евклидтік) геометрия, аналитикалық геометрия, проективтік геометрия, сызба геометрия, көпөлшемдік геометрия, алгебралық геометрия, параметрлік геометрия, графикалық геометрия, Лобочевскийдің геометриясы, Римманың геометриясы және топология (2-сурет).

2-сурет. Геометрияның тармақтары

Осы аталған геометрия саласының біразы әл-Фараби тұжырымдаған қағидалардан бастау алады. Мысалы, аналитикалық геометрияның Р. Декарттан бастау алатыны, дәлірек айтқанда – оны координаталар жүйесімен байланыстыратыны белгілі. Ал координаталар жүйесі туралы жазылған алғашқы мәліметті әл-Фарабидің трактатынан кездестірдік. Б. Наполеонның серігі, атақты ғалым Г. Монжды сызба геометрияның атасы деп жүрсек, сызба геометрия да Әл- Фарабидің зейініннен тыс қалмапты. Сызба геометрияда қайтымды кескіндер алудың үш тәсілінің біреуі аксонометриялық проекция болса, оны салуды да біздің ғұлама бабамыз жақсы білген сияқты. Сөзіміз дәлелді болу үшін әл-Фарабидің «Китап аль-музыки аль-Кабир» атты трактатынан алынған, аксонометриялық және кононикалық ортогональ проекцияларда сызылған музыкалық аспаптардың суретін беріп отырмыз (3-сурет).

а) ә)

3-сурет. а) аксонометриялық проекция; ә) кононикалық ортогонал проекция

Геометрияның ең биік шоқтығы – топология екені баршаға мәлім. Ал топологияның тууына әйгілі Л. Эйлер формуласы

Т+Ж─Қ=2

Себебші болғанын математиктер жақсы біледі. Эйлер формуласындағы Т – төбелер саны, Ж–жақтар саны, Қ – қырлар саны. Бұл формуланы Л. Эйлерден 1000 жыл бұрын әл-Фараби білген екен. Ол туралы ұлағатты ұстаздарымыздың бірі және бірегейі Ақжан әл-Машани өзінің монографиясында [2] егжей-тегжейіне жеткізе жазған еді. Бізге жоғарыдағы (1) теңдігін әл- Фараби формуласы деп атауды ұсыну орынды сияқты болып көрінеді. Ұсынысымызды түсіндіру үшін Платонның денелерін қарастыралық. Оларды әл-Машани «Киелі фигуралар» деп атаған.

«Ықылым заманнан бері киелі немесе тамаша деп саналатын дұрыс көпжақты фигуралардың бес түрі белгілі болған. Шын мәнінде осы фигуралар ғылым мен техникалар саласында жаңалық ашуға да себепкер болды және соның негізі болып келеді. Біздің заманымызда да олар жетекші мәнін жоғалтқан жоқ» [2; 32-бет]. Сол дұрыс көпжаққа қатысты әл-Фараби бастап әл-Машани аяқтаған кестені келтірейік (1-кесте).

Кестеден дұрыс бес көпжақ (тетраэдр, текше, октаэдр, икосаэдр және додекаэдр) үшін (1) теңдігінің орындалатынын көреміз. Әл-Фараби формуласын кез келген дөңес көпжақ үшін де қолдануға болады. Пирамида, призма сияқты көпжақтардың төбелері, қырлары және жақтарын санап және салыстырып көрулеріңізге болады. Мысалы, жетібұрышты пирамиданың 8 төбесі, 8 жағы және 14 қыры болады, сондықтан Т+Ж─Қ=8+8─14=2 болады. Сегізбұрышты призманың 16 төбесі, 10 жағы және 24 қыры болады да, тағы да Т+Ж─Қ=16+10─24=2 болатыны анықталады.

Кестеге мұқият қарасақ, онда тетраэдр жақтарының саны оның төбелерінің санына, ал текшенің жақтар саны октаэдрдің төбелер санына тең екенін көреміз. Ал текшенің жақтар саны октаэдрдің төбелер санына, керісінше текшенің төбелер саны октаэдрдің жақтар санына тең. Сондай-ақ, икосаэдрдің жақтар саны додекаэдрдің төбелер санына, керісінше икосаэдрдің төбелер саны додекаэдрдің жақтар санына тең болады екен. Осындай денелерді екіжақты денелер деп атайды. Сонда тетраэдр өзіне өзі екіжақты болады екен. Текше мен октаэдр, икосаэдр мен додекаэдр екіжақты денелер болып табылады.

1-кесте

Саны

Ре т

Қандайда бір сөйлемге (пайымға) сол сөйлемдегі нүкте деген сөзді жазықтық деген сөзбен, ал жазықтық деген сөзді нүкте деген сөзбен алмастырып, түзу деген сөзді сақтаудың нәтижиесінде алынатын екінші бір сөйлем сәйкес болады; бұл екі сөйлемнің (пайымның) біреуін дәлелдеу жеткілікті.

Бұл проективтік геометрияның негізгі қағидасы, яғни осыдан проективтік геометрияның басты теориялық негізі туындайды.

Киелі денелер қырлары ұзындықтарының қатынасы да тамаша. Бұл қатынасты алатын қима немесе құдіретті пропорция деп те атайтыны белгілі. Мысалы, текше қырының ұзындығы а, ал оған іштей сызылған икосаэдр қырының ұзындығы b болса, онда олардың қатынасы алтын қимаға тең болады:

b  0,618  b  0,618 .

a

Осыдан икосаэдрдің эпюрін салудың оңай тәсілі шығады. Текшенің 6 жағы, ал икосаэдрдің 12 төбесі бар. Сонда текшенің әр жағында оған іштей сызылған икосаэдрдің екі төбесі жатады.

Горизонталь жазықтықта тұрған, қырының ұзындығы АВ=а болатын текше сызып аламыз (4-сурет). АВ қырының ортасы С нүктесі болсын.

4-сурет. Икосаэдрдің эпюрі

Бір катеті

ÀÑ  à , ал екінші катеті

2

ÀD  à

4

болатын тікбұрышты үшбұрыш тұрғызамыз. D

нүктесінен A нүктесі арқылы гипотенуза DC кесіндісімен E нүктесінде қиылысқанша шеңбер доғасын жүргіземіз. Центрі C нүктесі болатын және E нүктесі арқылы өтетін шеңбер AC кесіндісімен 12 нүктесінде қиылысады. Сонда табылған C12 кесіндісі икосаэдр қырының жартысына тең екенін дәлелдейік.

CD 

AC 2

• AD2 

a  a2 

4 16

2

5  a ;

4

C1  CE  CD  DE  CD  AD 

5  a  a 

5  1  a ;

2 4 4 4

C1  5  1  a  0,618  a ; 2  C12   b  0,618a .

2 2 2 2

Әл-Машани «алтын қима» дегеннен гөрі «алтын топшы» деген дұрыс деп есептейді. Алтын топшы тәсілін пайдаланып додекаэдрдің эпюрін де осылайша салуға болады.

ӘДЕБИЕТТЕР

1. Аль-Фараби. Естественно-научные трактаты. Алма-Ата: Наука, 1987. – 496 с.
2. Ақжан әл-Машани. Әл-Фараби және бүгінгі ғылым. – Алматы: Алаш, 2004. – 216 б.
3. Шәмшиден Әбдраман. Қудаланған әл-Машани емес ... әл-Фараби. Ақжан әл-Машанидің «Әл- Фараби және бүгінгі ғылым» атты монографиясындағы «алғы сөз». – 6...27 бб.
4. Есмұхан Ж. М., Қажғалиева С. Қ. Әл-Машани және қолданбалы геометрия // Инженерлік графика мен кәсіби білім проблемалары. Ғылыми педагогикалық журнал. – Астана: ЕҰУ, 2011. №5. – 17-23 бб.